Τα μαθηματικά γίνονται πιο εύκολα όταν καταλαβαίνεις τη λογική πίσω... Δες περισσότερα
Μαθηματικά
Αρχαία Ελληνικά
ΑΟΘ (Οικονομία)
Βιολογία
ΙστορίαΚάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
534
•
Ενημερώθηκε Apr 2, 2026
•
Β' Γυμνασίου Μαθηματικά - Κατανόηση Έννοιων και Επίλυση Ασκήσεων
Δ
Δωρα
@_dwrss
1 / 9
Προβλήματα με Εξισώσεις
Όταν βλέπεις ένα πρόβλημα με λόγια, μην πανικοβάλλεσαι! Υπάρχει μια συγκεκριμένη μέθοδος που σε βοηθάει κάθε φορά.
Ακολουθείς αυτά τα 4 βήματα: Πρώτα, βάζεις τον άγνωστο αριθμό ως "x". Μετά, εκφράζεις όλα τα άλλα δεδομένα με τη βοήθεια του x. Στη συνέχεια, φτιάχνεις την εξίσωση και τη λύνεις.
Τέλος - και αυτό είναι σημαντικό! - ελέγχεις αν η απάντησή σου βγάζει νόημα. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα "το διπλάσιο ενός αριθμού μείον 3 δίνει 7", θα γράψεις 2x - 3 = 7 και θα βρεις x = 5.
💡 Συμβουλή: Διάβασε το πρόβλημα δυο φορές πριν αρχίσεις να γράφεις την εξίσωση!
Τετραγωνική Ρίζα Θετικού Αριθμού
Η τετραγωνική ρίζα είναι σαν να κάνεις αντίστροφη πράξη στο τετράγωνο. Αν √a = x, τότε x² = a. Το σημαντικό είναι ότι το αποτέλεσμα είναι πάντα θετικός αριθμός!
Προσοχή μεγάλη: Ο αριθμός κάτω από τη ρίζα (υπόριζο) δεν μπορεί να είναι αρνητικός! Εκτός αν είναι σε παρένθεση και υψωμένος σε άρτιο εκθέτη.
Για παράδειγμα: √(-16) δεν ορίζεται, ενώ √((-8)²) = √64 = 8. Η διαφορά είναι ότι στη δεύτερη περίπτωση πρώτα κάνουμε το τετράγωνο που δίνει θετικό αριθμό!
💡 Θυμήσου: Η ρίζα δίνει πάντα θετικό αποτέλεσμα!
Ιδιότητες Ριζών
Οι ιδιότητες των ριζών σου κάνουν τη ζωή πιο εύκολη! Η πρώτη ιδιότητα λέει ότι αν a ≥ 0, τότε (√a)² = a. Η δεύτερη είναι ότι √a² = |a| (απόλυτη τιμή).
Μπορείς να πολλαπλασιάζεις και να διαιρείς ρίζες: √a · √β = √(a·β) και √a/√β = √. Αυτό σημαίνει ότι √2 · √50 = √100 = 10!
Μεγάλη προσοχή: Δεν μπορείς να κάνεις το ίδιο με πρόσθεση και αφαίρεση! Δηλαδή √16 + √9 ≠ √(16+9). Το πρώτο δίνει 4 + 3 = 7, ενώ το δεύτερο δίνει √25 = 5.
💡 Προσοχή: Οι ιδιότητες ισχύουν μόνο για πολλαπλασιασμό και διαίρεση, όχι για πρόσθεση!
Άρρητοι Αριθμοί
Οι αριθμοί χωρίζονται σε κατηγορίες! Φυσικοί είναι το 0,1,2,3... Ακέραιοι προσθέτουν και τους αρνητικούς. Ρητοί είναι όσοι γράφονται ως κλάσμα μ/ν.
Οι άρρητοι αριθμοί είναι εκείνοι που δεν μπορούν να γραφτούν ως κλάσμα. Συνήθως είναι ρίζες που δεν βγαίνουν ακριβώς, όπως √2, √3, √5.
Όλοι μαζί (ρητοί και άρρητοι) σχηματίζουν τους πραγματικούς αριθμούς - όλους τους γνωστούς αριθμούς που χρησιμοποιούμε! Αυτή η κατηγοριοποίηση σε βοηθάει να καταλάβεις καλύτερα τη φύση κάθε αριθμού.
💡 Εύκολο τρικ: Αν μια ρίζα δεν βγαίνει ακριβώς, είναι άρρητος αριθμός!
Η Έννοια της Συνάρτησης
Μια συνάρτηση είναι σαν μια μηχανή: βάζεις έναν αριθμό (x) και βγάζει έναν άλλον (y). Κάθε τιμή του x δίνει μόνο μία τιμή του y - αυτός είναι ο κανόνας!
Για να καταλάβεις μια συνάρτηση, φτιάχνεις πίνακα τιμών. Διαλέγεις τιμές για το x και υπολογίζεις το αντίστοιχο y. Για παράδειγμα, στη y = 2x + 1, όταν x = -1 τότε y = -1.
Μπορείς να λύσεις και το αντίστροφο πρόβλημα! Αν σου δώσουν y = 5, μπορείς να βρεις ότι x = 2. Απλά αντικαθιστάς και λύνεις την εξίσωση όπως έμαθες στο πρώτο κεφάλαιο.
💡 Κλειδί: Μία τιμή x = μία τιμή y. Πάντα!
Λύση Εξισώσεων με Συναρτήσεις
Όταν σου δίνουν την τιμή του y και θέλεις να βρεις το x, κάνεις αντικατάσταση και λύνεις! Είναι ακριβώς όπως τις κανονικές εξισώσεις που ξέρεις.
Για y = -3 στη συνάρτηση y = 2x + 1: γράφεις -3 = 2x + 1, μεταφέρεις τους όρους και βρίσκεις x = 2. Τόσο απλά!
Το τρικ είναι να θυμάσαι τους κανόνες των εξισώσεων: ό,τι κάνεις στο ένα μέρος, το κάνεις και στο άλλο. Αυτό που έμαθες στα προβλήματα με εξισώσεις λειτουργεί και εδώ!
💡 Συμβουλή: Κάνε πάντα έλεγχο - αντικατέστησε το x που βρήκες για να δεις αν βγάζει το σωστό y!
Καρτεσιανές Συντεταγμένες
Το καρτεσιανό σύστημα είναι σαν έναν χάρτη για τα μαθηματικά! Έχει δύο άξονες: τον x (οριζόντιο) και τον y (κατακόρυφο). Κάθε σημείο γράφεται ως (x, y).
Σημαντικές λεπτομέρειες: Όλα τα σημεία πάνω στον άξονα x έχουν y = 0, ενώ όλα τα σημεία στον άξονα y έχουν x = 0. Το Α(4,3) σημαίνει 4 βήματα δεξιά και 3 βήματα πάνω!
Για να τοποθετήσεις ένα σημείο: πρώτα μετράς οριζόντια (x), μετά κατακόρυφα (y). Αρνητικές τιμές σημαίνουν αριστερά (για x) ή κάτω (για y). Εξάσκησε με τα παραδείγματα στη σελίδα!
💡 Θυμήσου: Πρώτα x (οριζόντια), μετά y (κατακόρυφα)!
Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Η γραφική παράσταση είναι το σχήμα που βλέπεις όταν σχεδιάζεις μια συνάρτηση! Πρώτα φτιάχνεις πίνακα τιμών, μετά τοποθετείς τα σημεία και τέλος τα ενώνεις.
Για τη y = 2x + 3: υπολογίζεις τιμές όπως (-1,1), (0,3), (1,5), (2,7). Κάθε υπολογισμός γίνεται με αντικατάσταση - απλά βάζεις την τιμή του x στη θέση του!
Τα σημεία στη γραφική παράσταση δείχνουν όλους τους δυνατούς συνδυασμούς (x,y) που ικανοποιούν τη συνάρτηση. Όταν τα ενώσεις, βλέπεις το μοτίβο της συνάρτησης!
💡 Τρικ: Όσο περισσότερα σημεία υπολογίσεις, τόσο πιο ακριβής θα είναι η γραφική σου!
Σχεδίαση Γραφικής Παράστασης
Το τελευταίο βήμα είναι να τοποθετήσεις τα σημεία στο καρτεσιανό σύστημα και να τα ενώσεις! Αυτό δίνει το τελικό σχήμα της συνάρτησης.
Όταν ενώνεις τα σημεία, προσπάθησε να κάνεις μια ομαλή γραμμή. Για τις γραμμικές συναρτήσεις , το αποτέλεσμα είναι πάντα μια ευθεία γραμμή!
Η γραφική παράσταση σε βοηθάει να οπτικοποιήσεις τη συνάρτηση. Μπορείς να δεις πώς αλλάζει το y καθώς αλλάζει το x, και να καταλάβεις καλύτερα τη συμπεριφορά της συνάρτησης!
💡 Τελικό τρικ: Αν τα σημεία δεν φαίνονται να ακολουθούν ένα μοτίβο, ξαναέλεγξε τους υπολογισμούς σου!
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
ΤΑ ΚΟΥΙΖ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΜΝΗΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ ΧΡΗΣΙΜΑ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΥΩ ΤΟ Knowunity ΤΝ. ΕΙΝΑΙ ΚΥΡΙΟΛΕΚΤΙΚΑ ΣΑΝ ΤΟ CHATGPT ΑΛΛΑ ΠΙΟ ΕΞΥΠΝΟ!! ΜΕ ΒΟΗΘΗΣΕ ΚΑΙ ΜΕ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΑΣΚΑΡΑ ΜΟΥ!! ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ! ΞΕΚΑΘΑΡΑ 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
ΤΑ ΚΟΥΙΖ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΜΝΗΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ ΧΡΗΣΙΜΑ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΥΩ ΤΟ Knowunity ΤΝ. ΕΙΝΑΙ ΚΥΡΙΟΛΕΚΤΙΚΑ ΣΑΝ ΤΟ CHATGPT ΑΛΛΑ ΠΙΟ ΕΞΥΠΝΟ!! ΜΕ ΒΟΗΘΗΣΕ ΚΑΙ ΜΕ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΑΣΚΑΡΑ ΜΟΥ!! ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ! ΞΕΚΑΘΑΡΑ 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
Β' Γυμνασίου Μαθηματικά - Κατανόηση Έννοιων και Επίλυση Ασκήσεων
Δ
Δωρα
@_dwrss
Τα μαθηματικά γίνονται πιο εύκολα όταν καταλαβαίνεις τη λογική πίσω από κάθε βήμα! Εδώ θα δεις πώς να λύνεις προβλήματα με εξισώσεις, να δουλεύεις με ρίζες και να κατανοήσεις τις βασικές έννοιες των συναρτήσεων.
Προβλήματα με Εξισώσεις
Όταν βλέπεις ένα πρόβλημα με λόγια, μην πανικοβάλλεσαι! Υπάρχει μια συγκεκριμένη μέθοδος που σε βοηθάει κάθε φορά.
Ακολουθείς αυτά τα 4 βήματα: Πρώτα, βάζεις τον άγνωστο αριθμό ως "x". Μετά, εκφράζεις όλα τα άλλα δεδομένα με τη βοήθεια του x. Στη συνέχεια, φτιάχνεις την εξίσωση και τη λύνεις.
Τέλος - και αυτό είναι σημαντικό! - ελέγχεις αν η απάντησή σου βγάζει νόημα. Για παράδειγμα, στο πρόβλημα "το διπλάσιο ενός αριθμού μείον 3 δίνει 7", θα γράψεις 2x - 3 = 7 και θα βρεις x = 5.
💡 Συμβουλή: Διάβασε το πρόβλημα δυο φορές πριν αρχίσεις να γράφεις την εξίσωση!
Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Τετραγωνική Ρίζα Θετικού Αριθμού
Η τετραγωνική ρίζα είναι σαν να κάνεις αντίστροφη πράξη στο τετράγωνο. Αν √a = x, τότε x² = a. Το σημαντικό είναι ότι το αποτέλεσμα είναι πάντα θετικός αριθμός!
Προσοχή μεγάλη: Ο αριθμός κάτω από τη ρίζα (υπόριζο) δεν μπορεί να είναι αρνητικός! Εκτός αν είναι σε παρένθεση και υψωμένος σε άρτιο εκθέτη.
Για παράδειγμα: √(-16) δεν ορίζεται, ενώ √((-8)²) = √64 = 8. Η διαφορά είναι ότι στη δεύτερη περίπτωση πρώτα κάνουμε το τετράγωνο που δίνει θετικό αριθμό!
💡 Θυμήσου: Η ρίζα δίνει πάντα θετικό αποτέλεσμα!
Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Ιδιότητες Ριζών
Οι ιδιότητες των ριζών σου κάνουν τη ζωή πιο εύκολη! Η πρώτη ιδιότητα λέει ότι αν a ≥ 0, τότε (√a)² = a. Η δεύτερη είναι ότι √a² = |a| (απόλυτη τιμή).
Μπορείς να πολλαπλασιάζεις και να διαιρείς ρίζες: √a · √β = √(a·β) και √a/√β = √. Αυτό σημαίνει ότι √2 · √50 = √100 = 10!
Μεγάλη προσοχή: Δεν μπορείς να κάνεις το ίδιο με πρόσθεση και αφαίρεση! Δηλαδή √16 + √9 ≠ √(16+9). Το πρώτο δίνει 4 + 3 = 7, ενώ το δεύτερο δίνει √25 = 5.
💡 Προσοχή: Οι ιδιότητες ισχύουν μόνο για πολλαπλασιασμό και διαίρεση, όχι για πρόσθεση!
Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Άρρητοι Αριθμοί
Οι αριθμοί χωρίζονται σε κατηγορίες! Φυσικοί είναι το 0,1,2,3... Ακέραιοι προσθέτουν και τους αρνητικούς. Ρητοί είναι όσοι γράφονται ως κλάσμα μ/ν.
Οι άρρητοι αριθμοί είναι εκείνοι που δεν μπορούν να γραφτούν ως κλάσμα. Συνήθως είναι ρίζες που δεν βγαίνουν ακριβώς, όπως √2, √3, √5.
Όλοι μαζί (ρητοί και άρρητοι) σχηματίζουν τους πραγματικούς αριθμούς - όλους τους γνωστούς αριθμούς που χρησιμοποιούμε! Αυτή η κατηγοριοποίηση σε βοηθάει να καταλάβεις καλύτερα τη φύση κάθε αριθμού.
💡 Εύκολο τρικ: Αν μια ρίζα δεν βγαίνει ακριβώς, είναι άρρητος αριθμός!
Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Η Έννοια της Συνάρτησης
Μια συνάρτηση είναι σαν μια μηχανή: βάζεις έναν αριθμό (x) και βγάζει έναν άλλον (y). Κάθε τιμή του x δίνει μόνο μία τιμή του y - αυτός είναι ο κανόνας!
Για να καταλάβεις μια συνάρτηση, φτιάχνεις πίνακα τιμών. Διαλέγεις τιμές για το x και υπολογίζεις το αντίστοιχο y. Για παράδειγμα, στη y = 2x + 1, όταν x = -1 τότε y = -1.
Μπορείς να λύσεις και το αντίστροφο πρόβλημα! Αν σου δώσουν y = 5, μπορείς να βρεις ότι x = 2. Απλά αντικαθιστάς και λύνεις την εξίσωση όπως έμαθες στο πρώτο κεφάλαιο.
💡 Κλειδί: Μία τιμή x = μία τιμή y. Πάντα!
Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Λύση Εξισώσεων με Συναρτήσεις
Όταν σου δίνουν την τιμή του y και θέλεις να βρεις το x, κάνεις αντικατάσταση και λύνεις! Είναι ακριβώς όπως τις κανονικές εξισώσεις που ξέρεις.
Για y = -3 στη συνάρτηση y = 2x + 1: γράφεις -3 = 2x + 1, μεταφέρεις τους όρους και βρίσκεις x = 2. Τόσο απλά!
Το τρικ είναι να θυμάσαι τους κανόνες των εξισώσεων: ό,τι κάνεις στο ένα μέρος, το κάνεις και στο άλλο. Αυτό που έμαθες στα προβλήματα με εξισώσεις λειτουργεί και εδώ!
💡 Συμβουλή: Κάνε πάντα έλεγχο - αντικατέστησε το x που βρήκες για να δεις αν βγάζει το σωστό y!
Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Καρτεσιανές Συντεταγμένες
Το καρτεσιανό σύστημα είναι σαν έναν χάρτη για τα μαθηματικά! Έχει δύο άξονες: τον x (οριζόντιο) και τον y (κατακόρυφο). Κάθε σημείο γράφεται ως (x, y).
Σημαντικές λεπτομέρειες: Όλα τα σημεία πάνω στον άξονα x έχουν y = 0, ενώ όλα τα σημεία στον άξονα y έχουν x = 0. Το Α(4,3) σημαίνει 4 βήματα δεξιά και 3 βήματα πάνω!
Για να τοποθετήσεις ένα σημείο: πρώτα μετράς οριζόντια (x), μετά κατακόρυφα (y). Αρνητικές τιμές σημαίνουν αριστερά (για x) ή κάτω (για y). Εξάσκησε με τα παραδείγματα στη σελίδα!
💡 Θυμήσου: Πρώτα x (οριζόντια), μετά y (κατακόρυφα)!
Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Η γραφική παράσταση είναι το σχήμα που βλέπεις όταν σχεδιάζεις μια συνάρτηση! Πρώτα φτιάχνεις πίνακα τιμών, μετά τοποθετείς τα σημεία και τέλος τα ενώνεις.
Για τη y = 2x + 3: υπολογίζεις τιμές όπως (-1,1), (0,3), (1,5), (2,7). Κάθε υπολογισμός γίνεται με αντικατάσταση - απλά βάζεις την τιμή του x στη θέση του!
Τα σημεία στη γραφική παράσταση δείχνουν όλους τους δυνατούς συνδυασμούς (x,y) που ικανοποιούν τη συνάρτηση. Όταν τα ενώσεις, βλέπεις το μοτίβο της συνάρτησης!
💡 Τρικ: Όσο περισσότερα σημεία υπολογίσεις, τόσο πιο ακριβής θα είναι η γραφική σου!
Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Σχεδίαση Γραφικής Παράστασης
Το τελευταίο βήμα είναι να τοποθετήσεις τα σημεία στο καρτεσιανό σύστημα και να τα ενώσεις! Αυτό δίνει το τελικό σχήμα της συνάρτησης.
Όταν ενώνεις τα σημεία, προσπάθησε να κάνεις μια ομαλή γραμμή. Για τις γραμμικές συναρτήσεις , το αποτέλεσμα είναι πάντα μια ευθεία γραμμή!
Η γραφική παράσταση σε βοηθάει να οπτικοποιήσεις τη συνάρτηση. Μπορείς να δεις πώς αλλάζει το y καθώς αλλάζει το x, και να καταλάβεις καλύτερα τη συμπεριφορά της συνάρτησης!
💡 Τελικό τρικ: Αν τα σημεία δεν φαίνονται να ακολουθούν ένα μοτίβο, ξαναέλεγξε τους υπολογισμούς σου!
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
10
Έξυπνα Εργαλεία ΝΕΟ
Μετέτρεψε αυτές τις σημειώσεις σε: ✓ 50+ Ερωτήσεις Εξάσκησης ✓ Διαδραστικές Κάρτες Μνήμης ✓ Πλήρες Προσομοιωτικό Διαγώνισμα ✓ Σχέδια Δοκιμίου
Προσομοιωτικό Διαγώνισμα
Κουίζ
Κάρτες μνήμης
Δοκίμιο
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5
App Store
4.7/5
Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
ΤΑ ΚΟΥΙΖ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΜΝΗΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ ΧΡΗΣΙΜΑ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΥΩ ΤΟ Knowunity ΤΝ. ΕΙΝΑΙ ΚΥΡΙΟΛΕΚΤΙΚΑ ΣΑΝ ΤΟ CHATGPT ΑΛΛΑ ΠΙΟ ΕΞΥΠΝΟ!! ΜΕ ΒΟΗΘΗΣΕ ΚΑΙ ΜΕ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΑΣΚΑΡΑ ΜΟΥ!! ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ! ΞΕΚΑΘΑΡΑ 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
ΤΑ ΚΟΥΙΖ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΜΝΗΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ ΧΡΗΣΙΜΑ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΥΩ ΤΟ Knowunity ΤΝ. ΕΙΝΑΙ ΚΥΡΙΟΛΕΚΤΙΚΑ ΣΑΝ ΤΟ CHATGPT ΑΛΛΑ ΠΙΟ ΕΞΥΠΝΟ!! ΜΕ ΒΟΗΘΗΣΕ ΚΑΙ ΜΕ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΑΣΚΑΡΑ ΜΟΥ!! ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ! ΞΕΚΑΘΑΡΑ 😍😁😲🤑💗✨🎀😮
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS