Μαθηματικά5.096 προβολές·Ενημερώθηκε 24 Αυγ 2026·59 σελίδες

Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Θεωρία και Ερωτήσεις

Mariada Saloniki@mariadasaloniki

Προσθήκη στις πηγές Google

Καλώς ήρθατε στον κόσμο των μαθηματικών προσανατολισμούΓ' Λυκείου! Αυτός...

1 / 59

of 59

Εισαγωγή στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Αυτό το βιβλίο είναι ο πλήρης οδηγός σας για τα μαθηματικά προσανατολισμού Γ' Λυκείου. Περιέχει όλη τη θεωρία, αποδείξεις, ερωτήσεις σωστό-λάθος και θέματα πανελληνιών από το 1967 έως το 2017.

Θα ξεκινήσουμε με το κεφάλαιο 1° που καλύπτει το όριο και τη συνέχεια συνάρτησης, από τους πραγματικούς αριθμούς μέχρι τις βασικές έννοιες των συναρτήσεων.

Συμβουλή: Μελετήστε πρώτα τη θεωρία και μετά εξασκηθείτε στα θέματα των πανελληνιών!

of 59

Ορισμός Συνάρτησης και Βασικές Έννοιες

Μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α είναι ένας κανόνας f που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο x∈A σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και γράφεται f $x$ .

Το πεδίο ορισμού της f συμβολίζεται $D_f$ και αποτελείται από όλες τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση ορίζεται. Το σύνολο τιμών f(A) περιέχει όλες τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση.

Η γραφική παράσταση της f είναι το σύνολο των σημείων M(x,f $x$ ) με x∈A. Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση σε το πολύ ένα σημείο - αυτό διαφοροποιεί τη συνάρτηση από άλλες καμπύλες όπως ο κύκλος.

Προσοχή: Από τη γραφική παράσταση μπορείτε να βρείτε το πεδίο ορισμού (τετμημένες) και το σύνολο τιμών (τεταγμένες).

of 59

Μετασχηματισμοί Συναρτήσεων και Βασικές Γραφικές Παραστάσεις

Από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f μπορούμε να σχεδιάσουμε εύκολα τις γραφικές παραστάσεις των -f και |f|.

Η γραφική παράσταση της -f είναι συμμετρική της αρχικής ως προς τον άξονα x'x. Κάθε σημείο M(x,f $x$ ) γίνεται M' $x,-f(x)$ .

Η γραφική παράσταση της |f| κρατάει τα τμήματα που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x'x και "αντικατοπτρίζει" προς τα πάνω όσα βρίσκονται κάτω από αυτόν.

Βασικές συναρτήσεις που πρέπει να ξέρετε να σχεδιάζετε:

Γραμμική: f $x$ = αx+β (ευθεία)
Δευτέρου βαθμού: f $x$ = αx² (παραβολή)
Κυβική: f $x$ = αx³
Ρίζες: f $x$ = √x, f $x$ = ∛x
Υπερβολή: f $x$ = α/x

Tip: Θυμηθείτε ότι το πρόσημο του α καθορίζει την "κατεύθυνση" της γραφικής παράστασης!

of 59

Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημx, συνx και εφx είναι περιοδικές με περίοδο T=2π (για ημx και συνx). Η εφx έχει περίοδο T=π και ασύμπτωτες στα σημεία όπου δεν ορίζεται.

Οι εκθετικές συναρτήσεις f $x$ =αˣ (α>0, α≠1) έχουν διαφορετική συμπεριφορά ανάλογα με τη βάση:

Αν α>1: η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα
Αν 0<α<1: η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα

Οι λογαριθμικές συναρτήσεις f $x$ =logₐx είναι οι αντίστροφες των εκθετικών. Ορίζονται μόνο για x>0 και έχουν τις ίδιες ιδιότητες μονοτονίας με τις αντίστοιχες εκθετικές.

Σημαντικές ιδιότητες λογαρίθμων:

logₐ(x₁x₂) = logₐx₁ + logₐx₂
logₐ $x₁/x₂$ = logₐx₁ - logₐx₂
logₐ(xᵏ) = k·logₐx

Προσοχή: Οι λογαριθμικές συναρτήσεις ορίζονται μόνο για θετικές τιμές του x!

of 59

Πράξεις και Σύνθεση Συναρτήσεων

Ίσες συναρτήσεις: Δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε x∈A ισχύει f $x$ =g $x$ .

Πράξεις συναρτήσεων: Για δύο συναρτήσεις f και g ορίζουμε:

$f+g$$x$ = f $x$ +g $x$
$f-g$$x$ = f $x$ -g $x$
(fg) $x$ = f $x$ g $x$
(f/g) $x$ = f $x$ /g $x$ , με g $x$ ≠0

Το πεδίο ορισμού των τριών πρώτων είναι η τομή των πεδίων ορισμού A∩B. Για το πηλίκο αφαιρούμε επιπλέον τα σημεία όπου g $x$ =0.

Σύνθεση συναρτήσεων: Η σύνθεση g∘f ορίζεται ως (g∘f) $x$ = g(f $x$ ). Το πεδίο ορισμού αποτελείται από τα x του πεδίου της f για τα οποία το f $x$ ανήκει στο πεδίο της g.

Σημαντικό: Η σύνθεση συναρτήσεων γενικά δεν είναι αντιμεταθετική: g∘f ≠ f∘g!

of 59

Μονοτονία και Συναρτήσεις 1-1

Μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για x₁<x₂ ισχύει f(x₁)<f(x₂). Είναι γνησίως φθίνουσα όταν για x₁<x₂ ισχύει f(x₁)>f(x₂).

Ακρότατα συναρτήσεων:

Ολικό μέγιστο στο x₀: f $x$ ≤f(x₀) για κάθε x∈A
Ολικό ελάχιστο στο x₀: f $x$ ≥f(x₀) για κάθε x∈A

Μια συνάρτηση f είναι 1-1 (ένα προς ένα) όταν για x₁≠x₂ ισχύει f(x₁)≠f(x₂). Ισοδύναμα: αν f(x₁)=f(x₂) τότε x₁=x₂.

Σημαντικές παρατηρήσεις:

Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι 1-1
Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα
Γραφικά: κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας 1-1 συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο

Tip για εξετάσεις: Για να αποδείξετε ότι μια συνάρτηση είναι 1-1, δείξτε ότι f(x₁)=f(x₂) ⟹ x₁=x₂!

of 59

Αντίστροφη Συνάρτηση

Μια συνάρτηση f αντιστρέφεται αν και μόνο αν είναι 1-1. Η αντίστροφη συνάρτηση f⁻¹ ορίζεται από τη σχέση: f $x$ =y ⟺ f⁻¹ $y$ =x.

Βασικές ιδιότητες:

f⁻¹(f $x$ ) = x για κάθε x∈A
f(f⁻¹ $y$ ) = y για κάθε y∈f(A)
Το πεδίο ορισμού της f⁻¹ είναι το σύνολο τιμών της f
Το σύνολο τιμών της f⁻¹ είναι το πεδίο ορισμού της f

Γραφική παράσταση: Οι γραφικές παραστάσεις των f και f⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x.

Μονοτονία: Αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε η f⁻¹ έχει το ίδιο είδος μονοτονίας. Δηλαδή αν f↑ τότε f⁻¹↑ και αν f↓ τότε f⁻¹↓.

Μνημονικό: Η αντίστροφη συνάρτηση "αναιρεί" την επίδραση της αρχικής - γι' αυτό f⁻¹(f $x$ )=x!

of 59

Όριο Συνάρτησης και Πλευρικά Όρια

Το όριο μιας συνάρτησης f στο σημείο x₀ συνδέεται άμεσα με τα πλευρικά όρια. Η θεμελιώδης σχέση είναι:

lim[x→x₀] f $x$ = l ⟺ lim[x→x₀⁻] f $x$ = lim[x→x₀⁺] f $x$ = l

Το αριστερό όριο lim[x→x₀⁻] f $x$ μελετά τη συμπεριφορά της f όταν το x πλησιάζει το x₀ από αριστερά. Το δεξιό όριο lim[x→x₀⁺] f $x$ μελετά την προσέγγιση από δεξιά.

Σημαντικές παρατηρήσεις:

Για να υπάρχει όριο, η f πρέπει να ορίζεται "κοντά" στο x₀
Το x₀ μπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού
Η τιμή f(x₀), αν υπάρχει, μπορεί να διαφέρει από το όριο

Βασικά όρια: lim[x→x₀] x = x₀ και lim[x→x₀] c = c (για σταθερά c).

Κλειδί για επιτυχία: Όταν τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, το όριο δεν υπάρχει!

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

of 59

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Εισαγωγή στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Ορισμός Συνάρτησης και Βασικές Έννοιες

Μετασχηματισμοί Συναρτήσεων και Βασικές Γραφικές Παραστάσεις

Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις

Πράξεις και Σύνθεση Συναρτήσεων

Μονοτονία και Συναρτήσεις 1-1

Αντίστροφη Συνάρτηση

Όριο Συνάρτησης και Πλευρικά Όρια

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Παρόμοιο Περιεχόμενο

Τυπολογικό ( Γεωμετρία Β λυκείου )

Όλη η ύλη για γεωμετρία α λυκείου

Μαθηματικα αλγεβρα β λυκειου

διανύσματα Β λυκείου κατεύθυνση

Κριτήρια ισότητας τριγώνου-ορθογωνίου τριγώνου

Βασικές έννοιες στην τριγωνομετρία 📐📏

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

Γεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα

Πυθαγόρειο θεώρημα

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Γεωμετρία Β´λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΆΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΊΟΥ ΓΕΝΙΚΉΣ ΠΑΙΔΕΊΑΣ

SOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Πυθαγόρειο Θεώρημα

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Φυσική Β γυμνασίου

Σχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου

Φυσική Β γυμνασίου

Ορισμοί Ιστορίας

Ιστορία Α λυκείου ΣΟΣ

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

Φάκελος Υλικού

Βιολογία γ γυμνασίου όλο το κεφάλαιο 5

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Εισαγωγή στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Ορισμός Συνάρτησης και Βασικές Έννοιες

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Μετασχηματισμοί Συναρτήσεων και Βασικές Γραφικές Παραστάσεις

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Πράξεις και Σύνθεση Συναρτήσεων

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Μονοτονία και Συναρτήσεις 1-1

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Αντίστροφη Συνάρτηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Όριο Συνάρτησης και Πλευρικά Όρια

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!