Ξεκίνα

Μαθηματικά3.442Ενημερώθηκε 27 Σεπ 202610 σελίδες

Ορια και Κριτήριο Παρεμβολής - Μαθηματικά Γ’ Λυκείου

Αναφέρω
user profile picture
Έλενα Πανιά@elenouli.ii
Προσθήκη στις πηγές Google
Τα όρια είναι ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια των μαθηματικών που θα χρησιμοποιείς συνέχεια στις πανελλαδικές! Βασικά, μας βοηθούν να καταλάβουμε τι συμβαίνει σε μια συνάρτηση όταν πλησιάζουμε κάποιο σημείο.
Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης] – σελίδα 1

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Βασικά Όρια και Απροσδιόριστες Μορφές

Το όριο μιας συνάρτησης f όταν το x τείνει στο x₀ γράφεται lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x). Στην πράξη, απλά αντικαθιστάς το x₀ στη θέση του x και υπολογίζεις!

Πρόσεχε όμως τις απροσδιόριστες μορφές όπως το 0/0. Όταν βγει 0/0, σημαίνει ότι πρέπει να παραγοντοποιήσεις τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Μετά την παραγοντοποίηση, απλοποιείς το x−x0x-x₀ που υπάρχει πάνω και κάτω, και τέλος αντικαθιστάς. Για παράδειγμα: lim⁡x→3x2−9x2−4x+3=(x−3)(x+3)(x−3)(x−1)=62=3\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-1)} = \frac{6}{2} = 3.

Tip: Πάντα έλεγξε πρώτα αν βγαίνει απροσδιόριστη μορφή πριν ξεκινήσεις παραγοντοποίηση!

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης] – σελίδα 2

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Πράξεις με Όρια

Μόλις μάθεις αυτούς τους κανόνες πράξεων, τα όρια γίνονται παιχνιδάκι! Αρκεί να υπάρχουν τα όρια των fxx και gxx.

Μπορείς να προσθέτεις, πολλαπλασιάζεις και διαιρείς όρια ξεχωριστά. Δηλαδή το όριο του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ορίων.

Το ίδιο ισχύει για την ρίζα και την απόλυτη τιμή. Απλά βγάζεις το όριο έξω από τη ρίζα ή την απόλυτη τιμή.

Προσοχή: Στη διαίρεση, το όριο του παρονομαστή δεν πρέπει να είναι μηδέν!

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης] – σελίδα 3

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Πλευρικά Όρια

Τα πλευρικά όρια είναι απλά - σκέψου από ποια πλευρά πλησιάζεις το σημείο! Από αριστερά (μικρότερες τιμές) ή από δεξιά (μεγαλύτερες).

Το αριστερό πλευρικό όριο γράφεται με μείον (x₀⁻) και το δεξί με συν (x₀⁺). Είναι σαν να περπατάς προς το σημείο από διαφορετικές κατευθύνσεις.

Κρίσιμο: Ένα όριο υπάρχει μόνο αν το αριστερό και δεξί πλευρικό όριο είναι ίσα! Αν είναι διαφορετικά, το όριο δεν υπάρχει.

Μυστικό επιτυχίας: Όταν έχεις απόλυτες τιμές ή κομμάτι συναρτήσεις, πάντα ελέγχεις πλευρικά όρια!

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης] – σελίδα 4

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Τριγωνομετρικά και Ειδικά Όρια

Αυτά τα θεμελιώδη τριγωνομετρικά όρια πρέπει να τα ξέρεις απέξω: lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 και lim⁡x→0cos⁡x−1x=0\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0.

Όταν έχεις απόλυτες τιμές στον παρονομαστή, προσοχή! Πρέπει να εξετάσεις τι συμβαίνει από κάθε πλευρά του σημείου.

Στις εφαρμογές, μερικές φορές δίνεται ένα όριο και πρέπει να βρεις άλλο. Θέτεις βοηθητική συνάρτηση και χρησιμοποιείς την πληροφορία που έχεις.

Hack: Τα τριγωνομετρικά όρια εμφανίζονται συχνά στις εξετάσεις, οπότε εξασκήσου πολύ!

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης] – σελίδα 5

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Κριτήριο Παρεμβολής

Το κριτήριο παρεμβολής (ή squeeze theorem) είναι σαν να έχεις μια συνάρτηση "σφηνωμένη" ανάμεσα σε δύο άλλες!

Αν έχεις g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x) κοντά στο x₀, και τα όρια των g και h είναι ίσα, τότε και το όριο της f είναι το ίδιο.

Σκέψου το έτσι: αν δύο "φρουροί" πάνε στο ίδιο σημείο, τότε και ο "κρατούμενος" στη μέση θα πάει εκεί!

Χρήσιμο tip: Χρησιμοποιείται συχνά με ημίτονο, συνημίτονο ή άλλες φραγμένες συναρτήσεις.

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης] – σελίδα 6

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Πρόσημο Ορίων

Αυτός ο κανόνας είναι πολύ λογικός! Αν το όριο μιας συνάρτησης είναι θετικό, τότε η συνάρτηση θα είναι θετική κοντά σε εκείνο το σημείο.

Το ίδιο ισχύει και για αρνητικά όρια - η συνάρτηση θα είναι αρνητική κοντά στο σημείο.

Αυτή η ιδιότητα είναι χρήσιμη όταν θέλουμε να εξετάσουμε το πρόσημο μιας συνάρτησης ή να λύσουμε ανισώσεις.

Πρακτική εφαρμογή: Αν ξέρεις ότι lim fxx = 5, τότε η fxx είναι θετική κοντά στο σημείο αυτό!

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης] – σελίδα 7

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μηδενική επί Φραγμένη

Ένας από τους πιο χρήσιμους κανόνες: μηδενική επί φραγμένη ισούται με μηδέν! Αν μια συνάρτηση τείνει στο 0 και μια άλλη παραμένει φραγμένη, το γινόμενό τους τείνει στο 0.

Για παράδειγμα, το lim⁡x→+∞sin⁡xx=0\lim_{x \to +∞} \frac{\sin x}{x} = 0 γιατί το sin x είναι φραγμένο −1≤sinx≤1-1 ≤ sin x ≤ 1 και το 1/x τείνει στο 0.

Χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής: −1x≤sin⁡xx≤1x-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}, και επειδή τα άκρα τείνουν στο 0, και το μεσαίο τείνει στο 0.

Στρατηγική: Όταν βλέπεις τριγωνομετρικές με x στον παρονομαστή, σκέψου "φραγμένη επί μηδενική"!

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης] – σελίδα 8

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης] – σελίδα 9

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης] – σελίδα 10

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Μαθηματικά

Μαθηματικά

Θεωρία Διανύσματα Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα

Β' Λυκ.86116
Μαθηματικά

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

Γ' Λυκ.5.167125
Μαθηματικά

Μαθηματικά Γ λυκείου

Κεφάλαια 1.1, 1.2, 1.3

Γ' Λυκ.4524
Μαθηματικά

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

Β' Λυκ.1.27625
Μαθηματικά

ΑΛΓΕΒΡΑ Β λυκείου όλη η ύλη

Περιλαμβάνει όλη την ύλη για τις εξετάσεις της Β λυκείου

Β' Λυκ.84419
Μαθηματικά

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου

Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)

Β' Λυκ.1.29321
Μαθηματικά

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.

Α' Λυκ.2.97675
Μαθηματικά

ΆΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΊΟΥ ΓΕΝΙΚΉΣ ΠΑΙΔΕΊΑΣ

Βοήθηματα Α ΛΥΚΕΊΟΥ ΑΛΓΕΥΡΑΣ

Α' Λυκ.1.40431
Μαθηματικά

Γ λυκείου Μαθηματικά 1ο Κεφάλαιο

Θεωρία πρώτου κεφαλαίου στα μαθηματικά οικονομικής κατεύθυνσης Γ λευκού μαζί με παραδείγματα

Γ' Λυκ.4989

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

ΑΟΘ (Οικονομία)

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ

Γ' Λυκ.10.272338
Άλλα

Εισαγωγή λατινικά

Σημειώσεις για την εισαγωγή στα λατινικά

Γ' Λυκ.7048
Αρχαία Ελληνικά

Εισαγωγή Θουκυδιδης

Βιβλίο σελ.18-28

Α' Λυκ.1.06517
Φυσική

Κρούσεις

Φυσική Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ' Λυκ.1.89632
Λατινικά

Εισαγωγή λατινικών

Περιεχόμενο:Ή λατινική γλώσσα,η γένεση της ρωμαϊκής λογοτεχνίας,εποχές της ρωμαϊκής λογοτεχνίας,γενικά χαρακτηριστικά της ρωμαϊκής λογοτεχνίας

Γ' Λυκ.70611
Αρχαία Ελληνικά

Γραμματική Αρχαίων (Όλα τα γραμματικά φαινόμενα)

Ιδανικό για όσους ακολουθούν την θεωρητική κατεύθυνση. Πλήρης ανάλυση όλων των γραμματικών φαινομένων της αρχαίας Ελληνικής.

Α' Λυκ.2.41580
Αρχαία Ελληνικά (Ανθρ.)

ΠΛΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΧΑΙΑ ΚΑΤ.

Αρχαία ανθρωπιστικών σπουδών φάκελος υλικού

Γ' Λυκ.2.22073
Αρχαία Ελληνικά

Εισαγωγή θουκυδιδη

Αρχαία α λυκείου

Α' Λυκ.90211
Αρχαία Ελληνικά

Φάκελος Υλικού

Ενότητες 1-8, φάκελος υλικού, Γ’ Λυκείου

Γ' Λυκ.2.01450

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά, και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Στέφαν Σχρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Άνναχρήστης iOS

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.