Πώς συνδέονται τα μήκη, οι γωνίες και τα σχήματα στη...
Γεωμετρία Β’ Λυκείου: Όλα τα θεωρήματα και οι αποδείξεις







Αναλογίες και Ανάλογα Τμήματα
Φαντάσου ότι έχεις δύο ζευγάρια ευθύγραμμων τμημάτων και θέλεις να δεις αν "ταιριάζουν" μεταξύ τους. Αυτό ακριβώς κάνουν οι αναλογίες!
Δύο ευθύγραμμα τμήματα α,γ λέγονται ανάλογα προς δύο άλλα β,δ όταν ο λόγος τους είναι ίσος: α/β = γ/δ. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας "μαγικός" αριθμός λ που κάνει α = λ·β και γ = λ·δ.
Οι ιδιότητες των αναλογιών είναι πολύ χρήσιμες στις ασκήσεις. Η πιο σημαντική είναι ότι αδ = βγ (πολλαπλασιασμός "σταυρωτά"). Επίσης, μπορείς να προσθέτεις ή να αφαιρείς τους όρους με έξυπνους τρόπους!
💡 Συμβουλή: Όταν βλέπεις αναλογία, σκέψου πάντα τον σταυρωτό πολλαπλασιασμό πρώτα!

Θεωρήματα Παραλλήλων Ευθειών
Οι παράλληλες ευθείες δημιουργούν πάντα αναλογίες όταν τις τέμνουν άλλες ευθείες. Αυτό είναι το μυστικό για να λύνεις δύσκολες ασκήσεις!
Το Θεώρημα 2 λέει ότι αν έχεις δύο ευθείες που τέμνουν παράλληλες και τα τμήματα είναι ανάλογα, τότε και το τρίτο ζευγάρι θα είναι παράλληλο. Δηλαδή, οι αναλογίες "δημιουργούν" παραλληλίες!
Το Πόρισμα 1 είναι ακόμα πιο πρακτικό: σε κάθε τρίγωνο, μια παράλληλη προς μια πλευρά χωρίζει τις άλλες δύο πλευρές σε ανάλογα μέρη. Το Θεώρημα 3 συμπληρώνει λέγοντας ότι το μικρότερο τρίγωνο που σχηματίζεται έχει πλευρές ανάλογες με το αρχικό.
💡 Συμβουλή: Όταν βλέπεις παράλληλες σε τρίγωνο, ψάξε πάντα για αναλογίες!

Όμοια Τρίγωνα και Κριτήρια Ομοιότητας
Τα όμοια σχήματα είναι σαν φωτογραφίες στην ίδια θέση αλλά διαφορετικό μέγεθος - ίδιες γωνίες, ανάλογες πλευρές!
Υπάρχουν τρία κριτήρια ομοιότητας που πρέπει να ξέρεις απέξω. Το 1ο κριτήριο είναι το πιο εύκολο: αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, είναι όμοια (η τρίτη γωνία βγαίνει αυτόματα ίση).
Το 2ο κριτήριο συνδυάζει πλευρές και γωνίες: δύο ανάλογες πλευρές και η περιεχόμενη γωνία ίση. Το 3ο κριτήριο είναι το πιο "δύσκολο": όλες οι πλευρές ανάλογες μία προς μία.
💡 Συμβουλή: Στις ασκήσεις, ξεκίνα πάντα με το 1ο κριτήριο - είναι το πιο γρήγορο!

Πυθαγόρειο Θεώρημα και Προβολές
Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι το πιο διάσημο θεώρημα της γεωμετρίας, αλλά εδώ το βλέπεις από μια νέα οπτική - μέσω των προβολών!
Το Θεώρημα 1 λέει κάτι εκπληκτικό: σε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς. Δηλαδή ΑΒ² = ΒΓ·ΒΔ.
Η απόδειξη βασίζεται στα όμοια τρίγωνα που μάθαμε πριν. Όταν χαράξεις το ύψος προς την υποτείνουσα, δημιουργούνται τρία όμοια τρίγωνα!
Το Θεώρημα 2 είναι το κλασικό Πυθαγόρειο: α² + β² = γ². Η απόδειξή του προκύπτει προσθέτοντας τις σχέσεις του προηγούμενου θεωρήματος.
💡 Συμβουλή: Θυμήσου ότι κάθε ορθογώνιο τρίγωνο κρύβει μέσα του τρία όμοια τρίγωνα!


Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Παρόμοιο Περιεχόμενο
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Geometric Theorems
1Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
9Ολη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
SOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις
Γεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα
Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται
Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου
Θεωρία και αποδείξεις
Μαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου
Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)
Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα
Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Σχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
ιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Βιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Ιστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Φυσική Β γυμνασίου
Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4
Ολη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Μυκηναϊκός πολιτισμός !
Μυκηναϊκός πολιτισμός
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Γεωμετρία Β’ Λυκείου: Όλα τα θεωρήματα και οι αποδείξεις
Πώς συνδέονται τα μήκη, οι γωνίες και τα σχήματα στη γεωμετρία; Σε αυτό το κεφάλαιο θα μάθεις πώς να χρησιμοποιείς τις αναλογίες για να λύνεις προβλήματα και πώς να αναγνωρίζεις όμοια σχήματα.

Αναλογίες και Ανάλογα Τμήματα
Φαντάσου ότι έχεις δύο ζευγάρια ευθύγραμμων τμημάτων και θέλεις να δεις αν "ταιριάζουν" μεταξύ τους. Αυτό ακριβώς κάνουν οι αναλογίες!
Δύο ευθύγραμμα τμήματα α,γ λέγονται ανάλογα προς δύο άλλα β,δ όταν ο λόγος τους είναι ίσος: α/β = γ/δ. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένας "μαγικός" αριθμός λ που κάνει α = λ·β και γ = λ·δ.
Οι ιδιότητες των αναλογιών είναι πολύ χρήσιμες στις ασκήσεις. Η πιο σημαντική είναι ότι αδ = βγ (πολλαπλασιασμός "σταυρωτά"). Επίσης, μπορείς να προσθέτεις ή να αφαιρείς τους όρους με έξυπνους τρόπους!
💡 Συμβουλή: Όταν βλέπεις αναλογία, σκέψου πάντα τον σταυρωτό πολλαπλασιασμό πρώτα!

Θεωρήματα Παραλλήλων Ευθειών
Οι παράλληλες ευθείες δημιουργούν πάντα αναλογίες όταν τις τέμνουν άλλες ευθείες. Αυτό είναι το μυστικό για να λύνεις δύσκολες ασκήσεις!
Το Θεώρημα 2 λέει ότι αν έχεις δύο ευθείες που τέμνουν παράλληλες και τα τμήματα είναι ανάλογα, τότε και το τρίτο ζευγάρι θα είναι παράλληλο. Δηλαδή, οι αναλογίες "δημιουργούν" παραλληλίες!
Το Πόρισμα 1 είναι ακόμα πιο πρακτικό: σε κάθε τρίγωνο, μια παράλληλη προς μια πλευρά χωρίζει τις άλλες δύο πλευρές σε ανάλογα μέρη. Το Θεώρημα 3 συμπληρώνει λέγοντας ότι το μικρότερο τρίγωνο που σχηματίζεται έχει πλευρές ανάλογες με το αρχικό.
💡 Συμβουλή: Όταν βλέπεις παράλληλες σε τρίγωνο, ψάξε πάντα για αναλογίες!

Όμοια Τρίγωνα και Κριτήρια Ομοιότητας
Τα όμοια σχήματα είναι σαν φωτογραφίες στην ίδια θέση αλλά διαφορετικό μέγεθος - ίδιες γωνίες, ανάλογες πλευρές!
Υπάρχουν τρία κριτήρια ομοιότητας που πρέπει να ξέρεις απέξω. Το 1ο κριτήριο είναι το πιο εύκολο: αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, είναι όμοια (η τρίτη γωνία βγαίνει αυτόματα ίση).
Το 2ο κριτήριο συνδυάζει πλευρές και γωνίες: δύο ανάλογες πλευρές και η περιεχόμενη γωνία ίση. Το 3ο κριτήριο είναι το πιο "δύσκολο": όλες οι πλευρές ανάλογες μία προς μία.
💡 Συμβουλή: Στις ασκήσεις, ξεκίνα πάντα με το 1ο κριτήριο - είναι το πιο γρήγορο!

Πυθαγόρειο Θεώρημα και Προβολές
Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι το πιο διάσημο θεώρημα της γεωμετρίας, αλλά εδώ το βλέπεις από μια νέα οπτική - μέσω των προβολών!
Το Θεώρημα 1 λέει κάτι εκπληκτικό: σε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς ισούται με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς. Δηλαδή ΑΒ² = ΒΓ·ΒΔ.
Η απόδειξη βασίζεται στα όμοια τρίγωνα που μάθαμε πριν. Όταν χαράξεις το ύψος προς την υποτείνουσα, δημιουργούνται τρία όμοια τρίγωνα!
Το Θεώρημα 2 είναι το κλασικό Πυθαγόρειο: α² + β² = γ². Η απόδειξή του προκύπτει προσθέτοντας τις σχέσεις του προηγούμενου θεωρήματος.
💡 Συμβουλή: Θυμήσου ότι κάθε ορθογώνιο τρίγωνο κρύβει μέσα του τρία όμοια τρίγωνα!


Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Παρόμοιο Περιεχόμενο
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Geometric Theorems
1Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
9Ολη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
SOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις
Γεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα
Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται
Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου
Θεωρία και αποδείξεις
Μαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου
Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)
Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα
Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Σχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
ιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Βιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Ιστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Φυσική Β γυμνασίου
Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4
Ολη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Μυκηναϊκός πολιτισμός !
Μυκηναϊκός πολιτισμός
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.