Βασικές Έννοιες Συναρτήσεων

Μια συνάρτηση είναι απλά ένας κανόνας που συνδέει κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α με ακριβώς ένα στοιχείο ενός συνόλου Β. Σκέψου το σαν μια μηχανή που για κάθε "είσοδο" δίνει μια συγκεκριμένη "έξοδο".

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f αποτελείται από όλα τα σημεία Μ(x, f$x$) και έχει εξίσωση y = f$x$. Αυτή είναι η καμπύλη που βλέπεις στο σύστημα αξόνων.

Μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα όταν για x₁ < x₂ ισχύει πάντα f(x₁) < f(x₂). Δηλαδή, καθώς το x μεγαλώνει, το f$x$ επίσης μεγαλώνει.

Tip: Τα ακρότατα (μέγιστα και ελάχιστα) είναι τα σημεία όπου η συνάρτηση "κορυφώνει" ή "βυθίζεται" τοπικά ή ολικά.

Παραγώγιση και Βασικοί Τύποι

Μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x₀ όταν υπάρχει το όριο $\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ και είναι πραγματικός αριθμός. Η παράγωγος μετράει πόσο γρήγορα αλλάζει η συνάρτηση.

Οι βασικότεροι τύποι παραγώγισης που πρέπει να θυμάσαι είναι:

• $c$' = 0 (η παράγωγος σταθεράς είναι μηδέν)
• $x$' = 1
• (x²)' = 2x

Προσοχή: Αν f'$x$ < 0 σε ένα διάστημα, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα εκεί.

Επίσης χρήσιμοι είναι οι τύποι: $x^p$' = px^$p-1$, $(√x)' = \frac{1}{2√x}$, και $(1/x)' = -1/x²$.

Κανόνες Παραγώγισης

Για να παραγωγίσεις σύνθετες συναρτήσεις, χρησιμοποιείς συγκεκριμένους κανόνες που κάνουν τη δουλειά σου πιο εύκολη.

Ο κανόνας του αθροίσματος λέει ότι $f(x) + g(x)$' = f'$x$ + g'$x$. Δηλαδή, η παράγωγος του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των παραγώγων.

Για το γινόμενο συναρτήσεων: (f$x$·g$x$)' = f'$x$·g$x$ + f$x$·g'$x$. Και για το πηλίκο: $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)}{(g(x))²}$.

Σημαντικό: Ο κανόνας της αλυσίδας (f(g$x$))' = f'(g$x$)·g'$x$ είναι απαραίτητος για σύνθετες συναρτήσεις.