Τα διανύσματα είναι βασικό εργαλείο στα μαθηματικά και τη φυσική...
Μαθηματικά (Θετ.)244 προβολές·Ενημερώθηκε Jun 8, 2026·4 σελίδεςΜαθηματικά Β' Λυκείου: Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων και Διανύσματα Θέσης
Ε
Ελπίδα Καραδήμου@_j4kv7
1 / 4
1
of 4
Πρόσθεση Διανυσμάτων
Για να προσθέσετε διανύσματα, πρέπει να είναι είτε διαδοχικά είτε να έχουν κοινή αρχή. Αυτό μπορεί να φαίνεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα είναι πιο απλό από όσο φαντάζεστε!
Διαδοχικά διανύσματα σημαίνει ότι το τέλος του πρώτου είναι η αρχή του δεύτερου. Σκεφτείτε το σαν βήματα που κάνετε - κάθε βήμα ξεκινά από εκεί που τελείωσε το προηγούμενο.
Το άθροισμα διαδοχικών διανυσμάτων είναι ένα νέο διάνυσμα που ξεκινά από την αρχή του πρώτου και τελειώνει στο τέλος του τελευταίου. Για διανύσματα με κοινή αρχή, χρησιμοποιούμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου - φέρνουμε παράλληλες γραμμές και βρίσκουμε το αποτέλεσμα.
💡 Tip: Φανταστείτε ότι περπατάτε - κάθε διάνυσμα είναι μια διαδρομή, και το άθροισμα είναι η συνολική διαδρομή σας!
2
of 4
Ιδιότητες Πρόσθεσης και Αφαίρεση Διανυσμάτων
Η πρόσθεση διανυσμάτων έχει τις ίδιες βασικές ιδιότητες με την πρόσθεση αριθμών! Είναι αντιμεταθετική (α + β = β + α) και προσεταιτική ((α + β) + γ = α + (β + γ)).
Υπάρχει επίσης το μηδενικό διάνυσμα (0) που όταν το προσθέτετε σε οποιοδήποτε διάνυσμα, δεν το αλλάζει. Κάθε διάνυσμα έχει και το αντίθετό του (-α), που όταν τα προσθέσετε δίνουν το μηδενικό διάνυσμα.
Η αφαίρεση διανυσμάτων γίνεται με πρόσθεση: α - β = α + (-β). Δηλαδή, προσθέτετε το αντίθετο του β στο α.
💡 Remember: Οι ιδιότητες αυτές κάνουν τους υπολογισμούς πιο εύκολους - μπορείτε να αλλάζετε τη σειρά και να ομαδοποιείτε όπως θέλετε!
3
of 4
Διάνυσμα Θέσεως
Το διάνυσμα θέσεως είναι ένας έξυπνος τρόπος να περιγράψουμε τη θέση οποιουδήποτε σημείου στο χώρο. Επιλέγουμε ένα σταθερό σημείο Ο (το σημείο αναφοράς) και κάθε άλλο σημείο Μ περιγράφεται με το διάνυσμα OM.
Αυτή η ιδέα μας δίνει έναν υπέροχο τύπο: κάθε διάνυσμα AB ισούται με OB - OA. Δηλαδή, η διανυσματική ακτίνα του τέλους μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής.
Αυτός ο τύπος είναι χρυσός στους υπολογισμούς γιατί μετατρέπει οποιοδήποτε διάνυσμα σε διαφορά διανυσμάτων θέσεως. Θα τον χρησιμοποιείτε συνέχεια στις ασκήσεις!
💡 Pro tip: Σκεφτείτε το σημείο αναφοράς σαν την "αρχή των συντεταγμένων" - όλα μετριούνται από εκεί!
4
of 4
Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων
Το μέτρο του αθροίσματος δύο διανυσμάτων δεν είναι απλώς το άθροισμα των μέτρων τους! Εδώ παίζει ρόλο η τριγωνική ανισότητα: |α + β| ≤ |α| + |β|.
Αυτό σημαίνει ότι το μήκος του αθροίσματος είναι πάντα μικρότερο ή ίσο από το άθροισμα των μηκών. Η ισότητα ισχύει μόνο όταν τα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση.
Γεωμετρικά, αυτό είναι λογικό: αν πάτε σε ευθεία γραμμή, διανύετε τη μέγιστη απόσταση. Αν κάνετε στροφές, η απόσταση μειώνεται.
💡 Visualization: Φανταστείτε ότι περπατάτε σε ευθεία γραμμή vs κάνετε μια στροφή - η ευθεία πάντα είναι η μεγαλύτερη απόσταση!
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Subtraction as Addition
1Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
9ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Γ' Λυκ.5,009121
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Γ' Λυκ.3,25077
ΜαθηματικάΜαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου
Θεωρία και αποδείξεις
Β' Λυκ.1,20021
Μαθηματικά (Θετ.)Τυπολογιο μαθηματικά κατεύθυνσης
Όλοι η ύλη
Β' Λυκ.1,13233
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β´λυκείου
Γεωμετρία Β´λυκείου όλες οι αποδείξεις και τα θεωρήματα-πορίσματα
Β' Λυκ.94217
Μαθηματικά (Θετ.)Θεωρία
Θεωρία έφ όλης της ύλης γ λυκείου μαθηματικών προσανατολισμού
Γ' Λυκ.1,14740
ΜαθηματικάΘεωρία Διανύσματα Β Λυκείου
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα
Β' Λυκ.74014
Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά Διανύσματα
Μαθηματικά κατεύθυνση
Β' Λυκ.7161
Μαθηματικά (Θετ.)Διανύσματα Β’ Λυκείου
Μαζεμένη θεωρία στα διανύσματα
Β' Λυκ.4848
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9
ΙστορίαΙστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Β' Λυκ.8,522300
ΙστορίαΣχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
Α' Λυκ.2,84668
Ιστορίαιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Α' Λυκ.2,0430
ΒιολογίαΒιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Β' Λυκ.3,13977
ΒιολογίαΒιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Β' Λυκ.7,131228
ΙστορίαΙστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Α' Λυκ.2,25942
ΦυσικήΦυσική Β γυμνασίου
Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4
Β' Γυμν.9,428665
ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ Κεφάλαιο 2
σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ
Γ' Λυκ.9,871322
Πληροφορική (Οικ.)Πληροφορική - Όλη η θεωρία
Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου
Γ' Λυκ.1,59744
Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σχρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άνναχρήστης iOS
Μαθηματικά (Θετ.)244 προβολές·Ενημερώθηκε Jun 8, 2026·4 σελίδεςΜαθηματικά Β' Λυκείου: Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων και Διανύσματα Θέσης
Ε
Ελπίδα Καραδήμου@_j4kv7
Τα διανύσματα είναι βασικό εργαλείο στα μαθηματικά και τη φυσική που σας βοηθά να κατανοήσετε πολλές έννοιες από κίνηση μέχρι δυνάμεις. Στη συνέχεια θα δούμε πώς προσθέτουμε διανύσματα και τι ιδιότητες έχουν αυτές οι πράξεις.
1
of 4
Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Πρόσθεση Διανυσμάτων
Για να προσθέσετε διανύσματα, πρέπει να είναι είτε διαδοχικά είτε να έχουν κοινή αρχή. Αυτό μπορεί να φαίνεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα είναι πιο απλό από όσο φαντάζεστε!
Διαδοχικά διανύσματα σημαίνει ότι το τέλος του πρώτου είναι η αρχή του δεύτερου. Σκεφτείτε το σαν βήματα που κάνετε - κάθε βήμα ξεκινά από εκεί που τελείωσε το προηγούμενο.
Το άθροισμα διαδοχικών διανυσμάτων είναι ένα νέο διάνυσμα που ξεκινά από την αρχή του πρώτου και τελειώνει στο τέλος του τελευταίου. Για διανύσματα με κοινή αρχή, χρησιμοποιούμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου - φέρνουμε παράλληλες γραμμές και βρίσκουμε το αποτέλεσμα.
💡 Tip: Φανταστείτε ότι περπατάτε - κάθε διάνυσμα είναι μια διαδρομή, και το άθροισμα είναι η συνολική διαδρομή σας!
2
of 4Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Ιδιότητες Πρόσθεσης και Αφαίρεση Διανυσμάτων
Η πρόσθεση διανυσμάτων έχει τις ίδιες βασικές ιδιότητες με την πρόσθεση αριθμών! Είναι αντιμεταθετική (α + β = β + α) και προσεταιτική ((α + β) + γ = α + (β + γ)).
Υπάρχει επίσης το μηδενικό διάνυσμα (0) που όταν το προσθέτετε σε οποιοδήποτε διάνυσμα, δεν το αλλάζει. Κάθε διάνυσμα έχει και το αντίθετό του (-α), που όταν τα προσθέσετε δίνουν το μηδενικό διάνυσμα.
Η αφαίρεση διανυσμάτων γίνεται με πρόσθεση: α - β = α + (-β). Δηλαδή, προσθέτετε το αντίθετο του β στο α.
💡 Remember: Οι ιδιότητες αυτές κάνουν τους υπολογισμούς πιο εύκολους - μπορείτε να αλλάζετε τη σειρά και να ομαδοποιείτε όπως θέλετε!
3
of 4Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Διάνυσμα Θέσεως
Το διάνυσμα θέσεως είναι ένας έξυπνος τρόπος να περιγράψουμε τη θέση οποιουδήποτε σημείου στο χώρο. Επιλέγουμε ένα σταθερό σημείο Ο (το σημείο αναφοράς) και κάθε άλλο σημείο Μ περιγράφεται με το διάνυσμα OM.
Αυτή η ιδέα μας δίνει έναν υπέροχο τύπο: κάθε διάνυσμα AB ισούται με OB - OA. Δηλαδή, η διανυσματική ακτίνα του τέλους μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής.
Αυτός ο τύπος είναι χρυσός στους υπολογισμούς γιατί μετατρέπει οποιοδήποτε διάνυσμα σε διαφορά διανυσμάτων θέσεως. Θα τον χρησιμοποιείτε συνέχεια στις ασκήσεις!
💡 Pro tip: Σκεφτείτε το σημείο αναφοράς σαν την "αρχή των συντεταγμένων" - όλα μετριούνται από εκεί!
4
of 4Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων
Το μέτρο του αθροίσματος δύο διανυσμάτων δεν είναι απλώς το άθροισμα των μέτρων τους! Εδώ παίζει ρόλο η τριγωνική ανισότητα: |α + β| ≤ |α| + |β|.
Αυτό σημαίνει ότι το μήκος του αθροίσματος είναι πάντα μικρότερο ή ίσο από το άθροισμα των μηκών. Η ισότητα ισχύει μόνο όταν τα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση.
Γεωμετρικά, αυτό είναι λογικό: αν πάτε σε ευθεία γραμμή, διανύετε τη μέγιστη απόσταση. Αν κάνετε στροφές, η απόσταση μειώνεται.
💡 Visualization: Φανταστείτε ότι περπατάτε σε ευθεία γραμμή vs κάνετε μια στροφή - η ευθεία πάντα είναι η μεγαλύτερη απόσταση!
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Subtraction as Addition
1Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
9ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Γ' Λυκ.5,009121
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Γ' Λυκ.3,25077
ΜαθηματικάΜαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου
Θεωρία και αποδείξεις
Β' Λυκ.1,20021
Μαθηματικά (Θετ.)Τυπολογιο μαθηματικά κατεύθυνσης
Όλοι η ύλη
Β' Λυκ.1,13233
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β´λυκείου
Γεωμετρία Β´λυκείου όλες οι αποδείξεις και τα θεωρήματα-πορίσματα
Β' Λυκ.94217
Μαθηματικά (Θετ.)Θεωρία
Θεωρία έφ όλης της ύλης γ λυκείου μαθηματικών προσανατολισμού
Γ' Λυκ.1,14740
ΜαθηματικάΘεωρία Διανύσματα Β Λυκείου
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα
Β' Λυκ.74014
Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά Διανύσματα
Μαθηματικά κατεύθυνση
Β' Λυκ.7161
Μαθηματικά (Θετ.)Διανύσματα Β’ Λυκείου
Μαζεμένη θεωρία στα διανύσματα
Β' Λυκ.4848
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9ΙστορίαΙστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Β' Λυκ.8,522300
ΙστορίαΣχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
Α' Λυκ.2,84668
Ιστορίαιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Α' Λυκ.2,0430
ΒιολογίαΒιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Β' Λυκ.3,13977
ΒιολογίαΒιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Β' Λυκ.7,131228
ΙστορίαΙστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Α' Λυκ.2,25942
ΦυσικήΦυσική Β γυμνασίου
Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4
Β' Γυμν.9,428665
ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ Κεφάλαιο 2
σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ
Γ' Λυκ.9,871322
Πληροφορική (Οικ.)Πληροφορική - Όλη η θεωρία
Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου
Γ' Λυκ.1,59744
Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σχρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άνναχρήστης iOS