Άνοιξε την Εφαρμογή

Μαθήματα

216

14 Ιαν 2026

4 σελίδες

Μαθηματικά Β' Λυκείου: Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων και Διανύσματα Θέσης

Ε

Ελπίδα Καραδήμου

@_j4kv7

Τα διανύσματα είναι βασικό εργαλείο στα μαθηματικά και τη φυσική... Δες περισσότερα

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
1 / 4
10
210
A
1.2
ΠΡΟΣΘΕΣΗ
12/09/2024
ΔΙΑΡΗΣΜΑΤΩΝ
Για να προσθεσουμε 2 ή περισσοτερα μη μηδενικά διατέματα
πρέπει τα διαμεματα να είναι διαδοχικά

Πρόσθεση Διανυσμάτων

Για να προσθέσετε διανύσματα, πρέπει να είναι είτε διαδοχικά είτε να έχουν κοινή αρχή. Αυτό μπορεί να φαίνεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα είναι πιο απλό από όσο φαντάζεστε!

Διαδοχικά διανύσματα σημαίνει ότι το τέλος του πρώτου είναι η αρχή του δεύτερου. Σκεφτείτε το σαν βήματα που κάνετε - κάθε βήμα ξεκινά από εκεί που τελείωσε το προηγούμενο.

Το άθροισμα διαδοχικών διανυσμάτων είναι ένα νέο διάνυσμα που ξεκινά από την αρχή του πρώτου και τελειώνει στο τέλος του τελευταίου. Για διανύσματα με κοινή αρχή, χρησιμοποιούμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου - φέρνουμε παράλληλες γραμμές και βρίσκουμε το αποτέλεσμα.

💡 Tip: Φανταστείτε ότι περπατάτε - κάθε διάνυσμα είναι μια διαδρομή, και το άθροισμα είναι η συνολική διαδρομή σας!

10
210
A
1.2
ΠΡΟΣΘΕΣΗ
12/09/2024
ΔΙΑΡΗΣΜΑΤΩΝ
Για να προσθεσουμε 2 ή περισσοτερα μη μηδενικά διατέματα
πρέπει τα διαμεματα να είναι διαδοχικά

Ιδιότητες Πρόσθεσης και Αφαίρεση Διανυσμάτων

Η πρόσθεση διανυσμάτων έχει τις ίδιες βασικές ιδιότητες με την πρόσθεση αριθμών! Είναι αντιμεταθετική (α + β = β + α) και προσεταιτική ((α + β) + γ = α + (β + γ)).

Υπάρχει επίσης το μηδενικό διάνυσμα (0) που όταν το προσθέτετε σε οποιοδήποτε διάνυσμα, δεν το αλλάζει. Κάθε διάνυσμα έχει και το αντίθετό του (-α), που όταν τα προσθέσετε δίνουν το μηδενικό διάνυσμα.

Η αφαίρεση διανυσμάτων γίνεται με πρόσθεση: α - β = α + (-β). Δηλαδή, προσθέτετε το αντίθετο του β στο α.

💡 Remember: Οι ιδιότητες αυτές κάνουν τους υπολογισμούς πιο εύκολους - μπορείτε να αλλάζετε τη σειρά και να ομαδοποιείτε όπως θέλετε!

10
210
A
1.2
ΠΡΟΣΘΕΣΗ
12/09/2024
ΔΙΑΡΗΣΜΑΤΩΝ
Για να προσθεσουμε 2 ή περισσοτερα μη μηδενικά διατέματα
πρέπει τα διαμεματα να είναι διαδοχικά

Διάνυσμα Θέσεως

Το διάνυσμα θέσεως είναι ένας έξυπνος τρόπος να περιγράψουμε τη θέση οποιουδήποτε σημείου στο χώρο. Επιλέγουμε ένα σταθερό σημείο Ο (το σημείο αναφοράς) και κάθε άλλο σημείο Μ περιγράφεται με το διάνυσμα OM.

Αυτή η ιδέα μας δίνει έναν υπέροχο τύπο: κάθε διάνυσμα AB ισούται με OB - OA. Δηλαδή, η διανυσματική ακτίνα του τέλους μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής.

Αυτός ο τύπος είναι χρυσός στους υπολογισμούς γιατί μετατρέπει οποιοδήποτε διάνυσμα σε διαφορά διανυσμάτων θέσεως. Θα τον χρησιμοποιείτε συνέχεια στις ασκήσεις!

💡 Pro tip: Σκεφτείτε το σημείο αναφοράς σαν την "αρχή των συντεταγμένων" - όλα μετριούνται από εκεί!

10
210
A
1.2
ΠΡΟΣΘΕΣΗ
12/09/2024
ΔΙΑΡΗΣΜΑΤΩΝ
Για να προσθεσουμε 2 ή περισσοτερα μη μηδενικά διατέματα
πρέπει τα διαμεματα να είναι διαδοχικά

Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων

Το μέτρο του αθροίσματος δύο διανυσμάτων δεν είναι απλώς το άθροισμα των μέτρων τους! Εδώ παίζει ρόλο η τριγωνική ανισότητα: |α + β| ≤ |α| + |β|.

Αυτό σημαίνει ότι το μήκος του αθροίσματος είναι πάντα μικρότερο ή ίσο από το άθροισμα των μηκών. Η ισότητα ισχύει μόνο όταν τα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση.

Γεωμετρικά, αυτό είναι λογικό: αν πάτε σε ευθεία γραμμή, διανύετε τη μέγιστη απόσταση. Αν κάνετε στροφές, η απόσταση μειώνεται.

💡 Visualization: Φανταστείτε ότι περπατάτε σε ευθεία γραμμή vs κάνετε μια στροφή - η ευθεία πάντα είναι η μεγαλύτερη απόσταση!



Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Subtraction as Addition

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

ΤΑ ΚΟΥΙΖ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΜΝΗΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ ΧΡΗΣΙΜΑ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΥΩ ΤΟ Knowunity ΤΝ. ΕΙΝΑΙ ΚΥΡΙΟΛΕΚΤΙΚΑ ΣΑΝ ΤΟ CHATGPT ΑΛΛΑ ΠΙΟ ΕΞΥΠΝΟ!! ΜΕ ΒΟΗΘΗΣΕ ΚΑΙ ΜΕ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΑΣΚΑΡΑ ΜΟΥ!! ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ! ΞΕΚΑΘΑΡΑ 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

ΤΑ ΚΟΥΙΖ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΜΝΗΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ ΧΡΗΣΙΜΑ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΥΩ ΤΟ Knowunity ΤΝ. ΕΙΝΑΙ ΚΥΡΙΟΛΕΚΤΙΚΑ ΣΑΝ ΤΟ CHATGPT ΑΛΛΑ ΠΙΟ ΕΞΥΠΝΟ!! ΜΕ ΒΟΗΘΗΣΕ ΚΑΙ ΜΕ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΑΣΚΑΡΑ ΜΟΥ!! ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ! ΞΕΚΑΘΑΡΑ 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

 

Μαθηματικά (Θετ.)

216

14 Ιαν 2026

4 σελίδες

Μαθηματικά Β' Λυκείου: Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων και Διανύσματα Θέσης

Ε

Ελπίδα Καραδήμου

@_j4kv7

Τα διανύσματα είναι βασικό εργαλείο στα μαθηματικά και τη φυσική που σας βοηθά να κατανοήσετε πολλές έννοιες από κίνηση μέχρι δυνάμεις. Στη συνέχεια θα δούμε πώς προσθέτουμε διανύσματα και τι ιδιότητες έχουν αυτές οι πράξεις.

10
210
A
1.2
ΠΡΟΣΘΕΣΗ
12/09/2024
ΔΙΑΡΗΣΜΑΤΩΝ
Για να προσθεσουμε 2 ή περισσοτερα μη μηδενικά διατέματα
πρέπει τα διαμεματα να είναι διαδοχικά

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Πρόσθεση Διανυσμάτων

Για να προσθέσετε διανύσματα, πρέπει να είναι είτε διαδοχικά είτε να έχουν κοινή αρχή. Αυτό μπορεί να φαίνεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα είναι πιο απλό από όσο φαντάζεστε!

Διαδοχικά διανύσματα σημαίνει ότι το τέλος του πρώτου είναι η αρχή του δεύτερου. Σκεφτείτε το σαν βήματα που κάνετε - κάθε βήμα ξεκινά από εκεί που τελείωσε το προηγούμενο.

Το άθροισμα διαδοχικών διανυσμάτων είναι ένα νέο διάνυσμα που ξεκινά από την αρχή του πρώτου και τελειώνει στο τέλος του τελευταίου. Για διανύσματα με κοινή αρχή, χρησιμοποιούμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου - φέρνουμε παράλληλες γραμμές και βρίσκουμε το αποτέλεσμα.

💡 Tip: Φανταστείτε ότι περπατάτε - κάθε διάνυσμα είναι μια διαδρομή, και το άθροισμα είναι η συνολική διαδρομή σας!

10
210
A
1.2
ΠΡΟΣΘΕΣΗ
12/09/2024
ΔΙΑΡΗΣΜΑΤΩΝ
Για να προσθεσουμε 2 ή περισσοτερα μη μηδενικά διατέματα
πρέπει τα διαμεματα να είναι διαδοχικά

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Ιδιότητες Πρόσθεσης και Αφαίρεση Διανυσμάτων

Η πρόσθεση διανυσμάτων έχει τις ίδιες βασικές ιδιότητες με την πρόσθεση αριθμών! Είναι αντιμεταθετική (α + β = β + α) και προσεταιτική ((α + β) + γ = α + (β + γ)).

Υπάρχει επίσης το μηδενικό διάνυσμα (0) που όταν το προσθέτετε σε οποιοδήποτε διάνυσμα, δεν το αλλάζει. Κάθε διάνυσμα έχει και το αντίθετό του (-α), που όταν τα προσθέσετε δίνουν το μηδενικό διάνυσμα.

Η αφαίρεση διανυσμάτων γίνεται με πρόσθεση: α - β = α + (-β). Δηλαδή, προσθέτετε το αντίθετο του β στο α.

💡 Remember: Οι ιδιότητες αυτές κάνουν τους υπολογισμούς πιο εύκολους - μπορείτε να αλλάζετε τη σειρά και να ομαδοποιείτε όπως θέλετε!

10
210
A
1.2
ΠΡΟΣΘΕΣΗ
12/09/2024
ΔΙΑΡΗΣΜΑΤΩΝ
Για να προσθεσουμε 2 ή περισσοτερα μη μηδενικά διατέματα
πρέπει τα διαμεματα να είναι διαδοχικά

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Διάνυσμα Θέσεως

Το διάνυσμα θέσεως είναι ένας έξυπνος τρόπος να περιγράψουμε τη θέση οποιουδήποτε σημείου στο χώρο. Επιλέγουμε ένα σταθερό σημείο Ο (το σημείο αναφοράς) και κάθε άλλο σημείο Μ περιγράφεται με το διάνυσμα OM.

Αυτή η ιδέα μας δίνει έναν υπέροχο τύπο: κάθε διάνυσμα AB ισούται με OB - OA. Δηλαδή, η διανυσματική ακτίνα του τέλους μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής.

Αυτός ο τύπος είναι χρυσός στους υπολογισμούς γιατί μετατρέπει οποιοδήποτε διάνυσμα σε διαφορά διανυσμάτων θέσεως. Θα τον χρησιμοποιείτε συνέχεια στις ασκήσεις!

💡 Pro tip: Σκεφτείτε το σημείο αναφοράς σαν την "αρχή των συντεταγμένων" - όλα μετριούνται από εκεί!

10
210
A
1.2
ΠΡΟΣΘΕΣΗ
12/09/2024
ΔΙΑΡΗΣΜΑΤΩΝ
Για να προσθεσουμε 2 ή περισσοτερα μη μηδενικά διατέματα
πρέπει τα διαμεματα να είναι διαδοχικά

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων

Το μέτρο του αθροίσματος δύο διανυσμάτων δεν είναι απλώς το άθροισμα των μέτρων τους! Εδώ παίζει ρόλο η τριγωνική ανισότητα: |α + β| ≤ |α| + |β|.

Αυτό σημαίνει ότι το μήκος του αθροίσματος είναι πάντα μικρότερο ή ίσο από το άθροισμα των μηκών. Η ισότητα ισχύει μόνο όταν τα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση.

Γεωμετρικά, αυτό είναι λογικό: αν πάτε σε ευθεία γραμμή, διανύετε τη μέγιστη απόσταση. Αν κάνετε στροφές, η απόσταση μειώνεται.

💡 Visualization: Φανταστείτε ότι περπατάτε σε ευθεία γραμμή vs κάνετε μια στροφή - η ευθεία πάντα είναι η μεγαλύτερη απόσταση!

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

3

Έξυπνα Εργαλεία ΝΕΟ

Μετέτρεψε αυτές τις σημειώσεις σε: ✓ 50+ Ερωτήσεις Εξάσκησης ✓ Διαδραστικές Κάρτες Μνήμης ✓ Πλήρη Δοκιμαστική Εξέταση ✓ Σχέδια Δοκιμίου

Δοκιμαστική Εξέταση
Κουίζ
Κάρτες Μάθησης
Δοκίμιο

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Subtraction as Addition

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

ΤΑ ΚΟΥΙΖ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΜΝΗΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ ΧΡΗΣΙΜΑ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΥΩ ΤΟ Knowunity ΤΝ. ΕΙΝΑΙ ΚΥΡΙΟΛΕΚΤΙΚΑ ΣΑΝ ΤΟ CHATGPT ΑΛΛΑ ΠΙΟ ΕΞΥΠΝΟ!! ΜΕ ΒΟΗΘΗΣΕ ΚΑΙ ΜΕ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΑΣΚΑΡΑ ΜΟΥ!! ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ! ΞΕΚΑΘΑΡΑ 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

ΤΑ ΚΟΥΙΖ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΜΝΗΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ ΧΡΗΣΙΜΑ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΥΩ ΤΟ Knowunity ΤΝ. ΕΙΝΑΙ ΚΥΡΙΟΛΕΚΤΙΚΑ ΣΑΝ ΤΟ CHATGPT ΑΛΛΑ ΠΙΟ ΕΞΥΠΝΟ!! ΜΕ ΒΟΗΘΗΣΕ ΚΑΙ ΜΕ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΑΣΚΑΡΑ ΜΟΥ!! ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ! ΞΕΚΑΘΑΡΑ 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS