Βασικοί Ορισμοί Μονοτονίας

Φαντάσου ότι περπατάς σε έναν δρόμο - άλλοτε ανηφορίζεις, άλλοτε κατηφορίζεις. Έτσι ακριβώς "συμπεριφέρονται" και οι συναρτήσεις!

Μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα όταν για x₁ < x₂ έχουμε f(x₁) < f(x₂). Δηλαδή, όσο προχωράμε δεξιά στον άξονα x, η γραφική παράσταση "ανεβαίνει".

Αντίθετα, μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα όταν για x₁ < x₂ έχουμε f(x₁) > f(x₂). Εδώ η γραφική παράσταση "κατεβαίνει" καθώς πάμε προς τα δεξιά.

Προσοχή: Μια συνάρτηση μπορεί να αλλάξει μονοτονία σε διαφορετικά σημεία του πεδίου ορισμού της!

Παραβολές και Μονοτονία

Οι παραβολές είναι από τις πιο συχνές συναρτήσεις που θα εξετάσεις για μονοτονία. Η "συμπεριφορά" τους εξαρτάται από το πρόσημο του συντελεστή α.

Για την f(x) = ax² όταν α > 0: Η παραβολή "ανοίγει προς τα πάνω". Είναι φθίνουσα στο (-∞, 0] και αύξουσα στο [0, +∞). Η κορυφή (0,0) είναι ολικό ελάχιστο.

Όταν α < 0: Η παραβολή "ανοίγει προς τα κάτω". Είναι αύξουσα στο (-∞, 0] και φθίνουσα στο [0, +∞). Η κορυφή (0,0) είναι ολικό μέγιστο.

Για την γενική μορφή f(x) = ax² + βx + γ, η μονοτονία αλλάζει στο σημείο x = -β/2α που είναι ο άξονας συμμετρίας.

Tip: Θυμήσου ότι η κορυφή της παραβολής είναι πάντα το σημείο όπου αλλάζει η μονοτονία!

Υπερβολή και Κυβική Συνάρτηση

Οι πιο "εξωτικές" συναρτήσεις έχουν και πιο ενδιαφέρουσες ιδιότητες μονοτονίας!

Η υπερβολή f(x) = α/x με α > 0 έχει μια ιδιαίτερη συμπεριφορά. Είναι φθίνουσα τόσο στο (-∞, 0) όσο και στο (0, +∞). Προσοχή όμως - δεν είναι φθίνουσα σε όλο το πεδίο ορισμού γιατί δεν ορίζεται στο 0!

Η κυβική συνάρτηση f(x) = αx³ είναι πιο απλή στη μονοτονία. Όταν α > 0, είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ℝ. Όταν α < 0, είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το ℝ.

Αυτές οι συναρτήσεις δεν έχουν τοπικά μέγιστα ή ελάχιστα - είναι γνησίως μονότονες σε όλο το πεδίο ορισμού τους.

Σημείωση: Στις εξετάσεις συχνά ζητείται να βρεις τα διαστήματα μονοτονίας - πάντα να τα γράφεις με την σωστή συμβολογία διαστημάτων!