Γραμμικά Συστήματα και Συναρτήσεις

Μια γραμμική εξίσωση έχει τη μορφή ax+by=γ (όπου a≠0 ή b≠0) και παριστάνει ευθεία γραμμή. Όταν έχουμε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων, μπορούμε να το λύσουμε με τη μέθοδο των οριζουσών:

D = ab' - a'b
Dx = γb' - γ'b
Dy = aγ' - a'γ

Αν D≠0, το σύστημα έχει μοναδική λύση x=Dx/D και y=Dy/D. Αν D=0, τότε το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις (αν Dx=Dy=0).

Για τις συναρτήσεις, είναι σημαντικό να κατανοήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα:

• Μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα όταν για x₁<x₂ ισχύει f(x₁)<f(x₂)
• Μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα όταν για x₁<x₂ ισχύει f(x₁)>f(x₂)

Σημαντικό! Μια συνάρτηση έχει ελάχιστο στο xₒ όταν f$x$≥f(xₒ) για κάθε x, και μέγιστο όταν f$x$≤f(xₒ) για κάθε x. Η τιμή f(xₒ) λέγεται ακρότατο.

Επίσης, οι συναρτήσεις μπορεί να έχουν συμμετρίες:

• Μια συνάρτηση είναι άρτια όταν f$x$=f$-x$ και έχει άξονα συμμετρίας τον y
• Μια συνάρτηση είναι περιττή όταν f$-x$=-f$x$ και έχει κέντρο συμμετρίας το (0,0)

Μετατοπίσεις Καμπυλών και Τριγωνομετρία

Οι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων μπορούν να μετατοπιστούν με απλούς τρόπους:

• Αν f$x$=φ$x$+C (C>0), η γραφική μετατοπίζεται C μονάδες προς τα πάνω
• Αν f$x$=φ$x$-C (C>0), η γραφική μετατοπίζεται C μονάδες προς τα κάτω
• Αν f$x$=φ$x-C$ (C>0), η γραφική μετατοπίζεται C μονάδες προς τα δεξιά
• Αν f$x$=φ$x+C$ (C>0), η γραφική μετατοπίζεται C μονάδες προς τα αριστερά

Στην τριγωνομετρία, οι βασικοί τριγωνομετρικοί αριθμοί ορίζονται ως εξής:

• ημω = απέναντι πλευρά / υποτείνουσα
• συνω = προσκείμενη / υποτείνουσα
• εφω = απέναντι / προσκείμενη

Το ακτίνιο (rad) είναι η γωνία που βαίνει σε τόξο ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Ισχύει ότι π ακτίνια = 180°, άρα 1 rad = 180°/π μοίρες.

Χρήσιμη συμβουλή: Απομνημονεύστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς για τις βασικές γωνίες (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) τόσο σε μοίρες όσο και σε ακτίνια. Θα τους χρειάζεστε συνεχώς!

Τριγωνομετρικές Ταυτότητες και Συναρτήσεις

Οι βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι θεμελιώδεις για την επίλυση τριγωνομετρικών προβλημάτων:

• Πυθαγόρεια ταυτότητα: ημ²ω + συν²ω = 1
• Εφαπτομένη: εφω = ημω/συνω (εφόσον συνω≠0)
• Συνεφαπτομένη: σφω = συνω/ημω (εφόσον ημω≠0)
• Σχέση εφω-σφω: εφω·σφω = 1 (εφόσον συνω≠0 και ημω≠0)

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν συγκεκριμένες περιόδους:

• f$x$ = ημx → περίοδος T=2π
• f$x$ = συνx → περίοδος T=2π
• f$x$ = εφx → περίοδος T=π
• f$x$ = σφx → περίοδος T=π

Για τις βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις, οι λύσεις είναι:

• ημx = ημθ → x = 2κπ+θ ή x = 2κπ+π-θ, κ∈Ζ
• συνx = συνθ → x = 2κπ±θ, κ∈Ζ
• εφx = εφθ → x = κπ+θ, κ∈Ζ
• σφx = σφθ → x = κπ+θ, κ∈Ζ

Προσέξτε! Για τη συνάρτηση f$x$ = ρημωx (όπου ρ≠0), το μέγιστο είναι |ρ| και το ελάχιστο -|ρ|. Αυτό μας δείχνει πώς το πλάτος επηρεάζει το εύρος τιμών.

Τριγωνομετρικά Tips και Τεχνικές

Για να υπολογίσετε τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων με μεγάλα τόξα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την περιοδικότητα και να αναγάγετε το τόξο σε ένα ισοδύναμο στο διάστημα [0,2π):

• Αν ο συντελεστής του π είναι της μορφής 4λ+1, τότε ημx = ημθ
• Αν ο συντελεστής του π είναι της μορφής 4λ+3, τότε ημx = -ημθ

Παραδείγματα:

• ημ$17π+θ$ = -ημθ $αφού 17=4·4+1$
• συν$38π-θ$ = συνθ
• ημ$-17π+θ$ = ημθ

Μερικές χρήσιμες σχέσεις που πρέπει να θυμάστε:

• ημ$α+β$ = ημα·συνβ + συνα·ημβ
• ημ$α-β$ = ημα·συνβ - συνα·ημβ
• συν$α+β$ = συνα·συνβ - ημα·ημβ
• συν$α-β$ = συνα·συνβ + ημα·ημβ

Προσοχή! Όταν συναντάτε εκφράσεις όπως ημx = 1/συνx, προτιμήστε να τις μετατρέψετε σε τύπους με εφαπτομένη. Για παράδειγμα, διαιρώντας με συνx, η έκφραση γίνεται εφx = 1/3, που είναι πιο εύκολο να λυθεί.

Για να θυμάστε εύκολα τις βασικές τριγωνομετρικές τιμές, θυμηθείτε ότι συν30° = √3/2 και ημ30° = 1/2. Τέτοιες τιμές εμφανίζονται συχνά στις ασκήσεις.

Πολυώνυμα και Πολυωνυμικές Εξισώσεις

Τα πολυώνυμα είναι από τις βασικές δομές στην άλγεβρα. Ένα μονώνυμο είναι μια παράσταση της μορφής αx^ν, όπου α είναι πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος $π.χ., 2x³, -3x⁵, 0x$.

Τα πολυώνυμα προκύπτουν ως άθροισμα μονωνύμων διαφορετικών βαθμών. Η γενική μορφή ενός πολυωνύμου βαθμού ν είναι: P$x$ = α₍ν₎x^ν + α₍ν-1₎x^$ν-1$ + ... + α₍1₎x + α₍0₎

Οι ρίζες ενός πολυωνύμου είναι οι τιμές του x για τις οποίες P$x$ = 0. Η εύρεση των ριζών ενός πολυωνύμου είναι ένα από τα βασικά προβλήματα της άλγεβρας.

Μην ξεχνάτε! Ένα πολυώνυμο βαθμού ν έχει το πολύ ν πραγματικές ρίζες. Αυτή η γνώση μπορεί να σας βοηθήσει να ελέγξετε αν έχετε βρει όλες τις ρίζες μιας πολυωνυμικής εξίσωσης.

Θεωρήματα Πολυωνύμων

Τα παρακάτω θεωρήματα είναι κρίσιμα για την εργασία με πολυώνυμα:

Θεώρημα Υπολοίπου: Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P$x$ με το x-ρ είναι ίσο με την τιμή P(ρ). Αυτό προκύπτει από την ταυτότητα της διαίρεσης: P$x$ = $x-ρ$·π$x$ + υ

Αφού ο διαιρέτης $x-ρ$ είναι 1ου βαθμού, το υπόλοιπο υ είναι σταθερός όρος. Για x=ρ, έχουμε P(ρ) = $ρ-ρ$·π(ρ) + υ, άρα P(ρ) = υ.

Θεώρημα Παραγόντων: Ένα πολυώνυμο P$x$ έχει παράγοντα το x-ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του πολυωνύμου, δηλαδή αν P(ρ) = 0. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε P$x$ = $x-ρ$·π$x$.

Θεώρημα Ρητών Ριζών: Αν μια πολυωνυμική εξίσωση αₙx^ν + αₙ₋₁x^$ν-1$ + ... + α₁x + α₀ = 0 με ακέραιους συντελεστές έχει μια ακέραια ρίζα ρ, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α₀.

Τεχνική επίλυσης: Για να βρείτε τις ρητές ρίζες μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές, αρκεί να ελέγξετε τους διαιρέτες του σταθερού όρου. Αυτό περιορίζει σημαντικά τις πιθανές τιμές που πρέπει να δοκιμάσετε!