Μαθήματα
Δομή και Οργάνωση Βιομορίων
Αντιγραφή και Επιδιόρθωση του DNA
Μηχανισμοί Βιολογικής Αναπαραγωγής
Κυτταρικός Κύκλος και Μηχανική Διαίρεσης
Επίπεδα Βιολογικής Οργάνωσης
Κυκλικές Διαδικασίες Αναπαραγωγικών Κυττάρων
Ανοσοποιητικές Αντιδράσεις
Τύποι Οργάνωσης Κυττάρων
Ανθρώπινα Οργανικά Συστήματα
Δομή και Παθογένεση Ιών
Δείξε όλα τα θέματα
Κλασικοί Πολιτισμοί και Πολιτισμός
Διεθνείς Συμφωνίες Εμπορίου
Ρωμαίοι Ηγέτες και Χρονικογράφοι
Βυζαντινός Χριστιανισμός και Αυτοκρατορία
Αγγλική Συνταγματική Εξέλιξη
Κοινωνικός Δαρβινισμός και Αυτοκρατορισμός
Αρχαία Αιγυπτιακή Γραφή και Μνημεία
Γαλλική Επανάσταση και Απολυταρχία 1750-1799
Πρόεδροι των ΗΠΑ και Παγκόσμιοι Ηγέτες
Κινήματα Θεσμικής Μεταρρύθμισης
Δείξε όλα τα θέματα
Αφαίρεση και Αρνητικοί Αριθμοί
Μέθοδοι Μαθηματικής Απόδειξης
Θεωρήματα Ομοιότητας και Συγκλίσεως Τριγώνων
Μαθηματική Μοντελοποίηση Προβλημάτων
Διανυσματικές Ποσότητες και Μετρήσεις
Συνέχεια και Διακοπές Συνάρτησης
Μαθηματικές Βάσεις και Συστήματα
Όρια Συναρτήσεων και Ασύμπτωτες
Τετραγωνικές Εκφράσεις και Μορφές
Γεωμετρικές Προτάσεις Γραμμών
Δείξε όλα τα θέματα
1.141
•
25 Δεκ 2025
•
Milie Notes
@millll
Η άλγεβρα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με... Δες περισσότερα
Αρχικά πρέπει να γνωρίζεις τα βασικά σύνολα αριθμών: φυσικοί (Ν), ακέραιοι (Ζ), ρητοί (Q) και πραγματικοί (R). Αυτά τα σύνολα μας βοηθούν να ταξινομούμε τους διαφορετικούς τύπους αριθμών.
Οι αλγεβρικές ιδιότητες είναι οι κανόνες που ακολουθούν η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Η αντιμεταθετική ιδιότητα σου λέει ότι a+b = b+a και ab = ba. Η προσεταιριστική ότι μπορείς να ομαδοποιήσεις τους όρους όπως θέλεις: a+ = +γ.
Επίσης υπάρχουν τα ουδέτερα στοιχεία (0 για πρόσθεση, 1 για πολλαπλασιασμό) και η επιμεριστική ιδιότητα: a = ab+aγ. Αυτές οι ιδιότητες είναι θεμελιώδεις για όλες τις αλγεβρικές πράξεις που θα κάνεις.
Συμβουλή: Μάθε καλά τις ιδιότητες των δυνάμεων γιατί τις χρησιμοποιείς συνεχώς: α^μ · α^λ = α^(μ+λ) και α^μ/α^λ = α^(μ-λ).
Οι ταυτότητες είναι τύποι που ισχύουν πάντα και σου εξοικονομούν χρόνο στις πράξεις. Οι πιο σημαντικές είναι: ² = a²+2ab+b², ² = a²-2ab+b² και η διαφορά τετραγώνων a²-b² = .
Για τις ανισότητες, θυμήσου ότι όταν λέμε a > b, σημαίνει ότι η διαφορά a-b είναι θετική. Αν έχεις δύο θετικούς αριθμούς, το άθροισμά τους είναι θετικό. Αν έχεις δύο αρνητικούς, το άθροισμα είναι αρνητικό.
Μια χρήσιμη ιδιότητα είναι ότι a² + b² ≥ 0 πάντα, και ισούται με 0 μόνο όταν a = b = 0. Αυτό φαίνεται προφανές, αλλά είναι πολύ χρήσιμο στην πράξη.
Προσοχή: Στις κυβικές ταυτότητες, πρόσεχε τα πρόσημα και τους συντελεστές!
Οι ανισότητες έχουν συγκεκριμένους κανόνες που πρέπει να τηρείς. Αν a > b και b > γ, τότε a > γ (μεταβατική ιδιότητα). Μπορείς να προσθέσεις τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές χωρίς να αλλάξει η ανισότητα.
Προσοχή στον πολλαπλασιασμό: αν πολλαπλασιάσεις με θετικό αριθμό, η ανισότητα μένει ίδια. Αν πολλαπλασιάσεις με αρνητικό, η ανισότητα αντιστρέφεται!
Τα διαστήματα είναι τρόπος να γράψεις σύνολα αριθμών. Οι αγκύλες σημαίνουν ότι το άκρο συμπεριλαμβάνεται, οι παρενθέσεις ( ) ότι δεν συμπεριλαμβάνεται. Για παράδειγμα, [a,b) σημαίνει a ≤ x < b.
Συμβουλή: Όταν λύνεις ανισώσεις, σχεδίαζε πάντα άξονα για να βλέπεις οπτικά τη λύση!
Η απόλυτη τιμή |a| ενός αριθμού είναι πάντα θετική ή μηδέν. Αν ο αριθμός είναι θετικός, η απόλυτη τιμή του είναι ο ίδιος. Αν είναι αρνητικός, η απόλυτη τιμή είναι ο αντίθετός του.
Βασικές ιδιότητες: |a| = |-a|, |a| ≥ 0 πάντα, και |a|² = a². Για να λύσεις εξισώσεις με απόλυτες τιμές, θυμήσου ότι |x| = a έχει λύσεις x = a ή x = -a (όταν a > 0).
Οι ιδιότητες των απόλυτων τιμών είναι: |a·b| = |a|·|b|, |a/b| = |a|/|b|, και η σημαντική τριγωνική ανισότητα: |a + b| ≤ |a| + |b|.
Τρικ: Η απόλυτη τιμή μετρά την απόσταση από το μηδέν στον άξονα των πραγματικών!
Η τετραγωνική ρίζα √a ενός μη αρνητικού αριθμού a είναι ο μη αρνητικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει a. Σημαντικό: √a² = |a|, όχι απλώς a!
Βασικές ιδιότητες των ριζών: √a · √b = √(ab) και √a/√b = √. Αυτές ισχύουν μόνο όταν a, b ≥ 0.
Οι ν-οστές ρίζες γενικεύουν την έννοια. Η ⁿ√a είναι ο αριθμός που υψωμένος στην ν δίνει a. Αν η ν είναι άρτια, χρειαζόμαστε a ≥ 0. Αν είναι περιττή, μπορούμε να έχουμε οποιοδήποτε a.
Σημείωση: Όταν η ν είναι άρτια, ⁿ√aⁿ = |a| για να εξασφαλίσουμε μη αρνητικό αποτέλεσμα!
Οι αποδείξεις των ιδιοτήτων των ριζών βασίζονται στο ότι υψώνουμε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές. Για παράδειγμα, (√a · √b)² = a · b = (√ab)², άρα √a · √b = √ab.
Μια σημαντική ιδιότητα είναι ότι αν a < b και a, b > 0, τότε √a < √b. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας είναι αύξουσα.
Οι ρητοί εκθέτες ορίζονται ως a^ = ⁿ√. Αυτό μας επιτρέπει να δουλεύουμε με δυνάμεις που έχουν κλάσματα ως εκθέτες.
Προσοχή: Οι ιδιότητες των ριζών ισχύουν μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς!
Για εξισώσεις της μορφής x^ν = a: αν ν είναι περιττός, x = ⁿ√a. Αν ν είναι άρτιος, έχουμε λύση μόνο για a ≥ 0, και τότε x = ±ⁿ√a.
Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ax² + bx + γ = 0 λύνονται με τη διακρίνουσα Δ = b² - 4aγ. Αν Δ > 0, έχουμε 2 ρίζες. Αν Δ = 0, μία διπλή ρίζα. Αν Δ < 0, καμία πραγματική λύση.
Οι τύποι Vieta δίνουν τη σχέση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών: S = x₁ + x₂ = -b/a και P = x₁ · x₂ = γ/a. Αυτοί είναι πολύ χρήσιμοι για γρήγορους υπολογισμούς.
Τρικ: Μάθε τους τύπους Vieta καλά - σου εξοικονομούν πολύ χρόνο στις εξετάσεις!
Το πρόσημο των ριζών εξαρτάται από το άθροισμα S και το γινόμενο P τους. Αν P < 0, οι ρίζες είναι ετερόσημες. Αν P > 0 και S > 0, είναι και οι δύο θετικές. Αν P > 0 και S < 0, είναι και οι δύο αρνητικές.
Ειδικές περιπτώσεις: αντίθετες ρίζες όταν S = 0, αντίστροφες όταν P = 1. Αυτές οι συνθήκες σου επιτρέπουν να βρίσκεις γρήγορα παραμέτρους σε προβλήματα.
Οι ανισώσεις 1ου βαθμού λύνονται εύκολα, αλλά πρόσεχε το πρόσημο όταν διαιρείς με αρνητικό αριθμό. Για συστήματα ανισώσεων, λύνεις κάθε μία ξεχωριστά και βρίσκεις την τομή.
Μέθοδος: Για συστήματα ανισώσεων, σχεδίαζε άξονα και τοποθετείς κάθε λύση!
Για την ανίσωση ax + b, η ρίζα είναι x₀ = -b/a. Το πρόσημο αλλάζει στη ρίζα: αριστερά της ρίζας το πρόσημο είναι αντίθετο από το a, δεξιά είναι ίδιο με το a.
Στις δευτεροβάθμιες ανισώσεις ax² + bx + γ, η κατάσταση εξαρτάται από τη διακρίνουσα. Αν Δ > 0, έχουμε δύο ρίζες και το τριώνυμο αλλάζει πρόσημο. Μεταξύ των ριζών το πρόσημο είναι αντίθετο από το a.
Αν Δ = 0, έχουμε μία διπλή ρίζα και το τριώνυμο δεν αλλάζει πρόσημο (εκτός από τη ρίζα όπου μηδενίζεται). Αν Δ < 0, το πρόσημο είναι πάντα ίδιο με το a.
Κλειδί: Ο πίνακας προσήμων είναι το εργαλείο σου για κάθε ανίσωση!
Η παραγοντοποίηση τριωνύμου εξαρτάται από τη διακρίνουσα. Αν Δ > 0, ax² + bx + γ = a. Αν Δ = 0, γίνεται a². Αν Δ < 0, δεν παραγοντοποιείται σε πραγματικούς αριθμούς.
Μια συνάρτηση είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α (πεδίο ορισμού) ακριβώς ένα στοιχείο ενός συνόλου Β. Γράφουμε f(x) = y, όπου x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και y η εξαρτημένη μεταβλητή.
Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των τιμών του x για τις οποίες η συνάρτηση έχει νόημα. Αυτό θα γίνει πολύ σημαντικό όταν μελετήσεις πιο σύνθετες συναρτήσεις.
Θυμήσου: Κάθε x αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα y - αυτός είναι ο ορισμός της συνάρτησης!
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
App Store
Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
Milie Notes
@millll
Η άλγεβρα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με σύμβολα, αριθμούς και τις σχέσεις μεταξύ τους. Στη Β' Λυκείου θα μάθεις τις βασικές έννοιες και ιδιότητες που αποτελούν τη βάση για πιο σύνθετα μαθηματικά.
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Αρχικά πρέπει να γνωρίζεις τα βασικά σύνολα αριθμών: φυσικοί (Ν), ακέραιοι (Ζ), ρητοί (Q) και πραγματικοί (R). Αυτά τα σύνολα μας βοηθούν να ταξινομούμε τους διαφορετικούς τύπους αριθμών.
Οι αλγεβρικές ιδιότητες είναι οι κανόνες που ακολουθούν η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Η αντιμεταθετική ιδιότητα σου λέει ότι a+b = b+a και ab = ba. Η προσεταιριστική ότι μπορείς να ομαδοποιήσεις τους όρους όπως θέλεις: a+ = +γ.
Επίσης υπάρχουν τα ουδέτερα στοιχεία (0 για πρόσθεση, 1 για πολλαπλασιασμό) και η επιμεριστική ιδιότητα: a = ab+aγ. Αυτές οι ιδιότητες είναι θεμελιώδεις για όλες τις αλγεβρικές πράξεις που θα κάνεις.
Συμβουλή: Μάθε καλά τις ιδιότητες των δυνάμεων γιατί τις χρησιμοποιείς συνεχώς: α^μ · α^λ = α^(μ+λ) και α^μ/α^λ = α^(μ-λ).
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Οι ταυτότητες είναι τύποι που ισχύουν πάντα και σου εξοικονομούν χρόνο στις πράξεις. Οι πιο σημαντικές είναι: ² = a²+2ab+b², ² = a²-2ab+b² και η διαφορά τετραγώνων a²-b² = .
Για τις ανισότητες, θυμήσου ότι όταν λέμε a > b, σημαίνει ότι η διαφορά a-b είναι θετική. Αν έχεις δύο θετικούς αριθμούς, το άθροισμά τους είναι θετικό. Αν έχεις δύο αρνητικούς, το άθροισμα είναι αρνητικό.
Μια χρήσιμη ιδιότητα είναι ότι a² + b² ≥ 0 πάντα, και ισούται με 0 μόνο όταν a = b = 0. Αυτό φαίνεται προφανές, αλλά είναι πολύ χρήσιμο στην πράξη.
Προσοχή: Στις κυβικές ταυτότητες, πρόσεχε τα πρόσημα και τους συντελεστές!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Οι ανισότητες έχουν συγκεκριμένους κανόνες που πρέπει να τηρείς. Αν a > b και b > γ, τότε a > γ (μεταβατική ιδιότητα). Μπορείς να προσθέσεις τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές χωρίς να αλλάξει η ανισότητα.
Προσοχή στον πολλαπλασιασμό: αν πολλαπλασιάσεις με θετικό αριθμό, η ανισότητα μένει ίδια. Αν πολλαπλασιάσεις με αρνητικό, η ανισότητα αντιστρέφεται!
Τα διαστήματα είναι τρόπος να γράψεις σύνολα αριθμών. Οι αγκύλες σημαίνουν ότι το άκρο συμπεριλαμβάνεται, οι παρενθέσεις ( ) ότι δεν συμπεριλαμβάνεται. Για παράδειγμα, [a,b) σημαίνει a ≤ x < b.
Συμβουλή: Όταν λύνεις ανισώσεις, σχεδίαζε πάντα άξονα για να βλέπεις οπτικά τη λύση!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Η απόλυτη τιμή |a| ενός αριθμού είναι πάντα θετική ή μηδέν. Αν ο αριθμός είναι θετικός, η απόλυτη τιμή του είναι ο ίδιος. Αν είναι αρνητικός, η απόλυτη τιμή είναι ο αντίθετός του.
Βασικές ιδιότητες: |a| = |-a|, |a| ≥ 0 πάντα, και |a|² = a². Για να λύσεις εξισώσεις με απόλυτες τιμές, θυμήσου ότι |x| = a έχει λύσεις x = a ή x = -a (όταν a > 0).
Οι ιδιότητες των απόλυτων τιμών είναι: |a·b| = |a|·|b|, |a/b| = |a|/|b|, και η σημαντική τριγωνική ανισότητα: |a + b| ≤ |a| + |b|.
Τρικ: Η απόλυτη τιμή μετρά την απόσταση από το μηδέν στον άξονα των πραγματικών!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Η τετραγωνική ρίζα √a ενός μη αρνητικού αριθμού a είναι ο μη αρνητικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει a. Σημαντικό: √a² = |a|, όχι απλώς a!
Βασικές ιδιότητες των ριζών: √a · √b = √(ab) και √a/√b = √. Αυτές ισχύουν μόνο όταν a, b ≥ 0.
Οι ν-οστές ρίζες γενικεύουν την έννοια. Η ⁿ√a είναι ο αριθμός που υψωμένος στην ν δίνει a. Αν η ν είναι άρτια, χρειαζόμαστε a ≥ 0. Αν είναι περιττή, μπορούμε να έχουμε οποιοδήποτε a.
Σημείωση: Όταν η ν είναι άρτια, ⁿ√aⁿ = |a| για να εξασφαλίσουμε μη αρνητικό αποτέλεσμα!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Οι αποδείξεις των ιδιοτήτων των ριζών βασίζονται στο ότι υψώνουμε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές. Για παράδειγμα, (√a · √b)² = a · b = (√ab)², άρα √a · √b = √ab.
Μια σημαντική ιδιότητα είναι ότι αν a < b και a, b > 0, τότε √a < √b. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας είναι αύξουσα.
Οι ρητοί εκθέτες ορίζονται ως a^ = ⁿ√. Αυτό μας επιτρέπει να δουλεύουμε με δυνάμεις που έχουν κλάσματα ως εκθέτες.
Προσοχή: Οι ιδιότητες των ριζών ισχύουν μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Για εξισώσεις της μορφής x^ν = a: αν ν είναι περιττός, x = ⁿ√a. Αν ν είναι άρτιος, έχουμε λύση μόνο για a ≥ 0, και τότε x = ±ⁿ√a.
Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ax² + bx + γ = 0 λύνονται με τη διακρίνουσα Δ = b² - 4aγ. Αν Δ > 0, έχουμε 2 ρίζες. Αν Δ = 0, μία διπλή ρίζα. Αν Δ < 0, καμία πραγματική λύση.
Οι τύποι Vieta δίνουν τη σχέση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών: S = x₁ + x₂ = -b/a και P = x₁ · x₂ = γ/a. Αυτοί είναι πολύ χρήσιμοι για γρήγορους υπολογισμούς.
Τρικ: Μάθε τους τύπους Vieta καλά - σου εξοικονομούν πολύ χρόνο στις εξετάσεις!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Το πρόσημο των ριζών εξαρτάται από το άθροισμα S και το γινόμενο P τους. Αν P < 0, οι ρίζες είναι ετερόσημες. Αν P > 0 και S > 0, είναι και οι δύο θετικές. Αν P > 0 και S < 0, είναι και οι δύο αρνητικές.
Ειδικές περιπτώσεις: αντίθετες ρίζες όταν S = 0, αντίστροφες όταν P = 1. Αυτές οι συνθήκες σου επιτρέπουν να βρίσκεις γρήγορα παραμέτρους σε προβλήματα.
Οι ανισώσεις 1ου βαθμού λύνονται εύκολα, αλλά πρόσεχε το πρόσημο όταν διαιρείς με αρνητικό αριθμό. Για συστήματα ανισώσεων, λύνεις κάθε μία ξεχωριστά και βρίσκεις την τομή.
Μέθοδος: Για συστήματα ανισώσεων, σχεδίαζε άξονα και τοποθετείς κάθε λύση!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Για την ανίσωση ax + b, η ρίζα είναι x₀ = -b/a. Το πρόσημο αλλάζει στη ρίζα: αριστερά της ρίζας το πρόσημο είναι αντίθετο από το a, δεξιά είναι ίδιο με το a.
Στις δευτεροβάθμιες ανισώσεις ax² + bx + γ, η κατάσταση εξαρτάται από τη διακρίνουσα. Αν Δ > 0, έχουμε δύο ρίζες και το τριώνυμο αλλάζει πρόσημο. Μεταξύ των ριζών το πρόσημο είναι αντίθετο από το a.
Αν Δ = 0, έχουμε μία διπλή ρίζα και το τριώνυμο δεν αλλάζει πρόσημο (εκτός από τη ρίζα όπου μηδενίζεται). Αν Δ < 0, το πρόσημο είναι πάντα ίδιο με το a.
Κλειδί: Ο πίνακας προσήμων είναι το εργαλείο σου για κάθε ανίσωση!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Η παραγοντοποίηση τριωνύμου εξαρτάται από τη διακρίνουσα. Αν Δ > 0, ax² + bx + γ = a. Αν Δ = 0, γίνεται a². Αν Δ < 0, δεν παραγοντοποιείται σε πραγματικούς αριθμούς.
Μια συνάρτηση είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α (πεδίο ορισμού) ακριβώς ένα στοιχείο ενός συνόλου Β. Γράφουμε f(x) = y, όπου x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και y η εξαρτημένη μεταβλητή.
Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των τιμών του x για τις οποίες η συνάρτηση έχει νόημα. Αυτό θα γίνει πολύ σημαντικό όταν μελετήσεις πιο σύνθετες συναρτήσεις.
Θυμήσου: Κάθε x αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα y - αυτός είναι ο ορισμός της συνάρτησης!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
36
Έξυπνα Εργαλεία ΝΕΟ
Μετέτρεψε αυτές τις σημειώσεις σε: ✓ 50+ Ερωτήσεις Εξάσκησης ✓ Διαδραστικές Κάρτες Μνήμης ✓ Πλήρη Δοκιμαστική Εξέταση ✓ Σχέδια Δοκιμίου
App Store
Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
Μαθηματικά
Βιολογία
Φυσική
Ιστορία
ΑΟΘ (Οικονομία)
Νέα Ελληνικά