Η άλγεβρα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με... Δες περισσότερα
Μαθηματικά2,676 προβολές·Ενημερώθηκε May 14, 2026·12 σελίδεςΌλη η Θεωρία Άλγεβρας Α' Λυκείου - Ορισμοί και Τύποι
M
Milie Notes@millll
1 / 12
1
of 12
Βασικά Σύνολα Αριθμών και Αλγεβρικές Ιδιότητες
Αρχικά πρέπει να γνωρίζεις τα βασικά σύνολα αριθμών: φυσικοί (Ν), ακέραιοι (Ζ), ρητοί (Q) και πραγματικοί (R). Αυτά τα σύνολα μας βοηθούν να ταξινομούμε τους διαφορετικούς τύπους αριθμών.
Οι αλγεβρικές ιδιότητες είναι οι κανόνες που ακολουθούν η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Η αντιμεταθετική ιδιότητα σου λέει ότι a+b = b+a και ab = ba. Η προσεταιριστική ότι μπορείς να ομαδοποιήσεις τους όρους όπως θέλεις: a+ = +γ.
Επίσης υπάρχουν τα ουδέτερα στοιχεία (0 για πρόσθεση, 1 για πολλαπλασιασμό) και η επιμεριστική ιδιότητα: a = ab+aγ. Αυτές οι ιδιότητες είναι θεμελιώδεις για όλες τις αλγεβρικές πράξεις που θα κάνεις.
Συμβουλή: Μάθε καλά τις ιδιότητες των δυνάμεων γιατί τις χρησιμοποιείς συνεχώς: α^μ · α^λ = α^(μ+λ) και α^μ/α^λ = α^(μ-λ).
2
of 12
Ταυτότητες και Ανισότητες
Οι ταυτότητες είναι τύποι που ισχύουν πάντα και σου εξοικονομούν χρόνο στις πράξεις. Οι πιο σημαντικές είναι: ² = a²+2ab+b², ² = a²-2ab+b² και η διαφορά τετραγώνων a²-b² = .
Για τις ανισότητες, θυμήσου ότι όταν λέμε a > b, σημαίνει ότι η διαφορά a-b είναι θετική. Αν έχεις δύο θετικούς αριθμούς, το άθροισμά τους είναι θετικό. Αν έχεις δύο αρνητικούς, το άθροισμα είναι αρνητικό.
Μια χρήσιμη ιδιότητα είναι ότι a² + b² ≥ 0 πάντα, και ισούται με 0 μόνο όταν a = b = 0. Αυτό φαίνεται προφανές, αλλά είναι πολύ χρήσιμο στην πράξη.
Προσοχή: Στις κυβικές ταυτότητες, πρόσεχε τα πρόσημα και τους συντελεστές!
3
of 12
Ιδιότητες Ανισοτήτων και Διαστήματα
Οι ανισότητες έχουν συγκεκριμένους κανόνες που πρέπει να τηρείς. Αν a > b και b > γ, τότε a > γ (μεταβατική ιδιότητα). Μπορείς να προσθέσεις τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές χωρίς να αλλάξει η ανισότητα.
Προσοχή στον πολλαπλασιασμό: αν πολλαπλασιάσεις με θετικό αριθμό, η ανισότητα μένει ίδια. Αν πολλαπλασιάσεις με αρνητικό, η ανισότητα αντιστρέφεται!
Τα διαστήματα είναι τρόπος να γράψεις σύνολα αριθμών. Οι αγκύλες [ ] σημαίνουν ότι το άκρο συμπεριλαμβάνεται, οι παρενθέσεις ( ) ότι δεν συμπεριλαμβάνεται. Για παράδειγμα, [a,b) σημαίνει a ≤ x < b.
Συμβουλή: Όταν λύνεις ανισώσεις, σχεδίαζε πάντα άξονα για να βλέπεις οπτικά τη λύση!
4
of 12
Απόλυτη Τιμή
Η απόλυτη τιμή |a| ενός αριθμού είναι πάντα θετική ή μηδέν. Αν ο αριθμός είναι θετικός, η απόλυτη τιμή του είναι ο ίδιος. Αν είναι αρνητικός, η απόλυτη τιμή είναι ο αντίθετός του.
Βασικές ιδιότητες: |a| = |-a|, |a| ≥ 0 πάντα, και |a|² = a². Για να λύσεις εξισώσεις με απόλυτες τιμές, θυμήσου ότι |x| = a έχει λύσεις x = a ή x = -a (όταν a > 0).
Οι ιδιότητες των απόλυτων τιμών είναι: |a·b| = |a|·|b|, |a/b| = |a|/|b|, και η σημαντική τριγωνική ανισότητα: |a + b| ≤ |a| + |b|.
Τρικ: Η απόλυτη τιμή μετρά την απόσταση από το μηδέν στον άξονα των πραγματικών!
5
of 12
Ρίζες και ν-οστές Ρίζες
Η τετραγωνική ρίζα √a ενός μη αρνητικού αριθμού a είναι ο μη αρνητικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει a. Σημαντικό: √a² = |a|, όχι απλώς a!
Βασικές ιδιότητες των ριζών: √a · √b = √(ab) και √a/√b = √. Αυτές ισχύουν μόνο όταν a, b ≥ 0.
Οι ν-οστές ρίζες γενικεύουν την έννοια. Η ⁿ√a είναι ο αριθμός που υψωμένος στην ν δίνει a. Αν η ν είναι άρτια, χρειαζόμαστε a ≥ 0. Αν είναι περιττή, μπορούμε να έχουμε οποιοδήποτε a.
Σημείωση: Όταν η ν είναι άρτια, ⁿ√aⁿ = |a| για να εξασφαλίσουμε μη αρνητικό αποτέλεσμα!
6
of 12
Ιδιότητες Ριζών και Ρητοί Εκθέτες
Οι αποδείξεις των ιδιοτήτων των ριζών βασίζονται στο ότι υψώνουμε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές. Για παράδειγμα, (√a · √b)² = a · b = (√ab)², άρα √a · √b = √ab.
Μια σημαντική ιδιότητα είναι ότι αν a < b και a, b > 0, τότε √a < √b. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας είναι αύξουσα.
Οι ρητοί εκθέτες ορίζονται ως a^ = ⁿ√. Αυτό μας επιτρέπει να δουλεύουμε με δυνάμεις που έχουν κλάσματα ως εκθέτες.
Προσοχή: Οι ιδιότητες των ριζών ισχύουν μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς!
7
of 12
Εξισώσεις με Ρίζες και Δευτεροβάθμιες Εξισώσεις
Για εξισώσεις της μορφής x^ν = a: αν ν είναι περιττός, x = ⁿ√a. Αν ν είναι άρτιος, έχουμε λύση μόνο για a ≥ 0, και τότε x = ±ⁿ√a.
Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ax² + bx + γ = 0 λύνονται με τη διακρίνουσα Δ = b² - 4aγ. Αν Δ > 0, έχουμε 2 ρίζες. Αν Δ = 0, μία διπλή ρίζα. Αν Δ < 0, καμία πραγματική λύση.
Οι τύποι Vieta δίνουν τη σχέση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών: S = x₁ + x₂ = -b/a και P = x₁ · x₂ = γ/a. Αυτοί είναι πολύ χρήσιμοι για γρήγορους υπολογισμούς.
Τρικ: Μάθε τους τύπους Vieta καλά - σου εξοικονομούν πολύ χρόνο στις εξετάσεις!
8
of 12
Πρόσημο και Είδος Ριζών
Το πρόσημο των ριζών εξαρτάται από το άθροισμα S και το γινόμενο P τους. Αν P < 0, οι ρίζες είναι ετερόσημες. Αν P > 0 και S > 0, είναι και οι δύο θετικές. Αν P > 0 και S < 0, είναι και οι δύο αρνητικές.
Ειδικές περιπτώσεις: αντίθετες ρίζες όταν S = 0, αντίστροφες όταν P = 1. Αυτές οι συνθήκες σου επιτρέπουν να βρίσκεις γρήγορα παραμέτρους σε προβλήματα.
Οι ανισώσεις 1ου βαθμού λύνονται εύκολα, αλλά πρόσεχε το πρόσημο όταν διαιρείς με αρνητικό αριθμό. Για συστήματα ανισώσεων, λύνεις κάθε μία ξεχωριστά και βρίσκεις την τομή.
Μέθοδος: Για συστήματα ανισώσεων, σχεδίαζε άξονα και τοποθετείς κάθε λύση!
9
of 12
Πίνακες Προσήμων
Για την ανίσωση ax + b, η ρίζα είναι x₀ = -b/a. Το πρόσημο αλλάζει στη ρίζα: αριστερά της ρίζας το πρόσημο είναι αντίθετο από το a, δεξιά είναι ίδιο με το a.
Στις δευτεροβάθμιες ανισώσεις ax² + bx + γ, η κατάσταση εξαρτάται από τη διακρίνουσα. Αν Δ > 0, έχουμε δύο ρίζες και το τριώνυμο αλλάζει πρόσημο. Μεταξύ των ριζών το πρόσημο είναι αντίθετο από το a.
Αν Δ = 0, έχουμε μία διπλή ρίζα και το τριώνυμο δεν αλλάζει πρόσημο (εκτός από τη ρίζα όπου μηδενίζεται). Αν Δ < 0, το πρόσημο είναι πάντα ίδιο με το a.
Κλειδί: Ο πίνακας προσήμων είναι το εργαλείο σου για κάθε ανίσωση!
10
of 12
Παραγοντοποίηση και Εισαγωγή στις Συναρτήσεις
Η παραγοντοποίηση τριωνύμου εξαρτάται από τη διακρίνουσα. Αν Δ > 0, ax² + bx + γ = a. Αν Δ = 0, γίνεται a². Αν Δ < 0, δεν παραγοντοποιείται σε πραγματικούς αριθμούς.
Μια συνάρτηση είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α (πεδίο ορισμού) ακριβώς ένα στοιχείο ενός συνόλου Β. Γράφουμε f(x) = y, όπου x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και y η εξαρτημένη μεταβλητή.
Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των τιμών του x για τις οποίες η συνάρτηση έχει νόημα. Αυτό θα γίνει πολύ σημαντικό όταν μελετήσεις πιο σύνθετες συναρτήσεις.
Θυμήσου: Κάθε x αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα y - αυτός είναι ο ορισμός της συνάρτησης!
11
of 12
12
of 12
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Creativity in Algebra
2Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
9ΜαθηματικάΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
Β' Λυκ.1,74038
ΜαθηματικάSOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις
Α' Λυκ.1,23734
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Γ' Λυκ.4,889121
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Γ' Λυκ.3,11476
Μ
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα
Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.
Γ' Λυκ.4190
ΜαθηματικάΜαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου
Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)
Β' Λυκ.1,10918
ΜαθηματικάΜαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου
Θεωρία και αποδείξεις
Β' Λυκ.1,09319
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα
Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται
Β' Λυκ.84230
ΜαθηματικάΘεωρήματα+Αποδειξεις μαθηματικά Γ λυκείου
Αυτά είναι τα πιο βασικά + ΣΟΣ θεωρήματα μαζι με τις αποδείξεις τους (σε όποιες υπάρχει απόδειξη)
Γ' Λυκ.1,00319
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9
ΙστορίαΙστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Β' Λυκ.6,861272
ΙστορίαΣχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
Α' Λυκ.2,17948
ΒιολογίαΒιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Β' Λυκ.2,79573
Ιστορίαιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Α' Λυκ.1,7340
ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ Κεφάλαιο 2
σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ
Γ' Λυκ.9,743322
ΒιολογίαΒιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Β' Λυκ.6,766220
ΙστορίαΚλασική εποχή
Κλασική εποχή: Περίληψη με σημειώσεις
Α' Λυκ.1,80042
Πληροφορική (Οικ.)Πληροφορική - Όλη η θεωρία
Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου
Γ' Λυκ.1,40139
ΙστορίαΙστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Α' Λυκ.1,73537
Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σχρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άνναχρήστης iOS
Μαθηματικά2,676 προβολές·Ενημερώθηκε May 14, 2026·12 σελίδεςΌλη η Θεωρία Άλγεβρας Α' Λυκείου - Ορισμοί και Τύποι
M
Milie Notes@millll
Η άλγεβρα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με σύμβολα, αριθμούς και τις σχέσεις μεταξύ τους. Στη Β' Λυκείου θα μάθεις τις βασικές έννοιες και ιδιότητες που αποτελούν τη βάση για πιο σύνθετα μαθηματικά.
1
of 12Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Βασικά Σύνολα Αριθμών και Αλγεβρικές Ιδιότητες
Αρχικά πρέπει να γνωρίζεις τα βασικά σύνολα αριθμών: φυσικοί (Ν), ακέραιοι (Ζ), ρητοί (Q) και πραγματικοί (R). Αυτά τα σύνολα μας βοηθούν να ταξινομούμε τους διαφορετικούς τύπους αριθμών.
Οι αλγεβρικές ιδιότητες είναι οι κανόνες που ακολουθούν η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Η αντιμεταθετική ιδιότητα σου λέει ότι a+b = b+a και ab = ba. Η προσεταιριστική ότι μπορείς να ομαδοποιήσεις τους όρους όπως θέλεις: a+ = +γ.
Επίσης υπάρχουν τα ουδέτερα στοιχεία (0 για πρόσθεση, 1 για πολλαπλασιασμό) και η επιμεριστική ιδιότητα: a = ab+aγ. Αυτές οι ιδιότητες είναι θεμελιώδεις για όλες τις αλγεβρικές πράξεις που θα κάνεις.
Συμβουλή: Μάθε καλά τις ιδιότητες των δυνάμεων γιατί τις χρησιμοποιείς συνεχώς: α^μ · α^λ = α^(μ+λ) και α^μ/α^λ = α^(μ-λ).
2
of 12Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Ταυτότητες και Ανισότητες
Οι ταυτότητες είναι τύποι που ισχύουν πάντα και σου εξοικονομούν χρόνο στις πράξεις. Οι πιο σημαντικές είναι: ² = a²+2ab+b², ² = a²-2ab+b² και η διαφορά τετραγώνων a²-b² = .
Για τις ανισότητες, θυμήσου ότι όταν λέμε a > b, σημαίνει ότι η διαφορά a-b είναι θετική. Αν έχεις δύο θετικούς αριθμούς, το άθροισμά τους είναι θετικό. Αν έχεις δύο αρνητικούς, το άθροισμα είναι αρνητικό.
Μια χρήσιμη ιδιότητα είναι ότι a² + b² ≥ 0 πάντα, και ισούται με 0 μόνο όταν a = b = 0. Αυτό φαίνεται προφανές, αλλά είναι πολύ χρήσιμο στην πράξη.
Προσοχή: Στις κυβικές ταυτότητες, πρόσεχε τα πρόσημα και τους συντελεστές!
3
of 12Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Ιδιότητες Ανισοτήτων και Διαστήματα
Οι ανισότητες έχουν συγκεκριμένους κανόνες που πρέπει να τηρείς. Αν a > b και b > γ, τότε a > γ (μεταβατική ιδιότητα). Μπορείς να προσθέσεις τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές χωρίς να αλλάξει η ανισότητα.
Προσοχή στον πολλαπλασιασμό: αν πολλαπλασιάσεις με θετικό αριθμό, η ανισότητα μένει ίδια. Αν πολλαπλασιάσεις με αρνητικό, η ανισότητα αντιστρέφεται!
Τα διαστήματα είναι τρόπος να γράψεις σύνολα αριθμών. Οι αγκύλες [ ] σημαίνουν ότι το άκρο συμπεριλαμβάνεται, οι παρενθέσεις ( ) ότι δεν συμπεριλαμβάνεται. Για παράδειγμα, [a,b) σημαίνει a ≤ x < b.
Συμβουλή: Όταν λύνεις ανισώσεις, σχεδίαζε πάντα άξονα για να βλέπεις οπτικά τη λύση!
4
of 12Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Απόλυτη Τιμή
Η απόλυτη τιμή |a| ενός αριθμού είναι πάντα θετική ή μηδέν. Αν ο αριθμός είναι θετικός, η απόλυτη τιμή του είναι ο ίδιος. Αν είναι αρνητικός, η απόλυτη τιμή είναι ο αντίθετός του.
Βασικές ιδιότητες: |a| = |-a|, |a| ≥ 0 πάντα, και |a|² = a². Για να λύσεις εξισώσεις με απόλυτες τιμές, θυμήσου ότι |x| = a έχει λύσεις x = a ή x = -a (όταν a > 0).
Οι ιδιότητες των απόλυτων τιμών είναι: |a·b| = |a|·|b|, |a/b| = |a|/|b|, και η σημαντική τριγωνική ανισότητα: |a + b| ≤ |a| + |b|.
Τρικ: Η απόλυτη τιμή μετρά την απόσταση από το μηδέν στον άξονα των πραγματικών!
5
of 12Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Ρίζες και ν-οστές Ρίζες
Η τετραγωνική ρίζα √a ενός μη αρνητικού αριθμού a είναι ο μη αρνητικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει a. Σημαντικό: √a² = |a|, όχι απλώς a!
Βασικές ιδιότητες των ριζών: √a · √b = √(ab) και √a/√b = √. Αυτές ισχύουν μόνο όταν a, b ≥ 0.
Οι ν-οστές ρίζες γενικεύουν την έννοια. Η ⁿ√a είναι ο αριθμός που υψωμένος στην ν δίνει a. Αν η ν είναι άρτια, χρειαζόμαστε a ≥ 0. Αν είναι περιττή, μπορούμε να έχουμε οποιοδήποτε a.
Σημείωση: Όταν η ν είναι άρτια, ⁿ√aⁿ = |a| για να εξασφαλίσουμε μη αρνητικό αποτέλεσμα!
6
of 12Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Ιδιότητες Ριζών και Ρητοί Εκθέτες
Οι αποδείξεις των ιδιοτήτων των ριζών βασίζονται στο ότι υψώνουμε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές. Για παράδειγμα, (√a · √b)² = a · b = (√ab)², άρα √a · √b = √ab.
Μια σημαντική ιδιότητα είναι ότι αν a < b και a, b > 0, τότε √a < √b. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας είναι αύξουσα.
Οι ρητοί εκθέτες ορίζονται ως a^ = ⁿ√. Αυτό μας επιτρέπει να δουλεύουμε με δυνάμεις που έχουν κλάσματα ως εκθέτες.
Προσοχή: Οι ιδιότητες των ριζών ισχύουν μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς!
7
of 12Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Εξισώσεις με Ρίζες και Δευτεροβάθμιες Εξισώσεις
Για εξισώσεις της μορφής x^ν = a: αν ν είναι περιττός, x = ⁿ√a. Αν ν είναι άρτιος, έχουμε λύση μόνο για a ≥ 0, και τότε x = ±ⁿ√a.
Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ax² + bx + γ = 0 λύνονται με τη διακρίνουσα Δ = b² - 4aγ. Αν Δ > 0, έχουμε 2 ρίζες. Αν Δ = 0, μία διπλή ρίζα. Αν Δ < 0, καμία πραγματική λύση.
Οι τύποι Vieta δίνουν τη σχέση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών: S = x₁ + x₂ = -b/a και P = x₁ · x₂ = γ/a. Αυτοί είναι πολύ χρήσιμοι για γρήγορους υπολογισμούς.
Τρικ: Μάθε τους τύπους Vieta καλά - σου εξοικονομούν πολύ χρόνο στις εξετάσεις!
8
of 12Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Πρόσημο και Είδος Ριζών
Το πρόσημο των ριζών εξαρτάται από το άθροισμα S και το γινόμενο P τους. Αν P < 0, οι ρίζες είναι ετερόσημες. Αν P > 0 και S > 0, είναι και οι δύο θετικές. Αν P > 0 και S < 0, είναι και οι δύο αρνητικές.
Ειδικές περιπτώσεις: αντίθετες ρίζες όταν S = 0, αντίστροφες όταν P = 1. Αυτές οι συνθήκες σου επιτρέπουν να βρίσκεις γρήγορα παραμέτρους σε προβλήματα.
Οι ανισώσεις 1ου βαθμού λύνονται εύκολα, αλλά πρόσεχε το πρόσημο όταν διαιρείς με αρνητικό αριθμό. Για συστήματα ανισώσεων, λύνεις κάθε μία ξεχωριστά και βρίσκεις την τομή.
Μέθοδος: Για συστήματα ανισώσεων, σχεδίαζε άξονα και τοποθετείς κάθε λύση!
9
of 12Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Πίνακες Προσήμων
Για την ανίσωση ax + b, η ρίζα είναι x₀ = -b/a. Το πρόσημο αλλάζει στη ρίζα: αριστερά της ρίζας το πρόσημο είναι αντίθετο από το a, δεξιά είναι ίδιο με το a.
Στις δευτεροβάθμιες ανισώσεις ax² + bx + γ, η κατάσταση εξαρτάται από τη διακρίνουσα. Αν Δ > 0, έχουμε δύο ρίζες και το τριώνυμο αλλάζει πρόσημο. Μεταξύ των ριζών το πρόσημο είναι αντίθετο από το a.
Αν Δ = 0, έχουμε μία διπλή ρίζα και το τριώνυμο δεν αλλάζει πρόσημο (εκτός από τη ρίζα όπου μηδενίζεται). Αν Δ < 0, το πρόσημο είναι πάντα ίδιο με το a.
Κλειδί: Ο πίνακας προσήμων είναι το εργαλείο σου για κάθε ανίσωση!
10
of 12Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Παραγοντοποίηση και Εισαγωγή στις Συναρτήσεις
Η παραγοντοποίηση τριωνύμου εξαρτάται από τη διακρίνουσα. Αν Δ > 0, ax² + bx + γ = a. Αν Δ = 0, γίνεται a². Αν Δ < 0, δεν παραγοντοποιείται σε πραγματικούς αριθμούς.
Μια συνάρτηση είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α (πεδίο ορισμού) ακριβώς ένα στοιχείο ενός συνόλου Β. Γράφουμε f(x) = y, όπου x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και y η εξαρτημένη μεταβλητή.
Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των τιμών του x για τις οποίες η συνάρτηση έχει νόημα. Αυτό θα γίνει πολύ σημαντικό όταν μελετήσεις πιο σύνθετες συναρτήσεις.
Θυμήσου: Κάθε x αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα y - αυτός είναι ο ορισμός της συνάρτησης!
11
of 12Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
12
of 12Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Creativity in Algebra
2Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
9ΜαθηματικάΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
Β' Λυκ.1,74038
ΜαθηματικάSOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις
Α' Λυκ.1,23734
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Γ' Λυκ.4,889121
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Γ' Λυκ.3,11476
Μ
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα
Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.
Γ' Λυκ.4190
ΜαθηματικάΜαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου
Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)
Β' Λυκ.1,10918
ΜαθηματικάΜαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου
Θεωρία και αποδείξεις
Β' Λυκ.1,09319
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα
Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται
Β' Λυκ.84230
ΜαθηματικάΘεωρήματα+Αποδειξεις μαθηματικά Γ λυκείου
Αυτά είναι τα πιο βασικά + ΣΟΣ θεωρήματα μαζι με τις αποδείξεις τους (σε όποιες υπάρχει απόδειξη)
Γ' Λυκ.1,00319
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9ΙστορίαΙστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Β' Λυκ.6,861272
ΙστορίαΣχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
Α' Λυκ.2,17948
ΒιολογίαΒιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Β' Λυκ.2,79573
Ιστορίαιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Α' Λυκ.1,7340
ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ Κεφάλαιο 2
σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ
Γ' Λυκ.9,743322
ΒιολογίαΒιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Β' Λυκ.6,766220
ΙστορίαΚλασική εποχή
Κλασική εποχή: Περίληψη με σημειώσεις
Α' Λυκ.1,80042
Πληροφορική (Οικ.)Πληροφορική - Όλη η θεωρία
Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου
Γ' Λυκ.1,40139
ΙστορίαΙστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Α' Λυκ.1,73537
Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σχρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άνναχρήστης iOS