•

Ενημερώθηκε Mar 29, 2026

•

12 σελίδες

Όλη η Θεωρία Άλγεβρας Α' Λυκείου - Ορισμοί και Τύποι

Milie Notes

@millll

Η άλγεβρα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με... Δες περισσότερα

1 / 12

Αλγεβρα Ύλη
Ν → φυσικοί
Ζ → ακέραιοι
Q → ρητοί
R → πραγματικοί
Xe → χ ανήκει
Xe → χ δεν ανήκει
X → τομή (σύνολο στοιχείων ανήκουν 4 στα 2)
U

Βασικά Σύνολα Αριθμών και Αλγεβρικές Ιδιότητες

Αρχικά πρέπει να γνωρίζεις τα βασικά σύνολα αριθμών: φυσικοί (Ν), ακέραιοι (Ζ), ρητοί (Q) και πραγματικοί (R). Αυτά τα σύνολα μας βοηθούν να ταξινομούμε τους διαφορετικούς τύπους αριθμών.

Οι αλγεβρικές ιδιότητες είναι οι κανόνες που ακολουθούν η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Η αντιμεταθετική ιδιότητα σου λέει ότι a+b = b+a και ab = ba. Η προσεταιριστική ότι μπορείς να ομαδοποιήσεις τους όρους όπως θέλεις: a+ $b+γ$ = $a+b$ +γ.

Επίσης υπάρχουν τα ουδέτερα στοιχεία (0 για πρόσθεση, 1 για πολλαπλασιασμό) και η επιμεριστική ιδιότητα: a $b+γ$ = ab+aγ. Αυτές οι ιδιότητες είναι θεμελιώδεις για όλες τις αλγεβρικές πράξεις που θα κάνεις.

Συμβουλή: Μάθε καλά τις ιδιότητες των δυνάμεων γιατί τις χρησιμοποιείς συνεχώς: α^μ · α^λ = α^(μ+λ) και α^μ/α^λ = α^(μ-λ).

Ταυτότητες και Ανισότητες

Οι ταυτότητες είναι τύποι που ισχύουν πάντα και σου εξοικονομούν χρόνο στις πράξεις. Οι πιο σημαντικές είναι: $a+b$ ² = a²+2ab+b², $a-b$ ² = a²-2ab+b² και η διαφορά τετραγώνων a²-b² = $a+b$ $a-b$ .

Για τις ανισότητες, θυμήσου ότι όταν λέμε a > b, σημαίνει ότι η διαφορά a-b είναι θετική. Αν έχεις δύο θετικούς αριθμούς, το άθροισμά τους είναι θετικό. Αν έχεις δύο αρνητικούς, το άθροισμα είναι αρνητικό.

Μια χρήσιμη ιδιότητα είναι ότι a² + b² ≥ 0 πάντα, και ισούται με 0 μόνο όταν a = b = 0. Αυτό φαίνεται προφανές, αλλά είναι πολύ χρήσιμο στην πράξη.

Προσοχή: Στις κυβικές ταυτότητες, πρόσεχε τα πρόσημα και τους συντελεστές!

Ιδιότητες Ανισοτήτων και Διαστήματα

Οι ανισότητες έχουν συγκεκριμένους κανόνες που πρέπει να τηρείς. Αν a > b και b > γ, τότε a > γ (μεταβατική ιδιότητα). Μπορείς να προσθέσεις τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές χωρίς να αλλάξει η ανισότητα.

Προσοχή στον πολλαπλασιασμό: αν πολλαπλασιάσεις με θετικό αριθμό, η ανισότητα μένει ίδια. Αν πολλαπλασιάσεις με αρνητικό, η ανισότητα αντιστρέφεται!

Τα διαστήματα είναι τρόπος να γράψεις σύνολα αριθμών. Οι αγκύλες [ ] σημαίνουν ότι το άκρο συμπεριλαμβάνεται, οι παρενθέσεις ( ) ότι δεν συμπεριλαμβάνεται. Για παράδειγμα, [a,b) σημαίνει a ≤ x < b.

Συμβουλή: Όταν λύνεις ανισώσεις, σχεδίαζε πάντα άξονα για να βλέπεις οπτικά τη λύση!

Απόλυτη Τιμή

Η απόλυτη τιμή |a| ενός αριθμού είναι πάντα θετική ή μηδέν. Αν ο αριθμός είναι θετικός, η απόλυτη τιμή του είναι ο ίδιος. Αν είναι αρνητικός, η απόλυτη τιμή είναι ο αντίθετός του.

Βασικές ιδιότητες: |a| = |-a|, |a| ≥ 0 πάντα, και |a|² = a². Για να λύσεις εξισώσεις με απόλυτες τιμές, θυμήσου ότι |x| = a έχει λύσεις x = a ή x = -a (όταν a > 0).

Οι ιδιότητες των απόλυτων τιμών είναι: |a·b| = |a|·|b|, |a/b| = |a|/|b|, και η σημαντική τριγωνική ανισότητα: |a + b| ≤ |a| + |b|.

Τρικ: Η απόλυτη τιμή μετρά την απόσταση από το μηδέν στον άξονα των πραγματικών!

Ρίζες και ν-οστές Ρίζες

Η τετραγωνική ρίζα √a ενός μη αρνητικού αριθμού a είναι ο μη αρνητικός αριθμός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο δίνει a. Σημαντικό: √a² = |a|, όχι απλώς a!

Βασικές ιδιότητες των ριζών: √a · √b = √(ab) και √a/√b = √ $a/b$ . Αυτές ισχύουν μόνο όταν a, b ≥ 0.

Οι ν-οστές ρίζες γενικεύουν την έννοια. Η ⁿ√a είναι ο αριθμός που υψωμένος στην ν δίνει a. Αν η ν είναι άρτια, χρειαζόμαστε a ≥ 0. Αν είναι περιττή, μπορούμε να έχουμε οποιοδήποτε a.

Σημείωση: Όταν η ν είναι άρτια, ⁿ√aⁿ = |a| για να εξασφαλίσουμε μη αρνητικό αποτέλεσμα!

Ιδιότητες Ριζών και Ρητοί Εκθέτες

Οι αποδείξεις των ιδιοτήτων των ριζών βασίζονται στο ότι υψώνουμε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές. Για παράδειγμα, (√a · √b)² = a · b = (√ab)², άρα √a · √b = √ab.

Μια σημαντική ιδιότητα είναι ότι αν a < b και a, b > 0, τότε √a < √b. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση της τετραγωνικής ρίζας είναι αύξουσα.

Οι ρητοί εκθέτες ορίζονται ως a^ $m/n$ = ⁿ√ $a^m$ . Αυτό μας επιτρέπει να δουλεύουμε με δυνάμεις που έχουν κλάσματα ως εκθέτες.

Προσοχή: Οι ιδιότητες των ριζών ισχύουν μόνο για μη αρνητικούς αριθμούς!

Εξισώσεις με Ρίζες και Δευτεροβάθμιες Εξισώσεις

Για εξισώσεις της μορφής x^ν = a: αν ν είναι περιττός, x = ⁿ√a. Αν ν είναι άρτιος, έχουμε λύση μόνο για a ≥ 0, και τότε x = ±ⁿ√a.

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ax² + bx + γ = 0 λύνονται με τη διακρίνουσα Δ = b² - 4aγ. Αν Δ > 0, έχουμε 2 ρίζες. Αν Δ = 0, μία διπλή ρίζα. Αν Δ < 0, καμία πραγματική λύση.

Οι τύποι Vieta δίνουν τη σχέση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών: S = x₁ + x₂ = -b/a και P = x₁ · x₂ = γ/a. Αυτοί είναι πολύ χρήσιμοι για γρήγορους υπολογισμούς.

Τρικ: Μάθε τους τύπους Vieta καλά - σου εξοικονομούν πολύ χρόνο στις εξετάσεις!

Πρόσημο και Είδος Ριζών

Το πρόσημο των ριζών εξαρτάται από το άθροισμα S και το γινόμενο P τους. Αν P < 0, οι ρίζες είναι ετερόσημες. Αν P > 0 και S > 0, είναι και οι δύο θετικές. Αν P > 0 και S < 0, είναι και οι δύο αρνητικές.

Ειδικές περιπτώσεις: αντίθετες ρίζες όταν S = 0, αντίστροφες όταν P = 1. Αυτές οι συνθήκες σου επιτρέπουν να βρίσκεις γρήγορα παραμέτρους σε προβλήματα.

Οι ανισώσεις 1ου βαθμού λύνονται εύκολα, αλλά πρόσεχε το πρόσημο όταν διαιρείς με αρνητικό αριθμό. Για συστήματα ανισώσεων, λύνεις κάθε μία ξεχωριστά και βρίσκεις την τομή.

Μέθοδος: Για συστήματα ανισώσεων, σχεδίαζε άξονα και τοποθετείς κάθε λύση!

Πίνακες Προσήμων

Για την ανίσωση ax + b, η ρίζα είναι x₀ = -b/a. Το πρόσημο αλλάζει στη ρίζα: αριστερά της ρίζας το πρόσημο είναι αντίθετο από το a, δεξιά είναι ίδιο με το a.

Στις δευτεροβάθμιες ανισώσεις ax² + bx + γ, η κατάσταση εξαρτάται από τη διακρίνουσα. Αν Δ > 0, έχουμε δύο ρίζες και το τριώνυμο αλλάζει πρόσημο. Μεταξύ των ριζών το πρόσημο είναι αντίθετο από το a.

Αν Δ = 0, έχουμε μία διπλή ρίζα και το τριώνυμο δεν αλλάζει πρόσημο (εκτός από τη ρίζα όπου μηδενίζεται). Αν Δ < 0, το πρόσημο είναι πάντα ίδιο με το a.

Κλειδί: Ο πίνακας προσήμων είναι το εργαλείο σου για κάθε ανίσωση!

Παραγοντοποίηση και Εισαγωγή στις Συναρτήσεις

Η παραγοντοποίηση τριωνύμου εξαρτάται από τη διακρίνουσα. Αν Δ > 0, ax² + bx + γ = a $x - x₁$ $x - x₂$ . Αν Δ = 0, γίνεται a $x - x₀$ ². Αν Δ < 0, δεν παραγοντοποιείται σε πραγματικούς αριθμούς.

Μια συνάρτηση είναι ένας κανόνας που αντιστοιχίζει σε κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α (πεδίο ορισμού) ακριβώς ένα στοιχείο ενός συνόλου Β. Γράφουμε f(x) = y, όπου x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και y η εξαρτημένη μεταβλητή.

Το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο όλων των τιμών του x για τις οποίες η συνάρτηση έχει νόημα. Αυτό θα γίνει πολύ σημαντικό όταν μελετήσεις πιο σύνθετες συναρτήσεις.

Θυμήσου: Κάθε x αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα y - αυτός είναι ο ορισμός της συνάρτησης!

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Creativity in Algebra

SOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις

Μαθηματικά

Α' Λυκ.

Αλγεβρα Α Λυκειου 2ο Κεφαλαιο

Σημειωσεις και αποδειξεις για το κεφαλαιο 2ο της αλγεβρας Α’ λυκείου (απολυτη τιμη πραγματικου αριθμου, ν-οστη ρίζα)

Ξενοφων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α’ ΛΥΚΕΙΟΥ

Ξενοφων

Αρχαία Ελληνικά

Α' Λυκ.

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ

ΑΟΘ (Οικονομία)

Γ' Λυκ.

Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2

Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)

Βιολογία

Β' Λυκ.

Κλασική εποχή

Ιστορία Α λυκείου

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

ΤΑ ΚΟΥΙΖ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΜΝΗΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ ΧΡΗΣΙΜΑ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΥΩ ΤΟ Knowunity ΤΝ. ΕΙΝΑΙ ΚΥΡΙΟΛΕΚΤΙΚΑ ΣΑΝ ΤΟ CHATGPT ΑΛΛΑ ΠΙΟ ΕΞΥΠΝΟ!! ΜΕ ΒΟΗΘΗΣΕ ΚΑΙ ΜΕ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΑΣΚΑΡΑ ΜΟΥ!! ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ! ΞΕΚΑΘΑΡΑ 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Άννα

χρήστης iOS

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

Μαριλου

χρήστης Android

Thenia

χρήστης iOS

Μαθηματικά

•

1,575

•

Ενημερώθηκε Mar 29, 2026

•

12 σελίδες

Όλη η Θεωρία Άλγεβρας Α' Λυκείου - Ορισμοί και Τύποι

Milie Notes

@millll

Βασικές ιδιότητες των ριζών: √a · √b = √(ab) και √a/√b = √ $a/b$ . Αυτές ισχύουν μόνο όταν a, b ≥ 0.

Σημείωση: Όταν η ν είναι άρτια, ⁿ√aⁿ = |a| για να εξασφαλίσουμε μη αρνητικό αποτέλεσμα!