Εισαγωγή στα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Αυτό το βιβλίο είναι ο πλήρης οδηγός σας για τα μαθηματικά προσανατολισμού Γ' Λυκείου. Περιέχει όλη τη θεωρία, αποδείξεις, ερωτήσεις σωστό-λάθος και θέματα πανελληνιών από το 1967 έως το 2017.

Θα ξεκινήσουμε με το κεφάλαιο 1° που καλύπτει το όριο και τη συνέχεια συνάρτησης, από τους πραγματικούς αριθμούς μέχρι τις βασικές έννοιες των συναρτήσεων.

Συμβουλή: Μελετήστε πρώτα τη θεωρία και μετά εξασκηθείτε στα θέματα των πανελληνιών!

Ορισμός Συνάρτησης και Βασικές Έννοιες

Μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α είναι ένας κανόνας f που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο x∈A σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και γράφεται f(x).

Το πεδίο ορισμού της f συμβολίζεται $D_f$ και αποτελείται από όλες τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση ορίζεται. Το σύνολο τιμών f(A) περιέχει όλες τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση.

Η γραφική παράσταση της f είναι το σύνολο των σημείων M(x,f(x)) με x∈A. Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση σε το πολύ ένα σημείο - αυτό διαφοροποιεί τη συνάρτηση από άλλες καμπύλες όπως ο κύκλος.

Προσοχή: Από τη γραφική παράσταση μπορείτε να βρείτε το πεδίο ορισμού (τετμημένες) και το σύνολο τιμών (τεταγμένες).

Μετασχηματισμοί Συναρτήσεων και Βασικές Γραφικές Παραστάσεις

Από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f μπορούμε να σχεδιάσουμε εύκολα τις γραφικές παραστάσεις των -f και |f|.

Η γραφική παράσταση της -f είναι συμμετρική της αρχικής ως προς τον άξονα x'x. Κάθε σημείο M(x,f(x)) γίνεται M'$x,-f(x)$.

Η γραφική παράσταση της |f| κρατάει τα τμήματα που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x'x και "αντικατοπτρίζει" προς τα πάνω όσα βρίσκονται κάτω από αυτόν.

Βασικές συναρτήσεις που πρέπει να ξέρετε να σχεδιάζετε:

• Γραμμική: f(x) = αx+β (ευθεία)
• Δευτέρου βαθμού: f(x) = αx² (παραβολή)
• Κυβική: f(x) = αx³
• Ρίζες: f(x) = √x, f(x) = ∛x
• Υπερβολή: f(x) = α/x

Tip: Θυμηθείτε ότι το πρόσημο του α καθορίζει την "κατεύθυνση" της γραφικής παράστασης!

Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημx, συνx και εφx είναι περιοδικές με περίοδο T=2π (για ημx και συνx). Η εφx έχει περίοδο T=π και ασύμπτωτες στα σημεία όπου δεν ορίζεται.

Οι εκθετικές συναρτήσεις f(x)=αˣ (α>0, α≠1) έχουν διαφορετική συμπεριφορά ανάλογα με τη βάση:

• Αν α>1: η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα
• Αν 0<α<1: η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα

Οι λογαριθμικές συναρτήσεις f(x)=logₐx είναι οι αντίστροφες των εκθετικών. Ορίζονται μόνο για x>0 και έχουν τις ίδιες ιδιότητες μονοτονίας με τις αντίστοιχες εκθετικές.

Σημαντικές ιδιότητες λογαρίθμων:

• logₐ(x₁x₂) = logₐx₁ + logₐx₂
• logₐ$x₁/x₂$ = logₐx₁ - logₐx₂
• logₐ(xᵏ) = k·logₐx

Προσοχή: Οι λογαριθμικές συναρτήσεις ορίζονται μόνο για θετικές τιμές του x!

Πράξεις και Σύνθεση Συναρτήσεων

Ίσες συναρτήσεις: Δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε x∈A ισχύει f(x)=g(x).

Πράξεις συναρτήσεων: Για δύο συναρτήσεις f και g ορίζουμε:

• $f+g$(x) = f(x)+g(x)
• $f-g$(x) = f(x)-g(x)
• (fg)(x) = f(x)g(x)
• $f/g$(x) = f(x)/g(x), με g(x)≠0

Το πεδίο ορισμού των τριών πρώτων είναι η τομή των πεδίων ορισμού A∩B. Για το πηλίκο αφαιρούμε επιπλέον τα σημεία όπου g(x)=0.

Σύνθεση συναρτήσεων: Η σύνθεση g∘f ορίζεται ως (g∘f)(x) = g(f(x)). Το πεδίο ορισμού αποτελείται από τα x του πεδίου της f για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο της g.

Σημαντικό: Η σύνθεση συναρτήσεων γενικά δεν είναι αντιμεταθετική: g∘f ≠ f∘g!

Μονοτονία και Συναρτήσεις 1-1

Μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για x₁<x₂ ισχύει f(x₁)<f(x₂). Είναι γνησίως φθίνουσα όταν για x₁<x₂ ισχύει f(x₁)>f(x₂).

Ακρότατα συναρτήσεων:

• Ολικό μέγιστο στο x₀: f(x)≤f(x₀) για κάθε x∈A
• Ολικό ελάχιστο στο x₀: f(x)≥f(x₀) για κάθε x∈A

Μια συνάρτηση f είναι 1-1 (ένα προς ένα) όταν για x₁≠x₂ ισχύει f(x₁)≠f(x₂). Ισοδύναμα: αν f(x₁)=f(x₂) τότε x₁=x₂.

Σημαντικές παρατηρήσεις:

• Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι 1-1
• Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα
• Γραφικά: κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας 1-1 συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο

Tip για εξετάσεις: Για να αποδείξετε ότι μια συνάρτηση είναι 1-1, δείξτε ότι f(x₁)=f(x₂) ⟹ x₁=x₂!

Αντίστροφη Συνάρτηση

Μια συνάρτηση f αντιστρέφεται αν και μόνο αν είναι 1-1. Η αντίστροφη συνάρτηση f⁻¹ ορίζεται από τη σχέση: f(x)=y ⟺ f⁻¹(y)=x.

Βασικές ιδιότητες:

• f⁻¹(f(x)) = x για κάθε x∈A
• f(f⁻¹(y)) = y για κάθε y∈f(A)
• Το πεδίο ορισμού της f⁻¹ είναι το σύνολο τιμών της f
• Το σύνολο τιμών της f⁻¹ είναι το πεδίο ορισμού της f

Γραφική παράσταση: Οι γραφικές παραστάσεις των f και f⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x.

Μονοτονία: Αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε η f⁻¹ έχει το ίδιο είδος μονοτονίας. Δηλαδή αν f↑ τότε f⁻¹↑ και αν f↓ τότε f⁻¹↓.

Μνημονικό: Η αντίστροφη συνάρτηση "αναιρεί" την επίδραση της αρχικής - γι' αυτό f⁻¹(f(x))=x!

Όριο Συνάρτησης και Πλευρικά Όρια

Το όριο μιας συνάρτησης f στο σημείο x₀ συνδέεται άμεσα με τα πλευρικά όρια. Η θεμελιώδης σχέση είναι:

lim$x→x₀$ f(x) = l ⟺ lim$x→x₀⁻$ f(x) = lim$x→x₀⁺$ f(x) = l

Το αριστερό όριο lim$x→x₀⁻$ f(x) μελετά τη συμπεριφορά της f όταν το x πλησιάζει το x₀ από αριστερά. Το δεξιό όριο lim$x→x₀⁺$ f(x) μελετά την προσέγγιση από δεξιά.

Σημαντικές παρατηρήσεις:

• Για να υπάρχει όριο, η f πρέπει να ορίζεται "κοντά" στο x₀
• Το x₀ μπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού
• Η τιμή f(x₀), αν υπάρχει, μπορεί να διαφέρει από το όριο

Βασικά όρια: lim$x→x₀$ x = x₀ και lim$x→x₀$ c = c (για σταθερά c).

Κλειδί για επιτυχία: Όταν τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, το όριο δεν υπάρχει!