Καλώς ήρθατε στον κόσμο των μαθηματικών προσανατολισμούΓ' Λυκείου! Αυτός...
Μαθηματικά5.042 προβολές·Ενημερώθηκε 8 Ιουλ 2026·59 σελίδεςΜαθηματικά Γ' Λυκείου: Θεωρία και Ερωτήσεις
M
Mariada Saloniki@mariadasaloniki
1 / 59
1
of 59
Εισαγωγή στα Μαθηματικά Προσανατολισμού
Αυτό το βιβλίο είναι ο πλήρης οδηγός σας για τα μαθηματικά προσανατολισμού Γ' Λυκείου. Περιέχει όλη τη θεωρία, αποδείξεις, ερωτήσεις σωστό-λάθος και θέματα πανελληνιών από το 1967 έως το 2017.
Θα ξεκινήσουμε με το κεφάλαιο 1° που καλύπτει το όριο και τη συνέχεια συνάρτησης, από τους πραγματικούς αριθμούς μέχρι τις βασικές έννοιες των συναρτήσεων.
Συμβουλή: Μελετήστε πρώτα τη θεωρία και μετά εξασκηθείτε στα θέματα των πανελληνιών!
2
of 59
Ορισμός Συνάρτησης και Βασικές Έννοιες
Μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α είναι ένας κανόνας f που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο x∈A σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και γράφεται f.
Το πεδίο ορισμού της f συμβολίζεται και αποτελείται από όλες τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση ορίζεται. Το σύνολο τιμών f(A) περιέχει όλες τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση.
Η γραφική παράσταση της f είναι το σύνολο των σημείων M(x,f) με x∈A. Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση σε το πολύ ένα σημείο - αυτό διαφοροποιεί τη συνάρτηση από άλλες καμπύλες όπως ο κύκλος.
Προσοχή: Από τη γραφική παράσταση μπορείτε να βρείτε το πεδίο ορισμού (τετμημένες) και το σύνολο τιμών (τεταγμένες).
3
of 59
Μετασχηματισμοί Συναρτήσεων και Βασικές Γραφικές Παραστάσεις
Από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f μπορούμε να σχεδιάσουμε εύκολα τις γραφικές παραστάσεις των -f και |f|.
Η γραφική παράσταση της -f είναι συμμετρική της αρχικής ως προς τον άξονα x'x. Κάθε σημείο M(x,f) γίνεται M'.
Η γραφική παράσταση της |f| κρατάει τα τμήματα που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x'x και "αντικατοπτρίζει" προς τα πάνω όσα βρίσκονται κάτω από αυτόν.
Βασικές συναρτήσεις που πρέπει να ξέρετε να σχεδιάζετε:
- Γραμμική: f = αx+β (ευθεία)
- Δευτέρου βαθμού: f = αx² (παραβολή)
- Κυβική: f = αx³
- Ρίζες: f = √x, f = ∛x
- Υπερβολή: f = α/x
Tip: Θυμηθείτε ότι το πρόσημο του α καθορίζει την "κατεύθυνση" της γραφικής παράστασης!
4
of 59
Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημx, συνx και εφx είναι περιοδικές με περίοδο T=2π (για ημx και συνx). Η εφx έχει περίοδο T=π και ασύμπτωτες στα σημεία όπου δεν ορίζεται.
Οι εκθετικές συναρτήσεις f=αˣ (α>0, α≠1) έχουν διαφορετική συμπεριφορά ανάλογα με τη βάση:
- Αν α>1: η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα
- Αν 0<α<1: η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα
Οι λογαριθμικές συναρτήσεις f=logₐx είναι οι αντίστροφες των εκθετικών. Ορίζονται μόνο για x>0 και έχουν τις ίδιες ιδιότητες μονοτονίας με τις αντίστοιχες εκθετικές.
Σημαντικές ιδιότητες λογαρίθμων:
- logₐ(x₁x₂) = logₐx₁ + logₐx₂
- logₐ = logₐx₁ - logₐx₂
- logₐ(xᵏ) = k·logₐx
Προσοχή: Οι λογαριθμικές συναρτήσεις ορίζονται μόνο για θετικές τιμές του x!
5
of 59
Πράξεις και Σύνθεση Συναρτήσεων
Ίσες συναρτήσεις: Δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε x∈A ισχύει f=g.
Πράξεις συναρτήσεων: Για δύο συναρτήσεις f και g ορίζουμε:
- f+g$$x = f+g
- f-g$$x = f-g
- (fg) = fg
- (f/g) = f/g, με g≠0
Το πεδίο ορισμού των τριών πρώτων είναι η τομή των πεδίων ορισμού A∩B. Για το πηλίκο αφαιρούμε επιπλέον τα σημεία όπου g=0.
Σύνθεση συναρτήσεων: Η σύνθεση g∘f ορίζεται ως (g∘f) = g(f). Το πεδίο ορισμού αποτελείται από τα x του πεδίου της f για τα οποία το f ανήκει στο πεδίο της g.
Σημαντικό: Η σύνθεση συναρτήσεων γενικά δεν είναι αντιμεταθετική: g∘f ≠ f∘g!
6
of 59
Μονοτονία και Συναρτήσεις 1-1
Μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για x₁<x₂ ισχύει f(x₁)<f(x₂). Είναι γνησίως φθίνουσα όταν για x₁<x₂ ισχύει f(x₁)>f(x₂).
Ακρότατα συναρτήσεων:
- Ολικό μέγιστο στο x₀: f≤f(x₀) για κάθε x∈A
- Ολικό ελάχιστο στο x₀: f≥f(x₀) για κάθε x∈A
Μια συνάρτηση f είναι 1-1 (ένα προς ένα) όταν για x₁≠x₂ ισχύει f(x₁)≠f(x₂). Ισοδύναμα: αν f(x₁)=f(x₂) τότε x₁=x₂.
Σημαντικές παρατηρήσεις:
- Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι 1-1
- Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα
- Γραφικά: κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας 1-1 συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο
Tip για εξετάσεις: Για να αποδείξετε ότι μια συνάρτηση είναι 1-1, δείξτε ότι f(x₁)=f(x₂) ⟹ x₁=x₂!
7
of 59
Αντίστροφη Συνάρτηση
Μια συνάρτηση f αντιστρέφεται αν και μόνο αν είναι 1-1. Η αντίστροφη συνάρτηση f⁻¹ ορίζεται από τη σχέση: f=y ⟺ f⁻¹=x.
Βασικές ιδιότητες:
- f⁻¹(f) = x για κάθε x∈A
- f(f⁻¹) = y για κάθε y∈f(A)
- Το πεδίο ορισμού της f⁻¹ είναι το σύνολο τιμών της f
- Το σύνολο τιμών της f⁻¹ είναι το πεδίο ορισμού της f
Γραφική παράσταση: Οι γραφικές παραστάσεις των f και f⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x.
Μονοτονία: Αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε η f⁻¹ έχει το ίδιο είδος μονοτονίας. Δηλαδή αν f↑ τότε f⁻¹↑ και αν f↓ τότε f⁻¹↓.
Μνημονικό: Η αντίστροφη συνάρτηση "αναιρεί" την επίδραση της αρχικής - γι' αυτό f⁻¹(f)=x!
8
of 59
Όριο Συνάρτησης και Πλευρικά Όρια
Το όριο μιας συνάρτησης f στο σημείο x₀ συνδέεται άμεσα με τα πλευρικά όρια. Η θεμελιώδης σχέση είναι:
lim[x→x₀] f = l ⟺ lim[x→x₀⁻] f = lim[x→x₀⁺] f = l
Το αριστερό όριο lim[x→x₀⁻] f μελετά τη συμπεριφορά της f όταν το x πλησιάζει το x₀ από αριστερά. Το δεξιό όριο lim[x→x₀⁺] f μελετά την προσέγγιση από δεξιά.
Σημαντικές παρατηρήσεις:
- Για να υπάρχει όριο, η f πρέπει να ορίζεται "κοντά" στο x₀
- Το x₀ μπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού
- Η τιμή f(x₀), αν υπάρχει, μπορεί να διαφέρει από το όριο
Βασικά όρια: lim[x→x₀] x = x₀ και lim[x→x₀] c = c (για σταθερά c).
Κλειδί για επιτυχία: Όταν τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, το όριο δεν υπάρχει!
9
of 59
10
of 59
11
of 59
12
of 59
13
of 59
14
of 59
15
of 59
16
of 59
17
of 59
18
of 59
19
of 59
20
of 59
21
of 59
22
of 59
23
of 59
24
of 59
25
of 59
26
of 59
27
of 59
28
of 59
29
of 59
30
of 59
31
of 59
32
of 59
33
of 59
34
of 59
35
of 59
36
of 59
37
of 59
38
of 59
39
of 59
40
of 59
41
of 59
42
of 59
43
of 59
44
of 59
45
of 59
46
of 59
47
of 59
48
of 59
49
of 59
50
of 59
51
of 59
52
of 59
53
of 59
54
of 59
55
of 59
56
of 59
57
of 59
58
of 59
59
of 59
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Παρόμοιο Περιεχόμενο
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
9ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,89574
ΜαθηματικάΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
Β' Λυκ.1,89239
ΜαθηματικάSOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις
Α' Λυκ.1,37337
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα
Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται
Β' Λυκ.1,04734
ΜαθηματικάΜαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου
Θεωρία και αποδείξεις
Β' Λυκ.1,20021
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Γ' Λυκ.3,30379
ΜαθηματικάΜαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου
Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)
Β' Λυκ.1,19819
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β´λυκείου
Γεωμετρία Β´λυκείου όλες οι αποδείξεις και τα θεωρήματα-πορίσματα
Β' Λυκ.94817
Μ
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα
Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.
Γ' Λυκ.4900
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9
ΙστορίαΙστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Β' Λυκ.8,530300
ΙστορίαΣχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
Α' Λυκ.2,85066
Ιστορίαιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Α' Λυκ.2,0430
ΒιολογίαΒιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Β' Λυκ.7,141227
ΙστορίαΙστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Α' Λυκ.2,26342
ΒιολογίαΒιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Β' Λυκ.3,14575
ΦυσικήΦυσική Β γυμνασίου
Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4
Β' Γυμν.9,437664
ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,89574
ΙστορίαΜυκηναϊκός πολιτισμός !
Μυκηναϊκός πολιτισμός
Α' Λυκ.1,33223
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σχρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άνναχρήστης iOS
Μαθηματικά5.042 προβολές·Ενημερώθηκε 8 Ιουλ 2026·59 σελίδεςΜαθηματικά Γ' Λυκείου: Θεωρία και Ερωτήσεις
M
Mariada Saloniki@mariadasaloniki
Καλώς ήρθατε στον κόσμο των μαθηματικών προσανατολισμού Γ' Λυκείου! Αυτός ο οδηγός περιέχει όλα τα βασικά που χρειάζεστε για τις συναρτήσεις, το όριο και τη συνέχεια - από τους ορισμούς μέχρι τα θέματα των πανελληνίων.
1
of 59
Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Εισαγωγή στα Μαθηματικά Προσανατολισμού
Αυτό το βιβλίο είναι ο πλήρης οδηγός σας για τα μαθηματικά προσανατολισμού Γ' Λυκείου. Περιέχει όλη τη θεωρία, αποδείξεις, ερωτήσεις σωστό-λάθος και θέματα πανελληνιών από το 1967 έως το 2017.
Θα ξεκινήσουμε με το κεφάλαιο 1° που καλύπτει το όριο και τη συνέχεια συνάρτησης, από τους πραγματικούς αριθμούς μέχρι τις βασικές έννοιες των συναρτήσεων.
Συμβουλή: Μελετήστε πρώτα τη θεωρία και μετά εξασκηθείτε στα θέματα των πανελληνιών!
2
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Ορισμός Συνάρτησης και Βασικές Έννοιες
Μια πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α είναι ένας κανόνας f που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο x∈A σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της f στο x και γράφεται f.
Το πεδίο ορισμού της f συμβολίζεται και αποτελείται από όλες τις τιμές του x για τις οποίες η συνάρτηση ορίζεται. Το σύνολο τιμών f(A) περιέχει όλες τις δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση.
Η γραφική παράσταση της f είναι το σύνολο των σημείων M(x,f) με x∈A. Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση σε το πολύ ένα σημείο - αυτό διαφοροποιεί τη συνάρτηση από άλλες καμπύλες όπως ο κύκλος.
Προσοχή: Από τη γραφική παράσταση μπορείτε να βρείτε το πεδίο ορισμού (τετμημένες) και το σύνολο τιμών (τεταγμένες).
3
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Μετασχηματισμοί Συναρτήσεων και Βασικές Γραφικές Παραστάσεις
Από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f μπορούμε να σχεδιάσουμε εύκολα τις γραφικές παραστάσεις των -f και |f|.
Η γραφική παράσταση της -f είναι συμμετρική της αρχικής ως προς τον άξονα x'x. Κάθε σημείο M(x,f) γίνεται M'.
Η γραφική παράσταση της |f| κρατάει τα τμήματα που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x'x και "αντικατοπτρίζει" προς τα πάνω όσα βρίσκονται κάτω από αυτόν.
Βασικές συναρτήσεις που πρέπει να ξέρετε να σχεδιάζετε:
- Γραμμική: f = αx+β (ευθεία)
- Δευτέρου βαθμού: f = αx² (παραβολή)
- Κυβική: f = αx³
- Ρίζες: f = √x, f = ∛x
- Υπερβολή: f = α/x
Tip: Θυμηθείτε ότι το πρόσημο του α καθορίζει την "κατεύθυνση" της γραφικής παράστασης!
4
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Τριγωνομετρικές, Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημx, συνx και εφx είναι περιοδικές με περίοδο T=2π (για ημx και συνx). Η εφx έχει περίοδο T=π και ασύμπτωτες στα σημεία όπου δεν ορίζεται.
Οι εκθετικές συναρτήσεις f=αˣ (α>0, α≠1) έχουν διαφορετική συμπεριφορά ανάλογα με τη βάση:
- Αν α>1: η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα
- Αν 0<α<1: η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα
Οι λογαριθμικές συναρτήσεις f=logₐx είναι οι αντίστροφες των εκθετικών. Ορίζονται μόνο για x>0 και έχουν τις ίδιες ιδιότητες μονοτονίας με τις αντίστοιχες εκθετικές.
Σημαντικές ιδιότητες λογαρίθμων:
- logₐ(x₁x₂) = logₐx₁ + logₐx₂
- logₐ = logₐx₁ - logₐx₂
- logₐ(xᵏ) = k·logₐx
Προσοχή: Οι λογαριθμικές συναρτήσεις ορίζονται μόνο για θετικές τιμές του x!
5
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πράξεις και Σύνθεση Συναρτήσεων
Ίσες συναρτήσεις: Δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε x∈A ισχύει f=g.
Πράξεις συναρτήσεων: Για δύο συναρτήσεις f και g ορίζουμε:
- f+g$$x = f+g
- f-g$$x = f-g
- (fg) = fg
- (f/g) = f/g, με g≠0
Το πεδίο ορισμού των τριών πρώτων είναι η τομή των πεδίων ορισμού A∩B. Για το πηλίκο αφαιρούμε επιπλέον τα σημεία όπου g=0.
Σύνθεση συναρτήσεων: Η σύνθεση g∘f ορίζεται ως (g∘f) = g(f). Το πεδίο ορισμού αποτελείται από τα x του πεδίου της f για τα οποία το f ανήκει στο πεδίο της g.
Σημαντικό: Η σύνθεση συναρτήσεων γενικά δεν είναι αντιμεταθετική: g∘f ≠ f∘g!
6
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Μονοτονία και Συναρτήσεις 1-1
Μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για x₁<x₂ ισχύει f(x₁)<f(x₂). Είναι γνησίως φθίνουσα όταν για x₁<x₂ ισχύει f(x₁)>f(x₂).
Ακρότατα συναρτήσεων:
- Ολικό μέγιστο στο x₀: f≤f(x₀) για κάθε x∈A
- Ολικό ελάχιστο στο x₀: f≥f(x₀) για κάθε x∈A
Μια συνάρτηση f είναι 1-1 (ένα προς ένα) όταν για x₁≠x₂ ισχύει f(x₁)≠f(x₂). Ισοδύναμα: αν f(x₁)=f(x₂) τότε x₁=x₂.
Σημαντικές παρατηρήσεις:
- Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι 1-1
- Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα
- Γραφικά: κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση μιας 1-1 συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο
Tip για εξετάσεις: Για να αποδείξετε ότι μια συνάρτηση είναι 1-1, δείξτε ότι f(x₁)=f(x₂) ⟹ x₁=x₂!
7
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Αντίστροφη Συνάρτηση
Μια συνάρτηση f αντιστρέφεται αν και μόνο αν είναι 1-1. Η αντίστροφη συνάρτηση f⁻¹ ορίζεται από τη σχέση: f=y ⟺ f⁻¹=x.
Βασικές ιδιότητες:
- f⁻¹(f) = x για κάθε x∈A
- f(f⁻¹) = y για κάθε y∈f(A)
- Το πεδίο ορισμού της f⁻¹ είναι το σύνολο τιμών της f
- Το σύνολο τιμών της f⁻¹ είναι το πεδίο ορισμού της f
Γραφική παράσταση: Οι γραφικές παραστάσεις των f και f⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x.
Μονοτονία: Αν η f είναι γνησίως μονότονη, τότε η f⁻¹ έχει το ίδιο είδος μονοτονίας. Δηλαδή αν f↑ τότε f⁻¹↑ και αν f↓ τότε f⁻¹↓.
Μνημονικό: Η αντίστροφη συνάρτηση "αναιρεί" την επίδραση της αρχικής - γι' αυτό f⁻¹(f)=x!
8
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Όριο Συνάρτησης και Πλευρικά Όρια
Το όριο μιας συνάρτησης f στο σημείο x₀ συνδέεται άμεσα με τα πλευρικά όρια. Η θεμελιώδης σχέση είναι:
lim[x→x₀] f = l ⟺ lim[x→x₀⁻] f = lim[x→x₀⁺] f = l
Το αριστερό όριο lim[x→x₀⁻] f μελετά τη συμπεριφορά της f όταν το x πλησιάζει το x₀ από αριστερά. Το δεξιό όριο lim[x→x₀⁺] f μελετά την προσέγγιση από δεξιά.
Σημαντικές παρατηρήσεις:
- Για να υπάρχει όριο, η f πρέπει να ορίζεται "κοντά" στο x₀
- Το x₀ μπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει στο πεδίο ορισμού
- Η τιμή f(x₀), αν υπάρχει, μπορεί να διαφέρει από το όριο
Βασικά όρια: lim[x→x₀] x = x₀ και lim[x→x₀] c = c (για σταθερά c).
Κλειδί για επιτυχία: Όταν τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, το όριο δεν υπάρχει!
9
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
10
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
11
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
12
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
13
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
14
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
15
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
16
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
17
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
18
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
19
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
20
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
21
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
22
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
23
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
24
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
25
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
26
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
27
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
28
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
29
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
30
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
31
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
32
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
33
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
34
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
35
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
36
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
37
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
38
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
39
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
40
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
41
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
42
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
43
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
44
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
45
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
46
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
47
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
48
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
49
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
50
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
51
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
52
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
53
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
54
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
55
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
56
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
57
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
58
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
59
of 59Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Παρόμοιο Περιεχόμενο
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
9ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,89574
ΜαθηματικάΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
Β' Λυκ.1,89239
ΜαθηματικάSOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις
Α' Λυκ.1,37337
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα
Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται
Β' Λυκ.1,04734
ΜαθηματικάΜαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου
Θεωρία και αποδείξεις
Β' Λυκ.1,20021
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Γ' Λυκ.3,30379
ΜαθηματικάΜαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου
Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)
Β' Λυκ.1,19819
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β´λυκείου
Γεωμετρία Β´λυκείου όλες οι αποδείξεις και τα θεωρήματα-πορίσματα
Β' Λυκ.94817
Μ
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα
Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.
Γ' Λυκ.4900
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9ΙστορίαΙστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Β' Λυκ.8,530300
ΙστορίαΣχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
Α' Λυκ.2,85066
Ιστορίαιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Α' Λυκ.2,0430
ΒιολογίαΒιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Β' Λυκ.7,141227
ΙστορίαΙστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Α' Λυκ.2,26342
ΒιολογίαΒιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Β' Λυκ.3,14575
ΦυσικήΦυσική Β γυμνασίου
Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4
Β' Γυμν.9,437664
ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,89574
ΙστορίαΜυκηναϊκός πολιτισμός !
Μυκηναϊκός πολιτισμός
Α' Λυκ.1,33223
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σχρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άνναχρήστης iOS