Τα διανύσματα είναι ένα από τα πιο χρήσιμα εργαλεία των... Δες περισσότερα
Μαθηματικά (Θετ.)482 προβολές·Ενημερώθηκε Jun 5, 2026·4 σελίδεςΕύκολη Θεωρία για Διανύσματα Β’ Λυκείου
Β
Βάγια Τσεμπερλίδου@_gzxbt
1 / 4
1
of 4
Τι είναι τα Διανύσματα
Φαντάσου ότι θέλεις να εξηγήσεις σε κάποιον πώς να πάει από το σπίτι του στο σχολείο. Δεν αρκεί να πεις μόνο την απόσταση - χρειάζεσαι και την κατεύθυνση. Αυτό ακριβώς κάνει ένα διάνυσμα: είναι ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα που έχει αρχή, πέρας και συγκεκριμένη φορά.
Το μέτρο ενός διανύσματος ΑΒ γράφεται |ΑΒ| και δείχνει το μήκος του. Όταν το μέτρο είναι 1, το διάνυσμα λέγεται μοναδιαίο. Το μηδενικό διάνυσμα είναι η ιδιαίτερη περίπτωση όπου η αρχή και το πέρας συμπίπτουν.
Τα διανύσματα μπορεί να είναι ομόρροπα (ίδια κατεύθυνση και φορά), αντίρροπα (ίδια κατεύθυνση, αντίθετη φορά), ίσα (όλα τα παραπάνω συν ίσα μέτρα), ή αντίθετα (ίσα μέτρα αλλά αντίθετη φορά).
Σημείωση: Το αντίθετο του διανύσματος ΑΒ γράφεται -ΑΒ και ισούται με το ΒΑ.
2
of 4
Γωνίες και Βασικές Ιδιότητες
Η γωνία δύο διανυσμάτων μετριέται πάντα από 0° έως 180° (ή από 0 έως π ακτίνια). Αυτό είναι κλειδί για να καταλάβεις πώς "συνεργάζονται" δύο διανύσματα μεταξύ τους.
Κάποιες σημαντικές ιδιότητες του μέτρου: το μέτρο είναι πάντα θετικό ή μηδέν, και μόνο το μηδενικό διάνυσμα έχει μέτρο μηδέν. Επίσης, ένα διάνυσμα και το αντίθετό του έχουν το ίδιο μέτρο.
Από τη γωνία των διανυσμάτων προκύπτουν χρήσιμες σχέσεις: όταν η γωνία είναι 0° τα διανύσματα είναι ομόρροπα, όταν είναι 180° είναι αντίρροπα, και όταν είναι 90° είναι κάθετα.
Tip: Η γωνία 90° (ή π/2 ακτίνια) είναι ιδιαίτερα σημαντική γιατί δημιουργεί κάθετα διανύσματα!
3
of 4
Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων
Η πρόσθεση διανυσμάτων γίνεται με δύο τρόπους: είτε βάζεις τα διανύσματα διαδοχικά (η αρχή του ενός στο πέρας του άλλου), είτε με τον κανόνα του παραλληλογράμμου όταν έχουν κοινή αρχή. Και στις δύο περιπτώσεις παίρνεις το ίδιο αποτέλεσμα.
Ένα βασικό πλεονέκτημα: η πρόσθεση διανυσμάτων είναι αντιμεταθετική, δηλαδή α + β = β + α. Αυτό σου κάνει τους υπολογισμούς πολύ πιο εύκολους.
Η αφαίρεση είναι απλή όταν την καταλάβεις: α - β = α + (-β). Δηλαδή προσθέτεις το αντίθετο διάνυσμα. Πρακτικά σημαίνει ότι αντιστρέφεις τη φορά του β και μετά κάνεις πρόσθεση.
Θυμήσου: Κάθε διάνυσμα γράφεται ως "διανυσματική ακτίνα πέρατος μείον διανυσματική ακτίνα αρχής".
4
of 4
Πολλαπλασιασμός με Αριθμό
Όταν πολλαπλασιάζεις έναν αριθμό με διάνυσμα, αλλάζεις το μέγεθός του αλλά όχι απαραίτητα την κατεύθυνσή του. Αν ο αριθμός είναι θετικός, η κατεύθυνση μένει ίδια. Αν είναι αρνητικός, η κατεύθυνση αντιστρέφεται.
Αυτή η ιδέα μας οδηγεί στη συνθήκη παραλληλίας: δύο διανύσματα α και β είναι παράλληλα αν και μόνο αν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου, δηλαδή α = λβ για κάποιο αριθμό λ.
Ένα χρήσιμο λήμμα που θα χρησιμοποιείς συχνά: αν το Μ είναι μέσο του ΑΒ, τότε ΟΜ = (ΟΑ + ΟΒ)/2 για οποιοδήποτε σημείο αναφοράς Ο. Αυτός ο τύπος του "μέσου" είναι πολύ πρακτικός!
Προσοχή: Όταν λες ότι ένα διάνυσμα "γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός" άλλων, εννοείς ότι το εκφράζεις ως άθροισμα πολλαπλασίων τους.
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά (Θετ.)
9Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σχρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άνναχρήστης iOS
Μαθηματικά (Θετ.)482 προβολές·Ενημερώθηκε Jun 5, 2026·4 σελίδεςΕύκολη Θεωρία για Διανύσματα Β’ Λυκείου
Β
Βάγια Τσεμπερλίδου@_gzxbt
Τα διανύσματα είναι ένα από τα πιο χρήσιμα εργαλεία των μαθηματικών που θα συναντήσεις παντού - από τη φυσική μέχρι την πληροφορική. Ουσιαστικά είναι τρόποι να περιγράφουμε κατεύθυνση και μέγεθος μαζί, κάτι σαν να δείχνεις σε κάποιον "πήγαινε 5 μέτρα... Δες περισσότερα
1
of 4Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Τι είναι τα Διανύσματα
Φαντάσου ότι θέλεις να εξηγήσεις σε κάποιον πώς να πάει από το σπίτι του στο σχολείο. Δεν αρκεί να πεις μόνο την απόσταση - χρειάζεσαι και την κατεύθυνση. Αυτό ακριβώς κάνει ένα διάνυσμα: είναι ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα που έχει αρχή, πέρας και συγκεκριμένη φορά.
Το μέτρο ενός διανύσματος ΑΒ γράφεται |ΑΒ| και δείχνει το μήκος του. Όταν το μέτρο είναι 1, το διάνυσμα λέγεται μοναδιαίο. Το μηδενικό διάνυσμα είναι η ιδιαίτερη περίπτωση όπου η αρχή και το πέρας συμπίπτουν.
Τα διανύσματα μπορεί να είναι ομόρροπα (ίδια κατεύθυνση και φορά), αντίρροπα (ίδια κατεύθυνση, αντίθετη φορά), ίσα (όλα τα παραπάνω συν ίσα μέτρα), ή αντίθετα (ίσα μέτρα αλλά αντίθετη φορά).
Σημείωση: Το αντίθετο του διανύσματος ΑΒ γράφεται -ΑΒ και ισούται με το ΒΑ.
2
of 4Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Γωνίες και Βασικές Ιδιότητες
Η γωνία δύο διανυσμάτων μετριέται πάντα από 0° έως 180° (ή από 0 έως π ακτίνια). Αυτό είναι κλειδί για να καταλάβεις πώς "συνεργάζονται" δύο διανύσματα μεταξύ τους.
Κάποιες σημαντικές ιδιότητες του μέτρου: το μέτρο είναι πάντα θετικό ή μηδέν, και μόνο το μηδενικό διάνυσμα έχει μέτρο μηδέν. Επίσης, ένα διάνυσμα και το αντίθετό του έχουν το ίδιο μέτρο.
Από τη γωνία των διανυσμάτων προκύπτουν χρήσιμες σχέσεις: όταν η γωνία είναι 0° τα διανύσματα είναι ομόρροπα, όταν είναι 180° είναι αντίρροπα, και όταν είναι 90° είναι κάθετα.
Tip: Η γωνία 90° (ή π/2 ακτίνια) είναι ιδιαίτερα σημαντική γιατί δημιουργεί κάθετα διανύσματα!
3
of 4Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Πρόσθεση και Αφαίρεση Διανυσμάτων
Η πρόσθεση διανυσμάτων γίνεται με δύο τρόπους: είτε βάζεις τα διανύσματα διαδοχικά (η αρχή του ενός στο πέρας του άλλου), είτε με τον κανόνα του παραλληλογράμμου όταν έχουν κοινή αρχή. Και στις δύο περιπτώσεις παίρνεις το ίδιο αποτέλεσμα.
Ένα βασικό πλεονέκτημα: η πρόσθεση διανυσμάτων είναι αντιμεταθετική, δηλαδή α + β = β + α. Αυτό σου κάνει τους υπολογισμούς πολύ πιο εύκολους.
Η αφαίρεση είναι απλή όταν την καταλάβεις: α - β = α + (-β). Δηλαδή προσθέτεις το αντίθετο διάνυσμα. Πρακτικά σημαίνει ότι αντιστρέφεις τη φορά του β και μετά κάνεις πρόσθεση.
Θυμήσου: Κάθε διάνυσμα γράφεται ως "διανυσματική ακτίνα πέρατος μείον διανυσματική ακτίνα αρχής".
4
of 4Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Πολλαπλασιασμός με Αριθμό
Όταν πολλαπλασιάζεις έναν αριθμό με διάνυσμα, αλλάζεις το μέγεθός του αλλά όχι απαραίτητα την κατεύθυνσή του. Αν ο αριθμός είναι θετικός, η κατεύθυνση μένει ίδια. Αν είναι αρνητικός, η κατεύθυνση αντιστρέφεται.
Αυτή η ιδέα μας οδηγεί στη συνθήκη παραλληλίας: δύο διανύσματα α και β είναι παράλληλα αν και μόνο αν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου, δηλαδή α = λβ για κάποιο αριθμό λ.
Ένα χρήσιμο λήμμα που θα χρησιμοποιείς συχνά: αν το Μ είναι μέσο του ΑΒ, τότε ΟΜ = (ΟΑ + ΟΒ)/2 για οποιοδήποτε σημείο αναφοράς Ο. Αυτός ο τύπος του "μέσου" είναι πολύ πρακτικός!
Προσοχή: Όταν λες ότι ένα διάνυσμα "γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός" άλλων, εννοείς ότι το εκφράζεις ως άθροισμα πολλαπλασίων τους.
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά (Θετ.)
9Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σχρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άνναχρήστης iOS