Μαθήματα

Knowunity AI

Περισσότερα

Καριέρες

Πρόγραμμα Δημιουργών

Knowunity Pro

Άνοιξε την Εφαρμογή

Μαθήματα

ΜαθηματικάΜαθηματικά3.303 προβολές·Ενημερώθηκε 7 Ιουλ 2026·10 σελίδες

Ορια και Κριτήριο Παρεμβολής - Μαθηματικά Γ’ Λυκείου

user profile picture
Έλενα Πανιά@elenouli.ii

Τα όρια είναι ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια των...

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Page 10
1 / 10
1
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Βασικά Όρια και Απροσδιόριστες Μορφές

Το όριο μιας συνάρτησης f όταν το x τείνει στο x₀ γράφεται lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x). Στην πράξη, απλά αντικαθιστάς το x₀ στη θέση του x και υπολογίζεις!

Πρόσεχε όμως τις απροσδιόριστες μορφές όπως το 0/0. Όταν βγει 0/0, σημαίνει ότι πρέπει να παραγοντοποιήσεις τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Μετά την παραγοντοποίηση, απλοποιείς το x−x0x-x₀ που υπάρχει πάνω και κάτω, και τέλος αντικαθιστάς. Για παράδειγμα: lim⁡x→3x2−9x2−4x+3=(x−3)(x+3)(x−3)(x−1)=62=3\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-1)} = \frac{6}{2} = 3.

Tip: Πάντα έλεγξε πρώτα αν βγαίνει απροσδιόριστη μορφή πριν ξεκινήσεις παραγοντοποίηση!

2
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Πράξεις με Όρια

Μόλις μάθεις αυτούς τους κανόνες πράξεων, τα όρια γίνονται παιχνιδάκι! Αρκεί να υπάρχουν τα όρια των fxx και gxx.

Μπορείς να προσθέτεις, πολλαπλασιάζεις και διαιρείς όρια ξεχωριστά. Δηλαδή το όριο του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ορίων.

Το ίδιο ισχύει για την ρίζα και την απόλυτη τιμή. Απλά βγάζεις το όριο έξω από τη ρίζα ή την απόλυτη τιμή.

Προσοχή: Στη διαίρεση, το όριο του παρονομαστή δεν πρέπει να είναι μηδέν!

3
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Πλευρικά Όρια

Τα πλευρικά όρια είναι απλά - σκέψου από ποια πλευρά πλησιάζεις το σημείο! Από αριστερά (μικρότερες τιμές) ή από δεξιά (μεγαλύτερες).

Το αριστερό πλευρικό όριο γράφεται με μείον (x₀⁻) και το δεξί με συν (x₀⁺). Είναι σαν να περπατάς προς το σημείο από διαφορετικές κατευθύνσεις.

Κρίσιμο: Ένα όριο υπάρχει μόνο αν το αριστερό και δεξί πλευρικό όριο είναι ίσα! Αν είναι διαφορετικά, το όριο δεν υπάρχει.

Μυστικό επιτυχίας: Όταν έχεις απόλυτες τιμές ή κομμάτι συναρτήσεις, πάντα ελέγχεις πλευρικά όρια!

4
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Τριγωνομετρικά και Ειδικά Όρια

Αυτά τα θεμελιώδη τριγωνομετρικά όρια πρέπει να τα ξέρεις απέξω: lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 και lim⁡x→0cos⁡x−1x=0\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0.

Όταν έχεις απόλυτες τιμές στον παρονομαστή, προσοχή! Πρέπει να εξετάσεις τι συμβαίνει από κάθε πλευρά του σημείου.

Στις εφαρμογές, μερικές φορές δίνεται ένα όριο και πρέπει να βρεις άλλο. Θέτεις βοηθητική συνάρτηση και χρησιμοποιείς την πληροφορία που έχεις.

Hack: Τα τριγωνομετρικά όρια εμφανίζονται συχνά στις εξετάσεις, οπότε εξασκήσου πολύ!

5
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κριτήριο Παρεμβολής

Το κριτήριο παρεμβολής (ή squeeze theorem) είναι σαν να έχεις μια συνάρτηση "σφηνωμένη" ανάμεσα σε δύο άλλες!

Αν έχεις g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x) κοντά στο x₀, και τα όρια των g και h είναι ίσα, τότε και το όριο της f είναι το ίδιο.

Σκέψου το έτσι: αν δύο "φρουροί" πάνε στο ίδιο σημείο, τότε και ο "κρατούμενος" στη μέση θα πάει εκεί!

Χρήσιμο tip: Χρησιμοποιείται συχνά με ημίτονο, συνημίτονο ή άλλες φραγμένες συναρτήσεις.

6
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Πρόσημο Ορίων

Αυτός ο κανόνας είναι πολύ λογικός! Αν το όριο μιας συνάρτησης είναι θετικό, τότε η συνάρτηση θα είναι θετική κοντά σε εκείνο το σημείο.

Το ίδιο ισχύει και για αρνητικά όρια - η συνάρτηση θα είναι αρνητική κοντά στο σημείο.

Αυτή η ιδιότητα είναι χρήσιμη όταν θέλουμε να εξετάσουμε το πρόσημο μιας συνάρτησης ή να λύσουμε ανισώσεις.

Πρακτική εφαρμογή: Αν ξέρεις ότι lim fxx = 5, τότε η fxx είναι θετική κοντά στο σημείο αυτό!

7
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Μηδενική επί Φραγμένη

Ένας από τους πιο χρήσιμους κανόνες: μηδενική επί φραγμένη ισούται με μηδέν! Αν μια συνάρτηση τείνει στο 0 και μια άλλη παραμένει φραγμένη, το γινόμενό τους τείνει στο 0.

Για παράδειγμα, το lim⁡x→+∞sin⁡xx=0\lim_{x \to +∞} \frac{\sin x}{x} = 0 γιατί το sin x είναι φραγμένο −1≤sinx≤1-1 ≤ sin x ≤ 1 και το 1/x τείνει στο 0.

Χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής: −1x≤sin⁡xx≤1x-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}, και επειδή τα άκρα τείνουν στο 0, και το μεσαίο τείνει στο 0.

Στρατηγική: Όταν βλέπεις τριγωνομετρικές με x στον παρονομαστή, σκέψου "φραγμένη επί μηδενική"!

8
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ
9
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ
10
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

9
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.

Α' Λυκ.2,89574
ΜαθηματικάΜαθηματικά

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

Β' Λυκ.1,89239
ΜαθηματικάΜαθηματικά

SOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις

Α' Λυκ.1,37337
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Γεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα

Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται

Β' Λυκ.1,04734
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

Β' Λυκ.1,20021
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

Γ' Λυκ.5,042121
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου

Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)

Β' Λυκ.1,19819
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Γεωμετρία Β´λυκείου

Γεωμετρία Β´λυκείου όλες οι αποδείξεις και τα θεωρήματα-πορίσματα

Β' Λυκ.94817
Μ
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα

Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.

Γ' Λυκ.4900

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

9
ΙστορίαΙστορία

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Ορισμοί ιστόριας

Β' Λυκ.8,530300
ΙστορίαΙστορία

Σχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου

Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου

Α' Λυκ.2,85066
ΙστορίαΙστορία

ιστορία α λυκείου κλασσική εποχή

Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.

Α' Λυκ.2,0430
ΒιολογίαΒιολογία

Βιολογία β Λυκείου

Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία

Β' Λυκ.7,141227
ΙστορίαΙστορία

Ιστορία Α λυκείου ΣΟΣ

ΣΟΣ για εξετάσεις

Α' Λυκ.2,26342
ΒιολογίαΒιολογία

Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2

Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)

Β' Λυκ.3,14575
ΦυσικήΦυσική

Φυσική Β γυμνασίου

Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4

Β' Γυμν.9,437664
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.

Α' Λυκ.2,89574
ΙστορίαΙστορία

Μυκηναϊκός πολιτισμός !

Μυκηναϊκός πολιτισμός

Α' Λυκ.1,33223

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σχρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άνναχρήστης iOS

ΜαθηματικάΜαθηματικά3.303 προβολές·Ενημερώθηκε 7 Ιουλ 2026·10 σελίδες

Ορια και Κριτήριο Παρεμβολής - Μαθηματικά Γ’ Λυκείου

user profile picture
Έλενα Πανιά@elenouli.ii

Τα όρια είναι ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια των μαθηματικών που θα χρησιμοποιείς συνέχεια στις πανελλαδικές! Βασικά, μας βοηθούν να καταλάβουμε τι συμβαίνει σε μια συνάρτηση όταν πλησιάζουμε κάποιο σημείο.

1
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Βασικά Όρια και Απροσδιόριστες Μορφές

Το όριο μιας συνάρτησης f όταν το x τείνει στο x₀ γράφεται lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x). Στην πράξη, απλά αντικαθιστάς το x₀ στη θέση του x και υπολογίζεις!

Πρόσεχε όμως τις απροσδιόριστες μορφές όπως το 0/0. Όταν βγει 0/0, σημαίνει ότι πρέπει να παραγοντοποιήσεις τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Μετά την παραγοντοποίηση, απλοποιείς το x−x0x-x₀ που υπάρχει πάνω και κάτω, και τέλος αντικαθιστάς. Για παράδειγμα: lim⁡x→3x2−9x2−4x+3=(x−3)(x+3)(x−3)(x−1)=62=3\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-1)} = \frac{6}{2} = 3.

Tip: Πάντα έλεγξε πρώτα αν βγαίνει απροσδιόριστη μορφή πριν ξεκινήσεις παραγοντοποίηση!

2
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Πράξεις με Όρια

Μόλις μάθεις αυτούς τους κανόνες πράξεων, τα όρια γίνονται παιχνιδάκι! Αρκεί να υπάρχουν τα όρια των fxx και gxx.

Μπορείς να προσθέτεις, πολλαπλασιάζεις και διαιρείς όρια ξεχωριστά. Δηλαδή το όριο του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ορίων.

Το ίδιο ισχύει για την ρίζα και την απόλυτη τιμή. Απλά βγάζεις το όριο έξω από τη ρίζα ή την απόλυτη τιμή.

Προσοχή: Στη διαίρεση, το όριο του παρονομαστή δεν πρέπει να είναι μηδέν!

3
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Πλευρικά Όρια

Τα πλευρικά όρια είναι απλά - σκέψου από ποια πλευρά πλησιάζεις το σημείο! Από αριστερά (μικρότερες τιμές) ή από δεξιά (μεγαλύτερες).

Το αριστερό πλευρικό όριο γράφεται με μείον (x₀⁻) και το δεξί με συν (x₀⁺). Είναι σαν να περπατάς προς το σημείο από διαφορετικές κατευθύνσεις.

Κρίσιμο: Ένα όριο υπάρχει μόνο αν το αριστερό και δεξί πλευρικό όριο είναι ίσα! Αν είναι διαφορετικά, το όριο δεν υπάρχει.

Μυστικό επιτυχίας: Όταν έχεις απόλυτες τιμές ή κομμάτι συναρτήσεις, πάντα ελέγχεις πλευρικά όρια!

4
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Τριγωνομετρικά και Ειδικά Όρια

Αυτά τα θεμελιώδη τριγωνομετρικά όρια πρέπει να τα ξέρεις απέξω: lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 και lim⁡x→0cos⁡x−1x=0\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0.

Όταν έχεις απόλυτες τιμές στον παρονομαστή, προσοχή! Πρέπει να εξετάσεις τι συμβαίνει από κάθε πλευρά του σημείου.

Στις εφαρμογές, μερικές φορές δίνεται ένα όριο και πρέπει να βρεις άλλο. Θέτεις βοηθητική συνάρτηση και χρησιμοποιείς την πληροφορία που έχεις.

Hack: Τα τριγωνομετρικά όρια εμφανίζονται συχνά στις εξετάσεις, οπότε εξασκήσου πολύ!

5
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Κριτήριο Παρεμβολής

Το κριτήριο παρεμβολής (ή squeeze theorem) είναι σαν να έχεις μια συνάρτηση "σφηνωμένη" ανάμεσα σε δύο άλλες!

Αν έχεις g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x) κοντά στο x₀, και τα όρια των g και h είναι ίσα, τότε και το όριο της f είναι το ίδιο.

Σκέψου το έτσι: αν δύο "φρουροί" πάνε στο ίδιο σημείο, τότε και ο "κρατούμενος" στη μέση θα πάει εκεί!

Χρήσιμο tip: Χρησιμοποιείται συχνά με ημίτονο, συνημίτονο ή άλλες φραγμένες συναρτήσεις.

6
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Πρόσημο Ορίων

Αυτός ο κανόνας είναι πολύ λογικός! Αν το όριο μιας συνάρτησης είναι θετικό, τότε η συνάρτηση θα είναι θετική κοντά σε εκείνο το σημείο.

Το ίδιο ισχύει και για αρνητικά όρια - η συνάρτηση θα είναι αρνητική κοντά στο σημείο.

Αυτή η ιδιότητα είναι χρήσιμη όταν θέλουμε να εξετάσουμε το πρόσημο μιας συνάρτησης ή να λύσουμε ανισώσεις.

Πρακτική εφαρμογή: Αν ξέρεις ότι lim fxx = 5, τότε η fxx είναι θετική κοντά στο σημείο αυτό!

7
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μηδενική επί Φραγμένη

Ένας από τους πιο χρήσιμους κανόνες: μηδενική επί φραγμένη ισούται με μηδέν! Αν μια συνάρτηση τείνει στο 0 και μια άλλη παραμένει φραγμένη, το γινόμενό τους τείνει στο 0.

Για παράδειγμα, το lim⁡x→+∞sin⁡xx=0\lim_{x \to +∞} \frac{\sin x}{x} = 0 γιατί το sin x είναι φραγμένο −1≤sinx≤1-1 ≤ sin x ≤ 1 και το 1/x τείνει στο 0.

Χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής: −1x≤sin⁡xx≤1x-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}, και επειδή τα άκρα τείνουν στο 0, και το μεσαίο τείνει στο 0.

Στρατηγική: Όταν βλέπεις τριγωνομετρικές με x στον παρονομαστή, σκέψου "φραγμένη επί μηδενική"!

8
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

9
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

10
of 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

9
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.

Α' Λυκ.2,89574
ΜαθηματικάΜαθηματικά

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

Β' Λυκ.1,89239
ΜαθηματικάΜαθηματικά

SOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις

Α' Λυκ.1,37337
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Γεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα

Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται

Β' Λυκ.1,04734
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

Β' Λυκ.1,20021
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

Γ' Λυκ.5,042121
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου

Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)

Β' Λυκ.1,19819
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Γεωμετρία Β´λυκείου

Γεωμετρία Β´λυκείου όλες οι αποδείξεις και τα θεωρήματα-πορίσματα

Β' Λυκ.94817
Μ
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα

Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.

Γ' Λυκ.4900

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

9
ΙστορίαΙστορία

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Ορισμοί ιστόριας

Β' Λυκ.8,530300
ΙστορίαΙστορία

Σχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου

Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου

Α' Λυκ.2,85066
ΙστορίαΙστορία

ιστορία α λυκείου κλασσική εποχή

Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.

Α' Λυκ.2,0430
ΒιολογίαΒιολογία

Βιολογία β Λυκείου

Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία

Β' Λυκ.7,141227
ΙστορίαΙστορία

Ιστορία Α λυκείου ΣΟΣ

ΣΟΣ για εξετάσεις

Α' Λυκ.2,26342
ΒιολογίαΒιολογία

Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2

Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)

Β' Λυκ.3,14575
ΦυσικήΦυσική

Φυσική Β γυμνασίου

Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4

Β' Γυμν.9,437664
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.

Α' Λυκ.2,89574
ΙστορίαΙστορία

Μυκηναϊκός πολιτισμός !

Μυκηναϊκός πολιτισμός

Α' Λυκ.1,33223

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σχρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άνναχρήστης iOS