Μαθηματικά3,114 προβολές·Ενημερώθηκε May 12, 2026·10 σελίδες

Ορια και Κριτήριο Παρεμβολής - Μαθηματικά Γ’ Λυκείου

Έλενα Πανιά@elenouli.ii

Τα όρια είναι ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια των... Δες περισσότερα

1 / 10

of 10

OPIA lim=f(x)

limf(x) = 4
X-2

5
x-Xo
Όριο της 1 καθώς)
χ τείνει στο χο

π.χ.

lim (x²-4x)=22-4.2=-4
X-2

lim (ex-4x)=e°-4-0=1
メ

απροσδιορ

Βασικά Όρια και Απροσδιόριστες Μορφές

Το όριο μιας συνάρτησης f όταν το x τείνει στο x₀ γράφεται $\lim_{x \to x_0} f(x)$ . Στην πράξη, απλά αντικαθιστάς το x₀ στη θέση του x και υπολογίζεις!

Πρόσεχε όμως τις απροσδιόριστες μορφές όπως το 0/0. Όταν βγει 0/0, σημαίνει ότι πρέπει να παραγοντοποιήσεις τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Μετά την παραγοντοποίηση, απλοποιείς το $x-x₀$ που υπάρχει πάνω και κάτω, και τέλος αντικαθιστάς. Για παράδειγμα: $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-1)} = \frac{6}{2} = 3$ .

Tip: Πάντα έλεγξε πρώτα αν βγαίνει απροσδιόριστη μορφή πριν ξεκινήσεις παραγοντοποίηση!

of 10

Πράξεις με Όρια

Μόλις μάθεις αυτούς τους κανόνες πράξεων, τα όρια γίνονται παιχνιδάκι! Αρκεί να υπάρχουν τα όρια των f(x) και g(x).

Μπορείς να προσθέτεις, πολλαπλασιάζεις και διαιρείς όρια ξεχωριστά. Δηλαδή το όριο του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ορίων.

Το ίδιο ισχύει για την ρίζα και την απόλυτη τιμή. Απλά βγάζεις το όριο έξω από τη ρίζα ή την απόλυτη τιμή.

Προσοχή: Στη διαίρεση, το όριο του παρονομαστή δεν πρέπει να είναι μηδέν!

of 10

Πλευρικά Όρια

Τα πλευρικά όρια είναι απλά - σκέψου από ποια πλευρά πλησιάζεις το σημείο! Από αριστερά (μικρότερες τιμές) ή από δεξιά (μεγαλύτερες).

Το αριστερό πλευρικό όριο γράφεται με μείον (x₀⁻) και το δεξί με συν (x₀⁺). Είναι σαν να περπατάς προς το σημείο από διαφορετικές κατευθύνσεις.

Κρίσιμο: Ένα όριο υπάρχει μόνο αν το αριστερό και δεξί πλευρικό όριο είναι ίσα! Αν είναι διαφορετικά, το όριο δεν υπάρχει.

Μυστικό επιτυχίας: Όταν έχεις απόλυτες τιμές ή κομμάτι συναρτήσεις, πάντα ελέγχεις πλευρικά όρια!

of 10

Τριγωνομετρικά και Ειδικά Όρια

Αυτά τα θεμελιώδη τριγωνομετρικά όρια πρέπει να τα ξέρεις απέξω: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ και $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0$ .

Όταν έχεις απόλυτες τιμές στον παρονομαστή, προσοχή! Πρέπει να εξετάσεις τι συμβαίνει από κάθε πλευρά του σημείου.

Στις εφαρμογές, μερικές φορές δίνεται ένα όριο και πρέπει να βρεις άλλο. Θέτεις βοηθητική συνάρτηση και χρησιμοποιείς την πληροφορία που έχεις.

Hack: Τα τριγωνομετρικά όρια εμφανίζονται συχνά στις εξετάσεις, οπότε εξασκήσου πολύ!

of 10

Κριτήριο Παρεμβολής

Το κριτήριο παρεμβολής (ή squeeze theorem) είναι σαν να έχεις μια συνάρτηση "σφηνωμένη" ανάμεσα σε δύο άλλες!

Αν έχεις $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ κοντά στο x₀, και τα όρια των g και h είναι ίσα, τότε και το όριο της f είναι το ίδιο.

Σκέψου το έτσι: αν δύο "φρουροί" πάνε στο ίδιο σημείο, τότε και ο "κρατούμενος" στη μέση θα πάει εκεί!

Χρήσιμο tip: Χρησιμοποιείται συχνά με ημίτονο, συνημίτονο ή άλλες φραγμένες συναρτήσεις.

of 10

Πρόσημο Ορίων

Αυτός ο κανόνας είναι πολύ λογικός! Αν το όριο μιας συνάρτησης είναι θετικό, τότε η συνάρτηση θα είναι θετική κοντά σε εκείνο το σημείο.

Το ίδιο ισχύει και για αρνητικά όρια - η συνάρτηση θα είναι αρνητική κοντά στο σημείο.

Αυτή η ιδιότητα είναι χρήσιμη όταν θέλουμε να εξετάσουμε το πρόσημο μιας συνάρτησης ή να λύσουμε ανισώσεις.

Πρακτική εφαρμογή: Αν ξέρεις ότι lim f(x) = 5, τότε η f(x) είναι θετική κοντά στο σημείο αυτό!

of 10

Μηδενική επί Φραγμένη

Ένας από τους πιο χρήσιμους κανόνες: μηδενική επί φραγμένη ισούται με μηδέν! Αν μια συνάρτηση τείνει στο 0 και μια άλλη παραμένει φραγμένη, το γινόμενό τους τείνει στο 0.

Για παράδειγμα, το $\lim_{x \to +∞} \frac{\sin x}{x} = 0$ γιατί το sin x είναι φραγμένο $-1 ≤ sin x ≤ 1$ και το 1/x τείνει στο 0.

Χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής: $-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$ , και επειδή τα άκρα τείνουν στο 0, και το μεσαίο τείνει στο 0.

Στρατηγική: Όταν βλέπεις τριγωνομετρικές με x στον παρονομαστή, σκέψου "φραγμένη επί μηδενική"!

of 10

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Βασικά Όρια και Απροσδιόριστες Μορφές

Πράξεις με Όρια

Πλευρικά Όρια

Τριγωνομετρικά και Ειδικά Όρια

Κριτήριο Παρεμβολής

Πρόσημο Ορίων

Μηδενική επί Φραγμένη

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

SOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Γεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα

Θεωρήματα+Αποδειξεις μαθηματικά Γ λυκείου

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Σχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου

Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2

ιστορία α λυκείου κλασσική εποχή

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

Βιολογία β Λυκείου

Κλασική εποχή

Πληροφορική - Όλη η θεωρία

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Βασικά Όρια και Απροσδιόριστες Μορφές

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Πράξεις με Όρια

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Πλευρικά Όρια

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Τριγωνομετρικά και Ειδικά Όρια

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κριτήριο Παρεμβολής

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Πρόσημο Ορίων

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Μηδενική επί Φραγμένη

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

SOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Γεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα

Θεωρήματα+Αποδειξεις μαθηματικά Γ λυκείου

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Σχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου

Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2

ιστορία α λυκείου κλασσική εποχή

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

Βιολογία β Λυκείου

Κλασική εποχή

Πληροφορική - Όλη η θεωρία

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.