Μαθήματα

SchoolGPT

Καριέρες

Knowunity Pro

Άνοιξε την Εφαρμογή

Μαθήματα

1.952

•

23 Δεκ 2025

•

10 σελίδες

Ορια και Κριτήριο Παρεμβολής - Μαθηματικά Γ’ Λυκείου

user profile picture

Έλενα Πανιά

@elenouli.ii

Τα όρια είναι ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια των... Δες περισσότερα

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Page 10
1 / 10
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Βασικά Όρια και Απροσδιόριστες Μορφές

Το όριο μιας συνάρτησης f όταν το x τείνει στο x₀ γράφεται lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x). Στην πράξη, απλά αντικαθιστάς το x₀ στη θέση του x και υπολογίζεις!

Πρόσεχε όμως τις απροσδιόριστες μορφές όπως το 0/0. Όταν βγει 0/0, σημαίνει ότι πρέπει να παραγοντοποιήσεις τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Μετά την παραγοντοποίηση, απλοποιείς το x−x0x-x₀ που υπάρχει πάνω και κάτω, και τέλος αντικαθιστάς. Για παράδειγμα: lim⁡x→3x2−9x2−4x+3=(x−3)(x+3)(x−3)(x−1)=62=3\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-1)} = \frac{6}{2} = 3.

Tip: Πάντα έλεγξε πρώτα αν βγαίνει απροσδιόριστη μορφή πριν ξεκινήσεις παραγοντοποίηση!

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Πράξεις με Όρια

Μόλις μάθεις αυτούς τους κανόνες πράξεων, τα όρια γίνονται παιχνιδάκι! Αρκεί να υπάρχουν τα όρια των f(x) και g(x).

Μπορείς να προσθέτεις, πολλαπλασιάζεις και διαιρείς όρια ξεχωριστά. Δηλαδή το όριο του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ορίων.

Το ίδιο ισχύει για την ρίζα και την απόλυτη τιμή. Απλά βγάζεις το όριο έξω από τη ρίζα ή την απόλυτη τιμή.

Προσοχή: Στη διαίρεση, το όριο του παρονομαστή δεν πρέπει να είναι μηδέν!

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Πλευρικά Όρια

Τα πλευρικά όρια είναι απλά - σκέψου από ποια πλευρά πλησιάζεις το σημείο! Από αριστερά (μικρότερες τιμές) ή από δεξιά (μεγαλύτερες).

Το αριστερό πλευρικό όριο γράφεται με μείον (x₀⁻) και το δεξί με συν (x₀⁺). Είναι σαν να περπατάς προς το σημείο από διαφορετικές κατευθύνσεις.

Κρίσιμο: Ένα όριο υπάρχει μόνο αν το αριστερό και δεξί πλευρικό όριο είναι ίσα! Αν είναι διαφορετικά, το όριο δεν υπάρχει.

Μυστικό επιτυχίας: Όταν έχεις απόλυτες τιμές ή κομμάτι συναρτήσεις, πάντα ελέγχεις πλευρικά όρια!

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Τριγωνομετρικά και Ειδικά Όρια

Αυτά τα θεμελιώδη τριγωνομετρικά όρια πρέπει να τα ξέρεις απέξω: lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 και lim⁡x→0cos⁡x−1x=0\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0.

Όταν έχεις απόλυτες τιμές στον παρονομαστή, προσοχή! Πρέπει να εξετάσεις τι συμβαίνει από κάθε πλευρά του σημείου.

Στις εφαρμογές, μερικές φορές δίνεται ένα όριο και πρέπει να βρεις άλλο. Θέτεις βοηθητική συνάρτηση και χρησιμοποιείς την πληροφορία που έχεις.

Hack: Τα τριγωνομετρικά όρια εμφανίζονται συχνά στις εξετάσεις, οπότε εξασκήσου πολύ!

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κριτήριο Παρεμβολής

Το κριτήριο παρεμβολής (ή squeeze theorem) είναι σαν να έχεις μια συνάρτηση "σφηνωμένη" ανάμεσα σε δύο άλλες!

Αν έχεις g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x) κοντά στο x₀, και τα όρια των g και h είναι ίσα, τότε και το όριο της f είναι το ίδιο.

Σκέψου το έτσι: αν δύο "φρουροί" πάνε στο ίδιο σημείο, τότε και ο "κρατούμενος" στη μέση θα πάει εκεί!

Χρήσιμο tip: Χρησιμοποιείται συχνά με ημίτονο, συνημίτονο ή άλλες φραγμένες συναρτήσεις.

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Πρόσημο Ορίων

Αυτός ο κανόνας είναι πολύ λογικός! Αν το όριο μιας συνάρτησης είναι θετικό, τότε η συνάρτηση θα είναι θετική κοντά σε εκείνο το σημείο.

Το ίδιο ισχύει και για αρνητικά όρια - η συνάρτηση θα είναι αρνητική κοντά στο σημείο.

Αυτή η ιδιότητα είναι χρήσιμη όταν θέλουμε να εξετάσουμε το πρόσημο μιας συνάρτησης ή να λύσουμε ανισώσεις.

Πρακτική εφαρμογή: Αν ξέρεις ότι lim f(x) = 5, τότε η f(x) είναι θετική κοντά στο σημείο αυτό!

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Μηδενική επί Φραγμένη

Ένας από τους πιο χρήσιμους κανόνες: μηδενική επί φραγμένη ισούται με μηδέν! Αν μια συνάρτηση τείνει στο 0 και μια άλλη παραμένει φραγμένη, το γινόμενό τους τείνει στο 0.

Για παράδειγμα, το lim⁡x→+∞sin⁡xx=0\lim_{x \to +∞} \frac{\sin x}{x} = 0 γιατί το sin x είναι φραγμένο −1≤sinx≤1-1 ≤ sin x ≤ 1 και το 1/x τείνει στο 0.

Χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής: −1x≤sin⁡xx≤1x-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}, και επειδή τα άκρα τείνουν στο 0, και το μεσαίο τείνει στο 0.

Στρατηγική: Όταν βλέπεις τριγωνομετρικές με x στον παρονομαστή, σκέψου "φραγμένη επί μηδενική"!

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ
OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ


Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Α' Λυκ.

Άλγεβρα α λυκείου

Σημειώσεις στο κεφάλαιο «απόλυτη τιμή»

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Α' Λυκ.

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Γ' Λυκ.

άλγεβρα Τριγωνομετρία

Σημειώσεις στην άλγεβρα Β λυκείου στην τριγωνομετρία

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Β' Λυκ.

Διάταξη πραγματικών αριθμών

Μαθηματικά α λυκείου

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Α' Λυκ.

Αλγεβρα Α Λυκειου 2ο Κεφαλαιο

Σημειωσεις και αποδειξεις για το κεφαλαιο 2ο της αλγεβρας Α’ λυκείου (απολυτη τιμη πραγματικου αριθμου, ν-οστη ρίζα)

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Α' Λυκ.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

σημειώσεις με την θεωρία της γεωμετρίας για την α λυκείου

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Α' Λυκ.

Ταυτότητες μαθηματικά γ γυμνασίου

Ταυτότητες

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Γ' Γυμν.

Θεωρία Διανύσματα Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Β' Λυκ.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

Βιολογία β Λυκείου

Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία

ΒιολογίαΒιολογία
Β' Λυκ.

Βιολογία Α’ λυκείου σημειώσεις για το πρώτο κεφάλαιο

Κεφάλαιο 1ο, κύτταρα και ιστοί, όργανα και συστήματα οργάνων

ΒιολογίαΒιολογία
Α' Λυκ.

Φυσική Α’ Λυκείου

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ( ΕΟΚ) + τύπος μέσης ταχύτητας

ΦυσικήΦυσική
Α' Λυκ.

Βιολογία β´ λυκείου

σημειώσεις

ΒιολογίαΒιολογία
Β' Λυκ.

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Ορισμοί ιστόριας

ΙστορίαΙστορία
Β' Λυκ.

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ

ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ (Οικονομία)
Γ' Λυκ.

Ιστορία Ά Λυκείου: 2.1 Ομηρική Εποχή (1.100-750 π.Χ.)

Πληροφορίες για την οικονομία, την κοινωνία, την πολιτική οργάνωση και τον πολιτισμό κατά την διάρκεια της ομηρικής εποχής.

Νέα ΕλληνικάΝέα Ελληνικά
Α' Λυκ.

Ιστορία Β Λυκείου Κεφάλαια 1-3 σημειώσεις

Το έγγραφο αυτό περιέχει περιληπτική, μεν περιεκτική όλη την εξεταστέα ύλη της ιστορίας Β λυκείου για τα πρώτα 3 Κεφάλαια, δηλαδή την μισή ύλη. Το έγγραφο έχει γραφτεί με προσοχή και άριστη ταυτόσημο το βιβλίο, όμως πολύ πιο απλά στη κατανόηση!

ΙστορίαΙστορία
Β' Λυκ.

Ιστορία Α λυκείου

Ομηρική εποχή

ΙστορίαΙστορία
Α' Λυκ.

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

 

Μαθηματικά

•

1.952

•

23 Δεκ 2025

•

10 σελίδες

Ορια και Κριτήριο Παρεμβολής - Μαθηματικά Γ’ Λυκείου

user profile picture

Έλενα Πανιά

@elenouli.ii

Τα όρια είναι ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια των μαθηματικών που θα χρησιμοποιείς συνέχεια στις πανελλαδικές! Βασικά, μας βοηθούν να καταλάβουμε τι συμβαίνει σε μια συνάρτηση όταν πλησιάζουμε κάποιο σημείο.

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Βασικά Όρια και Απροσδιόριστες Μορφές

Το όριο μιας συνάρτησης f όταν το x τείνει στο x₀ γράφεται lim⁡x→x0f(x)\lim_{x \to x_0} f(x). Στην πράξη, απλά αντικαθιστάς το x₀ στη θέση του x και υπολογίζεις!

Πρόσεχε όμως τις απροσδιόριστες μορφές όπως το 0/0. Όταν βγει 0/0, σημαίνει ότι πρέπει να παραγοντοποιήσεις τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Μετά την παραγοντοποίηση, απλοποιείς το x−x0x-x₀ που υπάρχει πάνω και κάτω, και τέλος αντικαθιστάς. Για παράδειγμα: lim⁡x→3x2−9x2−4x+3=(x−3)(x+3)(x−3)(x−1)=62=3\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4x + 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-1)} = \frac{6}{2} = 3.

Tip: Πάντα έλεγξε πρώτα αν βγαίνει απροσδιόριστη μορφή πριν ξεκινήσεις παραγοντοποίηση!

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Πράξεις με Όρια

Μόλις μάθεις αυτούς τους κανόνες πράξεων, τα όρια γίνονται παιχνιδάκι! Αρκεί να υπάρχουν τα όρια των f(x) και g(x).

Μπορείς να προσθέτεις, πολλαπλασιάζεις και διαιρείς όρια ξεχωριστά. Δηλαδή το όριο του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ορίων.

Το ίδιο ισχύει για την ρίζα και την απόλυτη τιμή. Απλά βγάζεις το όριο έξω από τη ρίζα ή την απόλυτη τιμή.

Προσοχή: Στη διαίρεση, το όριο του παρονομαστή δεν πρέπει να είναι μηδέν!

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Πλευρικά Όρια

Τα πλευρικά όρια είναι απλά - σκέψου από ποια πλευρά πλησιάζεις το σημείο! Από αριστερά (μικρότερες τιμές) ή από δεξιά (μεγαλύτερες).

Το αριστερό πλευρικό όριο γράφεται με μείον (x₀⁻) και το δεξί με συν (x₀⁺). Είναι σαν να περπατάς προς το σημείο από διαφορετικές κατευθύνσεις.

Κρίσιμο: Ένα όριο υπάρχει μόνο αν το αριστερό και δεξί πλευρικό όριο είναι ίσα! Αν είναι διαφορετικά, το όριο δεν υπάρχει.

Μυστικό επιτυχίας: Όταν έχεις απόλυτες τιμές ή κομμάτι συναρτήσεις, πάντα ελέγχεις πλευρικά όρια!

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Τριγωνομετρικά και Ειδικά Όρια

Αυτά τα θεμελιώδη τριγωνομετρικά όρια πρέπει να τα ξέρεις απέξω: lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 και lim⁡x→0cos⁡x−1x=0\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x} = 0.

Όταν έχεις απόλυτες τιμές στον παρονομαστή, προσοχή! Πρέπει να εξετάσεις τι συμβαίνει από κάθε πλευρά του σημείου.

Στις εφαρμογές, μερικές φορές δίνεται ένα όριο και πρέπει να βρεις άλλο. Θέτεις βοηθητική συνάρτηση και χρησιμοποιείς την πληροφορία που έχεις.

Hack: Τα τριγωνομετρικά όρια εμφανίζονται συχνά στις εξετάσεις, οπότε εξασκήσου πολύ!

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Κριτήριο Παρεμβολής

Το κριτήριο παρεμβολής (ή squeeze theorem) είναι σαν να έχεις μια συνάρτηση "σφηνωμένη" ανάμεσα σε δύο άλλες!

Αν έχεις g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x) κοντά στο x₀, και τα όρια των g και h είναι ίσα, τότε και το όριο της f είναι το ίδιο.

Σκέψου το έτσι: αν δύο "φρουροί" πάνε στο ίδιο σημείο, τότε και ο "κρατούμενος" στη μέση θα πάει εκεί!

Χρήσιμο tip: Χρησιμοποιείται συχνά με ημίτονο, συνημίτονο ή άλλες φραγμένες συναρτήσεις.

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Πρόσημο Ορίων

Αυτός ο κανόνας είναι πολύ λογικός! Αν το όριο μιας συνάρτησης είναι θετικό, τότε η συνάρτηση θα είναι θετική κοντά σε εκείνο το σημείο.

Το ίδιο ισχύει και για αρνητικά όρια - η συνάρτηση θα είναι αρνητική κοντά στο σημείο.

Αυτή η ιδιότητα είναι χρήσιμη όταν θέλουμε να εξετάσουμε το πρόσημο μιας συνάρτησης ή να λύσουμε ανισώσεις.

Πρακτική εφαρμογή: Αν ξέρεις ότι lim f(x) = 5, τότε η f(x) είναι θετική κοντά στο σημείο αυτό!

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μηδενική επί Φραγμένη

Ένας από τους πιο χρήσιμους κανόνες: μηδενική επί φραγμένη ισούται με μηδέν! Αν μια συνάρτηση τείνει στο 0 και μια άλλη παραμένει φραγμένη, το γινόμενό τους τείνει στο 0.

Για παράδειγμα, το lim⁡x→+∞sin⁡xx=0\lim_{x \to +∞} \frac{\sin x}{x} = 0 γιατί το sin x είναι φραγμένο −1≤sinx≤1-1 ≤ sin x ≤ 1 και το 1/x τείνει στο 0.

Χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής: −1x≤sin⁡xx≤1x-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}, και επειδή τα άκρα τείνουν στο 0, και το μεσαίο τείνει στο 0.

Στρατηγική: Όταν βλέπεις τριγωνομετρικές με x στον παρονομαστή, σκέψου "φραγμένη επί μηδενική"!

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

OPIA lim=f(x) limf(x) = 4 X-2 5 x-Xo Όριο της 1 καθώς) χ τείνει στο χο π.χ. lim (x²-4x)=22-4.2=-4 X-2 lim (ex-4x)=e°-4-0=1 メ απροσδιορ

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

49

Έξυπνα Εργαλεία ΝΕΟ

Μετέτρεψε αυτές τις σημειώσεις σε: ✓ 50+ Ερωτήσεις Εξάσκησης ✓ Διαδραστικές Κάρτες Μνήμης ✓ Πλήρη Δοκιμαστική Εξέταση ✓ Σχέδια Δοκιμίου

Δοκιμαστική Εξέταση
Κουίζ
Κάρτες Μάθησης
Δοκίμιο

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Α' Λυκ.

Άλγεβρα α λυκείου

Σημειώσεις στο κεφάλαιο «απόλυτη τιμή»

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Α' Λυκ.

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Γ' Λυκ.

άλγεβρα Τριγωνομετρία

Σημειώσεις στην άλγεβρα Β λυκείου στην τριγωνομετρία

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Β' Λυκ.

Διάταξη πραγματικών αριθμών

Μαθηματικά α λυκείου

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Α' Λυκ.

Αλγεβρα Α Λυκειου 2ο Κεφαλαιο

Σημειωσεις και αποδειξεις για το κεφαλαιο 2ο της αλγεβρας Α’ λυκείου (απολυτη τιμη πραγματικου αριθμου, ν-οστη ρίζα)

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Α' Λυκ.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

σημειώσεις με την θεωρία της γεωμετρίας για την α λυκείου

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Α' Λυκ.

Ταυτότητες μαθηματικά γ γυμνασίου

Ταυτότητες

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Γ' Γυμν.

Θεωρία Διανύσματα Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Β' Λυκ.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

Βιολογία β Λυκείου

Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία

ΒιολογίαΒιολογία
Β' Λυκ.

Βιολογία Α’ λυκείου σημειώσεις για το πρώτο κεφάλαιο

Κεφάλαιο 1ο, κύτταρα και ιστοί, όργανα και συστήματα οργάνων

ΒιολογίαΒιολογία
Α' Λυκ.

Φυσική Α’ Λυκείου

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ( ΕΟΚ) + τύπος μέσης ταχύτητας

ΦυσικήΦυσική
Α' Λυκ.

Βιολογία β´ λυκείου

σημειώσεις

ΒιολογίαΒιολογία
Β' Λυκ.

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Ορισμοί ιστόριας

ΙστορίαΙστορία
Β' Λυκ.

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ

ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ (Οικονομία)
Γ' Λυκ.

Ιστορία Ά Λυκείου: 2.1 Ομηρική Εποχή (1.100-750 π.Χ.)

Πληροφορίες για την οικονομία, την κοινωνία, την πολιτική οργάνωση και τον πολιτισμό κατά την διάρκεια της ομηρικής εποχής.

Νέα ΕλληνικάΝέα Ελληνικά
Α' Λυκ.

Ιστορία Β Λυκείου Κεφάλαια 1-3 σημειώσεις

Το έγγραφο αυτό περιέχει περιληπτική, μεν περιεκτική όλη την εξεταστέα ύλη της ιστορίας Β λυκείου για τα πρώτα 3 Κεφάλαια, δηλαδή την μισή ύλη. Το έγγραφο έχει γραφτεί με προσοχή και άριστη ταυτόσημο το βιβλίο, όμως πολύ πιο απλά στη κατανόηση!

ΙστορίαΙστορία
Β' Λυκ.

Ιστορία Α λυκείου

Ομηρική εποχή

ΙστορίαΙστορία
Α' Λυκ.

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS