Θεωρήματα Bolzano και Ενδιάμεσων Τιμών

Το θεώρημα Bolzano είναι ο καλύτερός σου φίλος όταν θέλεις να αποδείξεις ότι μια εξίσωση έχει λύση! Λέει ότι αν έχεις μια συνεχή συνάρτηση f στο κλειστό διάστημα [α,β] και τα f(α), f(β) έχουν αντίθετα πρόσημα (δηλαδή f(α)⋅f(β)<0), τότε σίγουρα υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο x₀ στο ανοιχτό διάστημα (α,β) όπου f(x₀)=0.

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης θα τεμνει οπωσδήποτε τον άξονα x τουλάχιστον μία φορά. Είναι λογικό - αν ξεκινάς από πάνω από τον άξονα και καταλήγεις κάτω (ή το ανάποδο), κάπου στη μέση πρέπει να τον περάσεις!

Το θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών είναι η γενίκευση του Bolzano και εξηγεί γιατί οι συνεχείς συναρτήσεις είναι τόσο προβλέψιμες. Αν f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α)≠f(β), τότε για οποιαδήποτε τιμή ν που βρίσκεται ανάμεσα στα f(α) και f(β), υπάρχει σίγουρα κάποιο x₀ στο (α,β) τέτοιο που f(x₀)=ν.

Προσοχή: Και στα δύο θεωρήματα η συνέχεια της συνάρτησης είναι απαραίτητη προϋπόθεση - χωρίς αυτήν δεν ισχύει τίποτα!