•

14 Ιαν 2026

•

2 σελίδες

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου: Θεωρία Θεωρημάτων Bolzano και Θ.Ε.Τ./Θ.Μ.Ε.Τ.

Έλενα Πανιά

@elenouli.ii

Τα θεωρήματα Bolzano και Ενδιάμεσων Τιμών είναι δύο από τα... Δες περισσότερα

f(a)
f(6)

Θεώρημιά

α
Xo

Bolzano

Έστω Η ορισμένη στο [α,β]

- αν Η συνεχής στο Γα,β]

- και (α)-(6)<0

Τότε η εξίσωση f(x)= Ο έχει μια
το

Θεωρήματα Bolzano και Ενδιάμεσων Τιμών

Το θεώρημα Bolzano είναι ο καλύτερός σου φίλος όταν θέλεις να αποδείξεις ότι μια εξίσωση έχει λύση! Λέει ότι αν έχεις μια συνεχή συνάρτηση f στο κλειστό διάστημα $α,β$ και τα f(α), f(β) έχουν αντίθετα πρόσημα (δηλαδή f(α)⋅f(β)<0), τότε σίγουρα υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο x₀ στο ανοιχτό διάστημα (α,β) όπου f(x₀)=0.

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης θα τεμνει οπωσδήποτε τον άξονα x τουλάχιστον μία φορά. Είναι λογικό - αν ξεκινάς από πάνω από τον άξονα και καταλήγεις κάτω (ή το ανάποδο), κάπου στη μέση πρέπει να τον περάσεις!

Το θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών είναι η γενίκευση του Bolzano και εξηγεί γιατί οι συνεχείς συναρτήσεις είναι τόσο προβλέψιμες. Αν f είναι συνεχής στο $α,β$ και f(α)≠f(β), τότε για οποιαδήποτε τιμή ν που βρίσκεται ανάμεσα στα f(α) και f(β), υπάρχει σίγουρα κάποιο x₀ στο (α,β) τέτοιο που f(x₀)=ν.

Προσοχή: Και στα δύο θεωρήματα η συνέχεια της συνάρτησης είναι απαραίτητη προϋπόθεση - χωρίς αυτήν δεν ισχύει τίποτα!

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.

Μαθηματικά

Γ' Λυκ.

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.

Μαθηματικά

Α' Λυκ.

Άλγεβρα α λυκείου

Σημειώσεις στο κεφάλαιο «απόλυτη τιμή»

Μαθηματικά

Α' Λυκ.

άλγεβρα Τριγωνομετρία

Σημειώσεις στην άλγεβρα Β λυκείου στην τριγωνομετρία

Μαθηματικά

Β' Λυκ.

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

Μαθηματικά

Γ' Λυκ.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

σημειώσεις με την θεωρία της γεωμετρίας για την α λυκείου

Μαθηματικά

Α' Λυκ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

Μαθηματικά

Β' Λυκ.

Αλγεβρα Α Λυκειου 2ο Κεφαλαιο

Σημειωσεις και αποδειξεις για το κεφαλαιο 2ο της αλγεβρας Α’ λυκείου (απολυτη τιμη πραγματικου αριθμου, ν-οστη ρίζα)

Μαθηματικά

Α' Λυκ.

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

Μαθηματικά

Β' Λυκ.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

Βιολογία β Λυκείου

Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία

Βιολογία

Β' Λυκ.

Βιολογία β´ λυκείου

σημειώσεις

Βιολογία

Β' Λυκ.

Φυσική Α’ Λυκείου

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ( ΕΟΚ) + τύπος μέσης ταχύτητας

Φυσική

Α' Λυκ.

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Ορισμοί ιστόριας

Ιστορία

Β' Λυκ.

Ιστορία Α λυκείου

Αρχαϊκή εποχή κ περσικοί πόλεμοι

Ιστορία

Α' Λυκ.

Ιστορία Α Λυκείου: Αρχαϊκή εποχή (750- 480 π.Χ.) Part 1

Πληροφορίες για την αρχαϊκή εποχή

Νέα Ελληνικά

Α' Λυκ.

Ιστορία Α λυκείου

Ομηρική εποχή

Ιστορία

Α' Λυκ.

Φυσική Α’ Λυκείου

Όλες οι κινήσεις ορισμοί και τύποι

Φυσική

Α' Λυκ.

Ιστορία Ά Λυκείου: 2.1 Ομηρική Εποχή (1.100-750 π.Χ.)

Πληροφορίες για την οικονομία, την κοινωνία, την πολιτική οργάνωση και τον πολιτισμό κατά την διάρκεια της ομηρικής εποχής.

Νέα Ελληνικά

Α' Λυκ.

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

ΤΑ ΚΟΥΙΖ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΜΝΗΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ ΧΡΗΣΙΜΑ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΥΩ ΤΟ Knowunity ΤΝ. ΕΙΝΑΙ ΚΥΡΙΟΛΕΚΤΙΚΑ ΣΑΝ ΤΟ CHATGPT ΑΛΛΑ ΠΙΟ ΕΞΥΠΝΟ!! ΜΕ ΒΟΗΘΗΣΕ ΚΑΙ ΜΕ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΑΣΚΑΡΑ ΜΟΥ!! ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ! ΞΕΚΑΘΑΡΑ 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Άννα

χρήστης iOS

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

Μαριλου

χρήστης Android

Thenia

χρήστης iOS

Μαθηματικά

•

946

•

14 Ιαν 2026

•

2 σελίδες

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου: Θεωρία Θεωρημάτων Bolzano και Θ.Ε.Τ./Θ.Μ.Ε.Τ.

Έλενα Πανιά

@elenouli.ii

Τα θεωρήματα Bolzano και Ενδιάμεσων Τιμών είναι δύο από τα πιο σημαντικά εργαλεία στη μελέτη των συνεχών συναρτήσεων. Θα σε βοηθήσουν να καταλάβεις πότε μια εξίσωση έχει λύση και πώς συμπεριφέρονται οι συνεχείς συναρτήσεις.