•

Ενημερώθηκε Mar 31, 2026

•

8 σελίδες

Γ' Λυκείου Μαθηματικά - Πρώτο Κεφάλαιο

matoupikou

@matoupikou

Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων είναι ένα από τα πιο... Δες περισσότερα

1 / 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19

ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

§1.1. Πραγματικοί Αριθμοί

Βασικά Αριθμοσύνολα

• Το σύνολο των φυσικών ΙΝ= {0,1,2,3,... }

N={1.2.3.

Ορισμός και Βασικές Αρχές

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο όλων των σημείων M(x, f(x)) στο επίπεδο. Απλά, κάθε σημείο έχει συντεταγμένες (x, y) όπου y = f(x).

Κάτι σούπερ σημαντικό: αν ένα σημείο A(1,3) ανήκει στη γραφική παράσταση, τότε f(1) = 3. Αυτό σημαίνει ότι μπορείς να "διαβάσεις" τις τιμές της συνάρτησης κατευθείαν από το γράφημα!

💡 Χρυσός κανόνας: Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση σε το πολύ ένα σημείο - αλλιώς δεν είναι συνάρτηση!

Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο των τετμημένων $x-συντεταγμένων$ όλων των σημείων της γραφικής παράστασης. Το σύνολο τιμών είναι το σύνολο των τεταγμένων $y-συντεταγμένων$ .

Συμμετρίες και Σημεία Τομής

Για να βρεις που η γραφική παράσταση τέμνει τους άξονες, έχεις δύο απλά βήματα. Σημεία τομής με άξονα x'x: λύνεις την εξίσωση f(x) = 0. Σημεία τομής με άξονα y'y: βρίσκεις το σημείο (0, f(0)), αν το 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού.

Η σχετική θέση με τον άξονα x'x εξαρτάται από το πρόσημο της f(x). Όταν f(x) > 0, η γραφική παράσταση είναι πάνω από τον άξονα x'x, ενώ όταν f(x) < 0, είναι κάτω.

💡 Tip εξετάσεων: Οι ασύμπτωτες μετατοπίζονται μαζί με τη συνάρτηση όταν κάνεις μετατοπίσεις!

Οι μετατοπίσεις είναι εύκολες: f(x) + c μετατοπίζει κατακόρυφα κατά c μονάδες, ενώ f $x + c$ μετατοπίζει οριζόντια (προσοχή στο πρόσημο!).

Άρτιες και Περιττές Συναρτήσεις

Οι άρτιες συναρτήσεις έχουν την ιδιότητα f $-x$ = f(x) και η γραφική τους παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'y. Κλασικό παράδειγμα: y = x².

Οι περιττές συναρτήσεις ικανοποιούν τη σχέση f $-x$ = -f(x) και έχουν συμμετρία ως προς την αρχή των αξόνων O(0,0). Το y = x³ είναι το πιο γνωστό παράδειγμα.

💡 Μνημονικό: Άρτια = συμμετρία ως προς y'y (κάθετος άξονας), Περιττή = συμμετρία ως προς την αρχή!

Στις βασικές πολυωνυμικές συναρτήσεις, η f(x) = ax + β δίνει ευθεία γραμμή, ενώ η f(x) = ax² παράβολη. Το πρόσημο του α καθορίζει την "κατεύθυνση" της γραφικής παράστασης.

Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις

Οι εκθετικές συναρτήσεις f(x) = aˣ έχουν χαρακτηριστικό σχήμα που εξαρτάται από τη βάση a. Όταν a > 1, η συνάρτηση είναι αύξουσα και "εκρηκτική", ενώ όταν 0 < a < 1, είναι φθίνουσα.

Οι λογαριθμικές συναρτήσεις f(x) = log_a x είναι οι "αντίστροφες" των εκθετικών. Έχουν κάθετη ασύμπτωτη στον άξονα y'y και περνούν πάντα από το σημείο (1, 0).

💡 Σημαντικό: Οι εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις είναι "καθρέφτης" η μία της άλλης ως προς την ευθεία y = x!

Αυτές οι βασικές συναρτήσεις είναι τα "δομικά στοιχεία" για πιο σύνθετες συναρτήσεις. Όσο καλύτερα τις γνωρίζεις, τόσο πιο εύκολα θα αναλύεις οποιοδήποτε γράφημα!

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.

Μαθηματικά

Γ' Λυκ.

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

Μαθηματικά

Γ' Λυκ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

Μαθηματικά

Β' Λυκ.

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.

Μαθηματικά

Α' Λυκ.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Ο δημιουργός αυτός είναι για να μάθεις να λύνεις ασκήσεις μαθηματικών που έχουν να κάνουν με το πυθαγόρειο θεώρημα. Αν διαβάσεις την θεωρία και μπορέσεις να την κατανοήσεις είμαι σίγουρη ότι θα γράψεις τέλεια στο επόμενο σου διαγώνισμα ☺️☺️.

Μαθηματικά

Β' Γυμν.

Θεωρήματα+Αποδειξεις μαθηματικά Γ λυκείου

Αυτά είναι τα πιο βασικά + ΣΟΣ θεωρήματα μαζι με τις αποδείξεις τους (σε όποιες υπάρχει απόδειξη)

Μαθηματικά

Γ' Λυκ.

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

Μαθηματικά

Β' Λυκ.

Γεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα

Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται

Μαθηματικά

Β' Λυκ.

Παραγοντοποίηση

Οδηγός παραγοντοποίησης 📘

Μαθηματικά

Γ' Γυμν.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

Ξενοφων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α’ ΛΥΚΕΙΟΥ

Ξενοφων

Αρχαία Ελληνικά

Α' Λυκ.

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ

ΑΟΘ (Οικονομία)

Γ' Λυκ.

Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2

Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)

Βιολογία

Β' Λυκ.

Κλασική εποχή

Ιστορία Α λυκείου

Ιστορία

Α' Λυκ.

Βιολογία Ά Λυκείου νευρικό σύστημα

Βιολογία Ά λυκείου νευρικό σύστημα

Βιολογία

Α' Λυκ.

Α’,Β’,Γ’ κλίση ουσιαστικών

Κλίση ουσιαστικών και παρατηρήσεις

Αρχαία Ελληνικά

Α' Λυκ.

Συντακτικό αρχαίων

Όλο το συντάκτηκο της αρχαία Ελληνικής με πλήρη ανάλυση.

Αρχαία Ελληνικά

Α' Λυκ.

ΑΟΘ Κεφάλαιο 5

ολόκληρο το κεφαλαιο 5 σε σημειωσεις

ΑΟΘ (Οικονομία)

Γ' Λυκ.

Κλασική εποχή

Κλασική εποχή: Περίληψη με σημειώσεις

Ιστορία

Α' Λυκ.

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

ΤΑ ΚΟΥΙΖ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΜΝΗΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ ΧΡΗΣΙΜΑ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΥΩ ΤΟ Knowunity ΤΝ. ΕΙΝΑΙ ΚΥΡΙΟΛΕΚΤΙΚΑ ΣΑΝ ΤΟ CHATGPT ΑΛΛΑ ΠΙΟ ΕΞΥΠΝΟ!! ΜΕ ΒΟΗΘΗΣΕ ΚΑΙ ΜΕ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΑΣΚΑΡΑ ΜΟΥ!! ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ! ΞΕΚΑΘΑΡΑ 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Άννα

χρήστης iOS

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

Μαριλου

χρήστης Android

Thenia

χρήστης iOS

Μαθηματικά

•

427

•

Ενημερώθηκε Mar 31, 2026

•

8 σελίδες

Γ' Λυκείου Μαθηματικά - Πρώτο Κεφάλαιο

matoupikou

@matoupikou

Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων είναι ένα από τα πιο χρήσιμα εργαλεία στα μαθηματικά - σκέψου την ως μια "φωτογραφία" της συνάρτησης! Μέσω αυτής μπορείς να καταλάβεις αμέσως τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης και να λύσεις πολύπλοκα προβλήματα με μια ματιά.