Knowunity AI

Περισσότερα

Καριέρες

Πρόγραμμα Δημιουργών

Άνοιξε την Εφαρμογή

Μαθήματα

ΜαθηματικάΜαθηματικά334 προβολές·Ενημερώθηκε May 30, 2026·8 σελίδες

Διανύσματα Β’ Λυκείου | Θεωρία & Τυπολογία από το Κεφάλαιο 1

user profile picture
maria@mariasal

Τα διανύσματα είναι από τις πιο χρήσιμες έννοιες στα μαθηματικά... Δες περισσότερα

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
1 / 8
1
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Βασικά Χαρακτηριστικά Διανυσμάτων

Ένα διάνυσμα είναι κάτι σαν ένα βέλος που δείχνει από ένα σημείο σε άλλο. Το γράφουμε ΑΒ→ όπου το Α είναι η αρχή και το Β το πέρας.

Κάθε διάνυσμα έχει τρία βασικά χαρακτηριστικά: διεύθυνση (η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται), φορά (που δείχνει το βέλος) και μέτρο (το μήκος του). Η κατεύθυνση προκύπτει από τη διεύθυνση συν τη φορά.

Το ωραίο με τα διανύσματα είναι ότι μπορείς να τα μετακινήσεις παράλληλα χωρίς να αλλάξουν! Αν διατηρήσεις τη φορά και το μέτρο, το διάνυσμα παραμένει το ίδιο.

Το μηδενικό διάνυσμα (Ο→ ή ΑΑ→) είναι ξεχωριστό - δεν έχει φορά αλλά μπορεί να έχει οποιαδήποτε διεύθυνση.

💡 Συμβουλή: Σκέψου τα διανύσματα σαν οδηγίες GPS - σου λένε προς τα πού και πόσο μακριά να πας!

2
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Τύποι Διανυσμάτων και Γωνίες

Ίσα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση (ομόρροπα) και το ίδιο μέτρο. Γράφουμε α→ = β→ όταν |α→| = |β→|.

Αντίθετα διανύσματα έχουν αντίθετη φορά (αντίρροπα) αλλά ίδιο μέτρο. Τότε α→ = -β→ και πάλι |α→| = |β→|.

Όταν έχεις παραλληλόγραμμο, τα απέναντι διανύσματα είναι ίσα. Αυτό σου βοηθάει να λύνεις πολλές ασκήσεις!

Η γωνία δύο διανυσμάτων μετράει πόσο "στρίβουν" το ένα από το άλλο. Αν η γωνία είναι 0°, τα διανύσματα είναι παράλληλα και ομόρροπα. Αν είναι 180°, είναι παράλληλα αλλά αντίρροπα.

💡 Για εξετάσεις: Θυμήσου ότι στο παραλληλόγραμμο, αν AB→ = α→ και AD→ = β→, τότε οι απέναντι πλευρές είναι ίσες!

3
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Πράξεις με Διανύσματα

Τα διανύσματα μπορείς να τα προσθέτεις με δύο τρόπους: τη μέθοδο του παραλληλογράμμου ή διαδοχικά (βάζοντας το ένα στη συνέχεια του άλλου).

Για αφαίρεση, θυμήσου ότι α→ - β→ = α→ + (-β→). Απλά αντιστρέφεις τη φορά του δεύτερου διανύσματος!

Στον πολλαπλασιασμό με αριθμό (k·α→), αλλάζεις το μέτρο κατά |k| φορές. Αν k > 0, η φορά μένει ίδια, αν k < 0 αντιστρέφεται.

Διανυσματική ακτίνα του σημείου Α από σταθερό σημείο Ο είναι το διάνυσμα ΟΑ→. Πολύ χρήσιμη έννοια για υπολογισμούς!

💡 Προσοχή: Όταν πολλαπλασιάζεις διάνυσμα με αρνητικό αριθμό, η φορά αλλάζει!

4
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Ιδιότητες και Ανισότητες Διανυσμάτων

Βασικός τύπος: Κάθε διάνυσμα ΑΒ→ ισούται με τη διαφορά των διανυσματικών ακτίνων: ΑΒ→ = ΟΒ→ - ΟΑ→.

Ανισότητα τριγώνου: Σε κάθε τρίγωνο, μια πλευρά είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο και μεγαλύτερη από την απόλυτη τιμή της διαφοράς τους. Δηλαδή: |α→ - β→| < γ→ < |α→| + |β→|.

Για παραλληλόγραμμα: Αρκεί να δείξεις ότι δύο απέναντι διανύσματα είναι ίσα για να αποδείξεις ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Αυτές οι ιδιότητες είναι το κλειδί για να λύνεις γεωμετρικά προβλήματα με διανύσματα!

💡 Για ασκήσεις: Η ανισότητα τριγώνου σου δίνει όρια για το μήκος άγνωστων πλευρών!

5
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Παραλληλία και Γραμμικοί Συνδιασμοί

Συνθήκη παραλληλίας: Δύο διανύσματα α→ και β→ είναι παράλληλα αν υπάρχει αριθμός λ τέτοιος ώστε α→ = λβ→.

Για να δείξεις ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να βρεις σχέση παραλληλίας μεταξύ δύο από τα διανύσματα ΑΒ→, ΒΓ→, ΑΓ→.

Γραμμικός συνδιασμός: Ένα διάνυσμα γ→ είναι γραμμικός συνδιασμός των α→, β→ αν γ→ = λα→ + μβ→ για κάποιους αριθμούς λ, μ.

Αυτές οι έννοιες είναι θεμελιώδεις για την κατανόηση της γραμμικής άλγεβρας και της γεωμετρίας!

💡 Μυστικό: Αν δύο διανύσματα είναι παράλληλα, τα αντίστοιχα συστατικά τους είναι ανάλογα!

6
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Εσωτερικό Γινόμενο

Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α→ και β→ ορίζεται ως: α→ · β→ = |α→||β→|συν(α→,β→). Προσοχή: το αποτέλεσμα είναι αριθμός, όχι διάνυσμα!

Αν έχεις συντεταγμένες α→ = (x₁, y₁) και β→ = (x₂, y₂), τότε α→ · β→ = x₁x₂ + y₁y₂. Πολύ πιο εύκολα για υπολογισμούς!

Σημαντικές ιδιότητες: α→ · β→ = β→ · α→ (επιμεταθετική), α→² = |α→|² και α→ ⊥ β→ ⟺ α→ · β→ = 0.

Η ανισότητα Cauchy-Schwarz: |α→ · β→| ≤ |α→||β→| είναι μια από τις πιο χρήσιμες ανισότητες στα μαθηματικά.

💡 Κόλπο: Για να βρεις αν δύο διανύσματα είναι κάθετα, απλά υπολόγισε το εσωτερικό γινόμενο - αν είναι 0, είναι κάθετα!

7
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Συντεταγμένες Διανυσμάτων

Βασική τυπολογία: Αν Α = (x₁, y₁) και Β = (x₂, y₂), τότε ΑΒ→ = x2−x1,y2−y1x₂ - x₁, y₂ - y₁ και |ΑΒ→| = √(x2−x1)2+(y2−y1)2(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)².

Μέσον ευθυγράμμου τμήματος: Αν Μ είναι το μέσον του ΑΒ, τότε Μ = (x1+x2)/2,(y1+y2)/2(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2. Απλά παίρνεις τον μέσο όρο των συντεταγμένων!

Πράξεις με συντεταγμένες: (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = x1+x2,y1+y2x₁+x₂, y₁+y₂ και λ(x,y) = (λx, λy).

Παραλληλία: Τα διανύσματα α→ = (x₁,y₁) και β→ = (x₂,y₂) είναι παράλληλα αν det(α→,β→) = x₁y₂ - x₂y₁ = 0.

💡 Φόρμουλα-κλειδί: Η απόσταση δύο σημείων είναι η "διανυσματική εκδοχή" του Πυθαγόρειου θεωρήματος!

8
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Συνήθη Λάθη και Προσοχές

ΠΡΟΣΟΧΗ - αυτά ΔΕΝ ισχύουν για διανύσματα! Αν αβ→ = 0→, δεν σημαίνει ότι α→ = 0→ ή β→ = 0→ (εκτός από το εσωτερικό γινόμενο).

Δεν υπάρχει "απόλυτη τιμή" γινομένου διανυσμάτων όπως |αβ→| - αυτό δεν έχει νόημα!

Αν α→² = β→², ΔΕΝ σημαίνει ότι α→ = β→. Μόνο ότι |α→| = |β→|.

Δεν ισχύει η προσεταιριστική για διανύσματα: α→(β→·γ→) ≠ (α→·β→)γ→.

Για υπολογισμό συνημιτόνου γωνίας: συν(α→,β→) = (α→·β→)/(|α→||β→|). Αυτόν τον τύπο θα τον χρησιμοποιείς συχνά!

💡 Χρυσή συμβουλή: Τα διανύσματα έχουν δικούς τους κανόνες - μην τα μπερδεύεις με τους αριθμούς!

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

9
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.

Α' Λυκ.2,86974
ΜαθηματικάΜαθηματικά

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

Β' Λυκ.1,86638
ΜαθηματικάΜαθηματικά

SOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις

Α' Λυκ.1,33437
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

Γ' Λυκ.4,988121
Μ
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα

Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.

Γ' Λυκ.4700
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.

Γ' Λυκ.3,19776
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Γεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα

Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται

Β' Λυκ.99833
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου

Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)

Β' Λυκ.1,16719
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

Β' Λυκ.1,18521

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

9
ΙστορίαΙστορία

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Ορισμοί ιστόριας

Β' Λυκ.8,315297
ΙστορίαΙστορία

Σχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου

Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου

Α' Λυκ.2,71364
ΙστορίαΙστορία

ιστορία α λυκείου κλασσική εποχή

Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.

Α' Λυκ.2,0010
ΒιολογίαΒιολογία

Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2

Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)

Β' Λυκ.3,09879
ΒιολογίαΒιολογία

Βιολογία β Λυκείου

Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία

Β' Λυκ.7,079229
ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ (Οικονομία)

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ

Γ' Λυκ.9,832322
Πληροφορική (Οικ.)Πληροφορική (Οικ.)

Πληροφορική - Όλη η θεωρία

Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου

Γ' Λυκ.1,58344
ΙστορίαΙστορία

Ιστορία Α λυκείου ΣΟΣ

ΣΟΣ για εξετάσεις

Α' Λυκ.2,14640
ΙστορίαΙστορία

Κλασική εποχή

Κλασική εποχή: Περίληψη με σημειώσεις

Α' Λυκ.1,92343

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σχρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άνναχρήστης iOS

ΜαθηματικάΜαθηματικά334 προβολές·Ενημερώθηκε May 30, 2026·8 σελίδες

Διανύσματα Β’ Λυκείου | Θεωρία & Τυπολογία από το Κεφάλαιο 1

user profile picture
maria@mariasal

Τα διανύσματα είναι από τις πιο χρήσιμες έννοιες στα μαθηματικά και τη φυσική! Φαντάσου τα σαν "βέλη" που έχουν συγκεκριμένη κατεύθυνση, φορά και μέγεθος. Μαθαίνοντας πώς να τα χειρίζεσαι, θα καταλάβεις καλύτερα από τις δυνάμεις μέχρι την κίνηση.

1
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Βασικά Χαρακτηριστικά Διανυσμάτων

Ένα διάνυσμα είναι κάτι σαν ένα βέλος που δείχνει από ένα σημείο σε άλλο. Το γράφουμε ΑΒ→ όπου το Α είναι η αρχή και το Β το πέρας.

Κάθε διάνυσμα έχει τρία βασικά χαρακτηριστικά: διεύθυνση (η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται), φορά (που δείχνει το βέλος) και μέτρο (το μήκος του). Η κατεύθυνση προκύπτει από τη διεύθυνση συν τη φορά.

Το ωραίο με τα διανύσματα είναι ότι μπορείς να τα μετακινήσεις παράλληλα χωρίς να αλλάξουν! Αν διατηρήσεις τη φορά και το μέτρο, το διάνυσμα παραμένει το ίδιο.

Το μηδενικό διάνυσμα (Ο→ ή ΑΑ→) είναι ξεχωριστό - δεν έχει φορά αλλά μπορεί να έχει οποιαδήποτε διεύθυνση.

💡 Συμβουλή: Σκέψου τα διανύσματα σαν οδηγίες GPS - σου λένε προς τα πού και πόσο μακριά να πας!

2
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Τύποι Διανυσμάτων και Γωνίες

Ίσα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση (ομόρροπα) και το ίδιο μέτρο. Γράφουμε α→ = β→ όταν |α→| = |β→|.

Αντίθετα διανύσματα έχουν αντίθετη φορά (αντίρροπα) αλλά ίδιο μέτρο. Τότε α→ = -β→ και πάλι |α→| = |β→|.

Όταν έχεις παραλληλόγραμμο, τα απέναντι διανύσματα είναι ίσα. Αυτό σου βοηθάει να λύνεις πολλές ασκήσεις!

Η γωνία δύο διανυσμάτων μετράει πόσο "στρίβουν" το ένα από το άλλο. Αν η γωνία είναι 0°, τα διανύσματα είναι παράλληλα και ομόρροπα. Αν είναι 180°, είναι παράλληλα αλλά αντίρροπα.

💡 Για εξετάσεις: Θυμήσου ότι στο παραλληλόγραμμο, αν AB→ = α→ και AD→ = β→, τότε οι απέναντι πλευρές είναι ίσες!

3
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Πράξεις με Διανύσματα

Τα διανύσματα μπορείς να τα προσθέτεις με δύο τρόπους: τη μέθοδο του παραλληλογράμμου ή διαδοχικά (βάζοντας το ένα στη συνέχεια του άλλου).

Για αφαίρεση, θυμήσου ότι α→ - β→ = α→ + (-β→). Απλά αντιστρέφεις τη φορά του δεύτερου διανύσματος!

Στον πολλαπλασιασμό με αριθμό (k·α→), αλλάζεις το μέτρο κατά |k| φορές. Αν k > 0, η φορά μένει ίδια, αν k < 0 αντιστρέφεται.

Διανυσματική ακτίνα του σημείου Α από σταθερό σημείο Ο είναι το διάνυσμα ΟΑ→. Πολύ χρήσιμη έννοια για υπολογισμούς!

💡 Προσοχή: Όταν πολλαπλασιάζεις διάνυσμα με αρνητικό αριθμό, η φορά αλλάζει!

4
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Ιδιότητες και Ανισότητες Διανυσμάτων

Βασικός τύπος: Κάθε διάνυσμα ΑΒ→ ισούται με τη διαφορά των διανυσματικών ακτίνων: ΑΒ→ = ΟΒ→ - ΟΑ→.

Ανισότητα τριγώνου: Σε κάθε τρίγωνο, μια πλευρά είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο και μεγαλύτερη από την απόλυτη τιμή της διαφοράς τους. Δηλαδή: |α→ - β→| < γ→ < |α→| + |β→|.

Για παραλληλόγραμμα: Αρκεί να δείξεις ότι δύο απέναντι διανύσματα είναι ίσα για να αποδείξεις ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Αυτές οι ιδιότητες είναι το κλειδί για να λύνεις γεωμετρικά προβλήματα με διανύσματα!

💡 Για ασκήσεις: Η ανισότητα τριγώνου σου δίνει όρια για το μήκος άγνωστων πλευρών!

5
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Παραλληλία και Γραμμικοί Συνδιασμοί

Συνθήκη παραλληλίας: Δύο διανύσματα α→ και β→ είναι παράλληλα αν υπάρχει αριθμός λ τέτοιος ώστε α→ = λβ→.

Για να δείξεις ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να βρεις σχέση παραλληλίας μεταξύ δύο από τα διανύσματα ΑΒ→, ΒΓ→, ΑΓ→.

Γραμμικός συνδιασμός: Ένα διάνυσμα γ→ είναι γραμμικός συνδιασμός των α→, β→ αν γ→ = λα→ + μβ→ για κάποιους αριθμούς λ, μ.

Αυτές οι έννοιες είναι θεμελιώδεις για την κατανόηση της γραμμικής άλγεβρας και της γεωμετρίας!

💡 Μυστικό: Αν δύο διανύσματα είναι παράλληλα, τα αντίστοιχα συστατικά τους είναι ανάλογα!

6
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Εσωτερικό Γινόμενο

Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α→ και β→ ορίζεται ως: α→ · β→ = |α→||β→|συν(α→,β→). Προσοχή: το αποτέλεσμα είναι αριθμός, όχι διάνυσμα!

Αν έχεις συντεταγμένες α→ = (x₁, y₁) και β→ = (x₂, y₂), τότε α→ · β→ = x₁x₂ + y₁y₂. Πολύ πιο εύκολα για υπολογισμούς!

Σημαντικές ιδιότητες: α→ · β→ = β→ · α→ (επιμεταθετική), α→² = |α→|² και α→ ⊥ β→ ⟺ α→ · β→ = 0.

Η ανισότητα Cauchy-Schwarz: |α→ · β→| ≤ |α→||β→| είναι μια από τις πιο χρήσιμες ανισότητες στα μαθηματικά.

💡 Κόλπο: Για να βρεις αν δύο διανύσματα είναι κάθετα, απλά υπολόγισε το εσωτερικό γινόμενο - αν είναι 0, είναι κάθετα!

7
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Συντεταγμένες Διανυσμάτων

Βασική τυπολογία: Αν Α = (x₁, y₁) και Β = (x₂, y₂), τότε ΑΒ→ = x2−x1,y2−y1x₂ - x₁, y₂ - y₁ και |ΑΒ→| = √(x2−x1)2+(y2−y1)2(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)².

Μέσον ευθυγράμμου τμήματος: Αν Μ είναι το μέσον του ΑΒ, τότε Μ = (x1+x2)/2,(y1+y2)/2(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2. Απλά παίρνεις τον μέσο όρο των συντεταγμένων!

Πράξεις με συντεταγμένες: (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = x1+x2,y1+y2x₁+x₂, y₁+y₂ και λ(x,y) = (λx, λy).

Παραλληλία: Τα διανύσματα α→ = (x₁,y₁) και β→ = (x₂,y₂) είναι παράλληλα αν det(α→,β→) = x₁y₂ - x₂y₁ = 0.

💡 Φόρμουλα-κλειδί: Η απόσταση δύο σημείων είναι η "διανυσματική εκδοχή" του Πυθαγόρειου θεωρήματος!

8
of 8
## Διανύσματα ΑΒ ή ΒΑ Α B → ΑΒ πέρας αρχή ### Χαρακτηριστικά 1. Διεύθυνση ή φορέας: η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Συνήθη Λάθη και Προσοχές

ΠΡΟΣΟΧΗ - αυτά ΔΕΝ ισχύουν για διανύσματα! Αν αβ→ = 0→, δεν σημαίνει ότι α→ = 0→ ή β→ = 0→ (εκτός από το εσωτερικό γινόμενο).

Δεν υπάρχει "απόλυτη τιμή" γινομένου διανυσμάτων όπως |αβ→| - αυτό δεν έχει νόημα!

Αν α→² = β→², ΔΕΝ σημαίνει ότι α→ = β→. Μόνο ότι |α→| = |β→|.

Δεν ισχύει η προσεταιριστική για διανύσματα: α→(β→·γ→) ≠ (α→·β→)γ→.

Για υπολογισμό συνημιτόνου γωνίας: συν(α→,β→) = (α→·β→)/(|α→||β→|). Αυτόν τον τύπο θα τον χρησιμοποιείς συχνά!

💡 Χρυσή συμβουλή: Τα διανύσματα έχουν δικούς τους κανόνες - μην τα μπερδεύεις με τους αριθμούς!

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

9
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.

Α' Λυκ.2,86974
ΜαθηματικάΜαθηματικά

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

Β' Λυκ.1,86638
ΜαθηματικάΜαθηματικά

SOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις

Α' Λυκ.1,33437
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

Γ' Λυκ.4,988121
Μ
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα

Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.

Γ' Λυκ.4700
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.

Γ' Λυκ.3,19776
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Γεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα

Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται

Β' Λυκ.99833
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου

Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)

Β' Λυκ.1,16719
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

Β' Λυκ.1,18521

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

9
ΙστορίαΙστορία

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Ορισμοί ιστόριας

Β' Λυκ.8,315297
ΙστορίαΙστορία

Σχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου

Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου

Α' Λυκ.2,71364
ΙστορίαΙστορία

ιστορία α λυκείου κλασσική εποχή

Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.

Α' Λυκ.2,0010
ΒιολογίαΒιολογία

Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2

Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)

Β' Λυκ.3,09879
ΒιολογίαΒιολογία

Βιολογία β Λυκείου

Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία

Β' Λυκ.7,079229
ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ (Οικονομία)

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ

Γ' Λυκ.9,832322
Πληροφορική (Οικ.)Πληροφορική (Οικ.)

Πληροφορική - Όλη η θεωρία

Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου

Γ' Λυκ.1,58344
ΙστορίαΙστορία

Ιστορία Α λυκείου ΣΟΣ

ΣΟΣ για εξετάσεις

Α' Λυκ.2,14640
ΙστορίαΙστορία

Κλασική εποχή

Κλασική εποχή: Περίληψη με σημειώσεις

Α' Λυκ.1,92343

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σχρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άνναχρήστης iOS