Μαθήματα
293
•
9 Δεκ 2025
•
maria
@mariasal
Τα διανύσματα είναι από τις πιο χρήσιμες έννοιες στα μαθηματικά... Δες περισσότερα
Ένα διάνυσμα είναι κάτι σαν ένα βέλος που δείχνει από ένα σημείο σε άλλο. Το γράφουμε ΑΒ→ όπου το Α είναι η αρχή και το Β το πέρας.
Κάθε διάνυσμα έχει τρία βασικά χαρακτηριστικά: διεύθυνση (η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται), φορά (που δείχνει το βέλος) και μέτρο (το μήκος του). Η κατεύθυνση προκύπτει από τη διεύθυνση συν τη φορά.
Το ωραίο με τα διανύσματα είναι ότι μπορείς να τα μετακινήσεις παράλληλα χωρίς να αλλάξουν! Αν διατηρήσεις τη φορά και το μέτρο, το διάνυσμα παραμένει το ίδιο.
Το μηδενικό διάνυσμα (Ο→ ή ΑΑ→) είναι ξεχωριστό - δεν έχει φορά αλλά μπορεί να έχει οποιαδήποτε διεύθυνση.
💡 Συμβουλή: Σκέψου τα διανύσματα σαν οδηγίες GPS - σου λένε προς τα πού και πόσο μακριά να πας!
Ίσα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση (ομόρροπα) και το ίδιο μέτρο. Γράφουμε α→ = β→ όταν |α→| = |β→|.
Αντίθετα διανύσματα έχουν αντίθετη φορά (αντίρροπα) αλλά ίδιο μέτρο. Τότε α→ = -β→ και πάλι |α→| = |β→|.
Όταν έχεις παραλληλόγραμμο, τα απέναντι διανύσματα είναι ίσα. Αυτό σου βοηθάει να λύνεις πολλές ασκήσεις!
Η γωνία δύο διανυσμάτων μετράει πόσο "στρίβουν" το ένα από το άλλο. Αν η γωνία είναι 0°, τα διανύσματα είναι παράλληλα και ομόρροπα. Αν είναι 180°, είναι παράλληλα αλλά αντίρροπα.
💡 Για εξετάσεις: Θυμήσου ότι στο παραλληλόγραμμο, αν AB→ = α→ και AD→ = β→, τότε οι απέναντι πλευρές είναι ίσες!
Τα διανύσματα μπορείς να τα προσθέτεις με δύο τρόπους: τη μέθοδο του παραλληλογράμμου ή διαδοχικά (βάζοντας το ένα στη συνέχεια του άλλου).
Για αφαίρεση, θυμήσου ότι α→ - β→ = α→ + (-β→). Απλά αντιστρέφεις τη φορά του δεύτερου διανύσματος!
Στον πολλαπλασιασμό με αριθμό (k·α→), αλλάζεις το μέτρο κατά |k| φορές. Αν k > 0, η φορά μένει ίδια, αν k < 0 αντιστρέφεται.
Διανυσματική ακτίνα του σημείου Α από σταθερό σημείο Ο είναι το διάνυσμα ΟΑ→. Πολύ χρήσιμη έννοια για υπολογισμούς!
💡 Προσοχή: Όταν πολλαπλασιάζεις διάνυσμα με αρνητικό αριθμό, η φορά αλλάζει!
Βασικός τύπος: Κάθε διάνυσμα ΑΒ→ ισούται με τη διαφορά των διανυσματικών ακτίνων: ΑΒ→ = ΟΒ→ - ΟΑ→.
Ανισότητα τριγώνου: Σε κάθε τρίγωνο, μια πλευρά είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο και μεγαλύτερη από την απόλυτη τιμή της διαφοράς τους. Δηλαδή: |α→ - β→| < γ→ < |α→| + |β→|.
Για παραλληλόγραμμα: Αρκεί να δείξεις ότι δύο απέναντι διανύσματα είναι ίσα για να αποδείξεις ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Αυτές οι ιδιότητες είναι το κλειδί για να λύνεις γεωμετρικά προβλήματα με διανύσματα!
💡 Για ασκήσεις: Η ανισότητα τριγώνου σου δίνει όρια για το μήκος άγνωστων πλευρών!
Συνθήκη παραλληλίας: Δύο διανύσματα α→ και β→ είναι παράλληλα αν υπάρχει αριθμός λ τέτοιος ώστε α→ = λβ→.
Για να δείξεις ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να βρεις σχέση παραλληλίας μεταξύ δύο από τα διανύσματα ΑΒ→, ΒΓ→, ΑΓ→.
Γραμμικός συνδιασμός: Ένα διάνυσμα γ→ είναι γραμμικός συνδιασμός των α→, β→ αν γ→ = λα→ + μβ→ για κάποιους αριθμούς λ, μ.
Αυτές οι έννοιες είναι θεμελιώδεις για την κατανόηση της γραμμικής άλγεβρας και της γεωμετρίας!
💡 Μυστικό: Αν δύο διανύσματα είναι παράλληλα, τα αντίστοιχα συστατικά τους είναι ανάλογα!
Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α→ και β→ ορίζεται ως: α→ · β→ = |α→||β→|συν(α→,β→). Προσοχή: το αποτέλεσμα είναι αριθμός, όχι διάνυσμα!
Αν έχεις συντεταγμένες α→ = (x₁, y₁) και β→ = (x₂, y₂), τότε α→ · β→ = x₁x₂ + y₁y₂. Πολύ πιο εύκολα για υπολογισμούς!
Σημαντικές ιδιότητες: α→ · β→ = β→ · α→ (επιμεταθετική), α→² = |α→|² και α→ ⊥ β→ ⟺ α→ · β→ = 0.
Η ανισότητα Cauchy-Schwarz: |α→ · β→| ≤ |α→||β→| είναι μια από τις πιο χρήσιμες ανισότητες στα μαθηματικά.
💡 Κόλπο: Για να βρεις αν δύο διανύσματα είναι κάθετα, απλά υπολόγισε το εσωτερικό γινόμενο - αν είναι 0, είναι κάθετα!
Βασική τυπολογία: Αν Α = (x₁, y₁) και Β = (x₂, y₂), τότε ΑΒ→ = και |ΑΒ→| = √.
Μέσον ευθυγράμμου τμήματος: Αν Μ είναι το μέσον του ΑΒ, τότε Μ = . Απλά παίρνεις τον μέσο όρο των συντεταγμένων!
Πράξεις με συντεταγμένες: (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = και λ(x,y) = (λx, λy).
Παραλληλία: Τα διανύσματα α→ = (x₁,y₁) και β→ = (x₂,y₂) είναι παράλληλα αν det(α→,β→) = x₁y₂ - x₂y₁ = 0.
💡 Φόρμουλα-κλειδί: Η απόσταση δύο σημείων είναι η "διανυσματική εκδοχή" του Πυθαγόρειου θεωρήματος!
ΠΡΟΣΟΧΗ - αυτά ΔΕΝ ισχύουν για διανύσματα! Αν αβ→ = 0→, δεν σημαίνει ότι α→ = 0→ ή β→ = 0→ (εκτός από το εσωτερικό γινόμενο).
Δεν υπάρχει "απόλυτη τιμή" γινομένου διανυσμάτων όπως |αβ→| - αυτό δεν έχει νόημα!
Αν α→² = β→², ΔΕΝ σημαίνει ότι α→ = β→. Μόνο ότι |α→| = |β→|.
Δεν ισχύει η προσεταιριστική για διανύσματα: α→(β→·γ→) ≠ (α→·β→)γ→.
Για υπολογισμό συνημιτόνου γωνίας: συν(α→,β→) = (α→·β→)/(|α→||β→|). Αυτόν τον τύπο θα τον χρησιμοποιείς συχνά!
💡 Χρυσή συμβουλή: Τα διανύσματα έχουν δικούς τους κανόνες - μην τα μπερδεύεις με τους αριθμούς!
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
App Store
Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
maria
@mariasal
Τα διανύσματα είναι από τις πιο χρήσιμες έννοιες στα μαθηματικά και τη φυσική! Φαντάσου τα σαν "βέλη" που έχουν συγκεκριμένη κατεύθυνση, φορά και μέγεθος. Μαθαίνοντας πώς να τα χειρίζεσαι, θα καταλάβεις καλύτερα από τις δυνάμεις μέχρι την κίνηση.
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Ένα διάνυσμα είναι κάτι σαν ένα βέλος που δείχνει από ένα σημείο σε άλλο. Το γράφουμε ΑΒ→ όπου το Α είναι η αρχή και το Β το πέρας.
Κάθε διάνυσμα έχει τρία βασικά χαρακτηριστικά: διεύθυνση (η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται), φορά (που δείχνει το βέλος) και μέτρο (το μήκος του). Η κατεύθυνση προκύπτει από τη διεύθυνση συν τη φορά.
Το ωραίο με τα διανύσματα είναι ότι μπορείς να τα μετακινήσεις παράλληλα χωρίς να αλλάξουν! Αν διατηρήσεις τη φορά και το μέτρο, το διάνυσμα παραμένει το ίδιο.
Το μηδενικό διάνυσμα (Ο→ ή ΑΑ→) είναι ξεχωριστό - δεν έχει φορά αλλά μπορεί να έχει οποιαδήποτε διεύθυνση.
💡 Συμβουλή: Σκέψου τα διανύσματα σαν οδηγίες GPS - σου λένε προς τα πού και πόσο μακριά να πας!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Ίσα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση (ομόρροπα) και το ίδιο μέτρο. Γράφουμε α→ = β→ όταν |α→| = |β→|.
Αντίθετα διανύσματα έχουν αντίθετη φορά (αντίρροπα) αλλά ίδιο μέτρο. Τότε α→ = -β→ και πάλι |α→| = |β→|.
Όταν έχεις παραλληλόγραμμο, τα απέναντι διανύσματα είναι ίσα. Αυτό σου βοηθάει να λύνεις πολλές ασκήσεις!
Η γωνία δύο διανυσμάτων μετράει πόσο "στρίβουν" το ένα από το άλλο. Αν η γωνία είναι 0°, τα διανύσματα είναι παράλληλα και ομόρροπα. Αν είναι 180°, είναι παράλληλα αλλά αντίρροπα.
💡 Για εξετάσεις: Θυμήσου ότι στο παραλληλόγραμμο, αν AB→ = α→ και AD→ = β→, τότε οι απέναντι πλευρές είναι ίσες!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Τα διανύσματα μπορείς να τα προσθέτεις με δύο τρόπους: τη μέθοδο του παραλληλογράμμου ή διαδοχικά (βάζοντας το ένα στη συνέχεια του άλλου).
Για αφαίρεση, θυμήσου ότι α→ - β→ = α→ + (-β→). Απλά αντιστρέφεις τη φορά του δεύτερου διανύσματος!
Στον πολλαπλασιασμό με αριθμό (k·α→), αλλάζεις το μέτρο κατά |k| φορές. Αν k > 0, η φορά μένει ίδια, αν k < 0 αντιστρέφεται.
Διανυσματική ακτίνα του σημείου Α από σταθερό σημείο Ο είναι το διάνυσμα ΟΑ→. Πολύ χρήσιμη έννοια για υπολογισμούς!
💡 Προσοχή: Όταν πολλαπλασιάζεις διάνυσμα με αρνητικό αριθμό, η φορά αλλάζει!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Βασικός τύπος: Κάθε διάνυσμα ΑΒ→ ισούται με τη διαφορά των διανυσματικών ακτίνων: ΑΒ→ = ΟΒ→ - ΟΑ→.
Ανισότητα τριγώνου: Σε κάθε τρίγωνο, μια πλευρά είναι μικρότερη από το άθροισμα των άλλων δύο και μεγαλύτερη από την απόλυτη τιμή της διαφοράς τους. Δηλαδή: |α→ - β→| < γ→ < |α→| + |β→|.
Για παραλληλόγραμμα: Αρκεί να δείξεις ότι δύο απέναντι διανύσματα είναι ίσα για να αποδείξεις ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Αυτές οι ιδιότητες είναι το κλειδί για να λύνεις γεωμετρικά προβλήματα με διανύσματα!
💡 Για ασκήσεις: Η ανισότητα τριγώνου σου δίνει όρια για το μήκος άγνωστων πλευρών!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Συνθήκη παραλληλίας: Δύο διανύσματα α→ και β→ είναι παράλληλα αν υπάρχει αριθμός λ τέτοιος ώστε α→ = λβ→.
Για να δείξεις ότι τρία σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να βρεις σχέση παραλληλίας μεταξύ δύο από τα διανύσματα ΑΒ→, ΒΓ→, ΑΓ→.
Γραμμικός συνδιασμός: Ένα διάνυσμα γ→ είναι γραμμικός συνδιασμός των α→, β→ αν γ→ = λα→ + μβ→ για κάποιους αριθμούς λ, μ.
Αυτές οι έννοιες είναι θεμελιώδεις για την κατανόηση της γραμμικής άλγεβρας και της γεωμετρίας!
💡 Μυστικό: Αν δύο διανύσματα είναι παράλληλα, τα αντίστοιχα συστατικά τους είναι ανάλογα!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α→ και β→ ορίζεται ως: α→ · β→ = |α→||β→|συν(α→,β→). Προσοχή: το αποτέλεσμα είναι αριθμός, όχι διάνυσμα!
Αν έχεις συντεταγμένες α→ = (x₁, y₁) και β→ = (x₂, y₂), τότε α→ · β→ = x₁x₂ + y₁y₂. Πολύ πιο εύκολα για υπολογισμούς!
Σημαντικές ιδιότητες: α→ · β→ = β→ · α→ (επιμεταθετική), α→² = |α→|² και α→ ⊥ β→ ⟺ α→ · β→ = 0.
Η ανισότητα Cauchy-Schwarz: |α→ · β→| ≤ |α→||β→| είναι μια από τις πιο χρήσιμες ανισότητες στα μαθηματικά.
💡 Κόλπο: Για να βρεις αν δύο διανύσματα είναι κάθετα, απλά υπολόγισε το εσωτερικό γινόμενο - αν είναι 0, είναι κάθετα!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Βασική τυπολογία: Αν Α = (x₁, y₁) και Β = (x₂, y₂), τότε ΑΒ→ = και |ΑΒ→| = √.
Μέσον ευθυγράμμου τμήματος: Αν Μ είναι το μέσον του ΑΒ, τότε Μ = . Απλά παίρνεις τον μέσο όρο των συντεταγμένων!
Πράξεις με συντεταγμένες: (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = και λ(x,y) = (λx, λy).
Παραλληλία: Τα διανύσματα α→ = (x₁,y₁) και β→ = (x₂,y₂) είναι παράλληλα αν det(α→,β→) = x₁y₂ - x₂y₁ = 0.
💡 Φόρμουλα-κλειδί: Η απόσταση δύο σημείων είναι η "διανυσματική εκδοχή" του Πυθαγόρειου θεωρήματος!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
ΠΡΟΣΟΧΗ - αυτά ΔΕΝ ισχύουν για διανύσματα! Αν αβ→ = 0→, δεν σημαίνει ότι α→ = 0→ ή β→ = 0→ (εκτός από το εσωτερικό γινόμενο).
Δεν υπάρχει "απόλυτη τιμή" γινομένου διανυσμάτων όπως |αβ→| - αυτό δεν έχει νόημα!
Αν α→² = β→², ΔΕΝ σημαίνει ότι α→ = β→. Μόνο ότι |α→| = |β→|.
Δεν ισχύει η προσεταιριστική για διανύσματα: α→(β→·γ→) ≠ (α→·β→)γ→.
Για υπολογισμό συνημιτόνου γωνίας: συν(α→,β→) = (α→·β→)/(|α→||β→|). Αυτόν τον τύπο θα τον χρησιμοποιείς συχνά!
💡 Χρυσή συμβουλή: Τα διανύσματα έχουν δικούς τους κανόνες - μην τα μπερδεύεις με τους αριθμούς!
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
3
Έξυπνα Εργαλεία ΝΕΟ
Μετέτρεψε αυτές τις σημειώσεις σε: ✓ 50+ Ερωτήσεις Εξάσκησης ✓ Διαδραστικές Κάρτες Μνήμης ✓ Πλήρη Δοκιμαστική Εξέταση ✓ Σχέδια Δοκιμίου
App Store
Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
Μαθηματικά
Βιολογία
ΑΟΘ (Οικονομία)
Ιστορία
Φυσική