•

18 Ιαν 2026

•

10 σελίδες

Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Εισαγωγή στο Πρώτο Κεφάλαιο

Ευθύμης

@_sn98w

Οι συναρτήσεις και τα όρια είναι από τα πιο σημαντικά... Δες περισσότερα

1 / 10

ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΚΑΤ' ΑΛΛΑ

ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

|a|=
2a; azo
L-a, aco

1. 1

ⅰ) |a|² = a² iⅱ) √at = |a|, ¡¡ⅲ) |ab|=a+b
iv) |9/6| = 21/18 V) 12-6La+ba+

Μονοτονία και Ακρότατα Συναρτήσεων

Η γνησίως αύξουσα συνάρτηση είναι αυτή που όσο προχωράς προς τα δεξιά, η γραφική της παράσταση "ανεβαίνει" συνεχώς. Μαθηματικά: αν x₁ < x₂, τότε f(x₁) < f(x₂).

Αντίθετα, η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση "κατεβαίνει" καθώς προχωράς δεξιά. Δηλαδή: αν x₁ < x₂, τότε f(x₁) > f(x₂). Αυτές οι έννοιες είναι κλειδί για να καταλάβεις πότε μια συνάρτηση έχει μέγιστα και ελάχιστα.

Τα ακρότατα είναι τα υψηλότερα και χαμηλότερα σημεία της συνάρτησης. Το ολικό μέγιστο f(x₀) σημαίνει ότι f(x) ≤ f(x₀) για όλα τα x. Το ολικό ελάχιστο είναι το αντίθετο: f(x) ≥ f(x₀).

Σημαντικό: Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (αύξουσα ή φθίνουσα), τότε είναι αυτόματα 1-1!

Αντίστροφες Συναρτήσεις και Βασικά Όρια

Η αντίστροφη συνάρτηση f⁻¹ είναι σαν να "αντιστρέφεις" τη διαδικασία της αρχικής συνάρτησης. Αν f(x) = y, τότε f⁻¹(y) = x. Οι γραφικές παραστάσεις των f και f⁻¹ είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο y = x.

Τα όρια μετρούν προς ποια τιμή "τείνει" μια συνάρτηση καθώς το x πλησιάζει κάποια τιμή x₀. Το κλειδί είναι ότι δεν μας ενδιαφέρει τι γίνεται ακριβώς στο x₀, αλλά τι συμβαίνει γύρω από αυτό το σημείο.

Μερικοί βασικοί κανόνες που πρέπει να θυμάσαι: lim(x→x₀) x = x₀ και lim(x→x₀) C = C για οποιαδήποτε σταθερά C. Επίσης, αν το όριο είναι θετικό, η συνάρτηση είναι θετική κοντά στο x₀.

Προσοχή: Το όριο μπορεί να υπάρχει ακόμα και αν η συνάρτηση δεν είναι ορισμένη στο x₀!

Πράξεις με Όρια και Κριτήριο Παρεμβολής

Τα όρια "συμπεριφέρονται καλά" με τις βασικές πράξεις. Μπορείς να προσθέτεις, να αφαιρείς, να πολλαπλασιάζεις και να διαιρείς όρια - το όριο του αθροίσματος ισούται με το άθροισma των ορίων, κ.ο.κ.

Προσοχή στη διαίρεση: το όριο του πηλίκου ισούται με το πηλίκο των ορίων μόνο αν το όριο του παρονομαστή δεν είναι μηδέν. Αλλιώς έχεις απροσδιόριστη μορφή που χρειάζεται ειδική αντιμετώπιση.

Το κριτήριο παρεμβολής είναι εργαλείο για δύσκολα όρια. Αν g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) και τα όρια των g, h στο x₀ είναι ίδια (ας πούμε l), τότε και το όριο της f είναι l. Σαν να "στριμώχνεις" τη συνάρτηση ανάμεσα σε δύο άλλες.

Χρήσιμο: Το |sin x| ≤ |x| θα σε σώσει σε πολλά προβλήματα με τριγωνομετρικά όρια!

Τριγωνομετρικά Όρια - Θεμελιώδεις Τύποι

Δύο από τα πιο σημαντικά όρια που πρέπει να ξέρεις απ' έξω: lim(x→0) (sin x)/x = 1 και lim(x→0) $cos x - 1$ /x = 0. Αυτά είναι η βάση για όλα τα τριγωνομετρικά όρια που θα συναντήσεις.

Η απόδειξη χρησιμοποιεί το κριτήριο παρεμβολής με την ανισότητα |sin x| ≤ |x|. Πρώτα αποδεικνύουμε ότι lim(x→0) sin x = 0, μετά χρησιμοποιούμε την ταυτότητα cos²x + sin²x = 1 για να βρούμε το όριο του συνημίτονου.

Η συνέχεια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων προκύπτει από αυτά τα όρια. Μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο όταν το όριό της εκεί ισούται με την τιμή της - και αυτό ισχύει για τις sin x και cos x παντού.

Προσοχή: Αυτοί οι τύποι ισχύουν μόνο όταν το x μετράται σε ακτίνια, όχι σε μοίρες!

Σύνθετες Συναρτήσεις και Άπειρα Όρια

Για τα όρια σύνθετων συναρτήσεων (fog), ακολουθείς μια απλή διαδικασία: θέτεις u = g(x), βρίσκεις το όριο u₀ = lim(x→x₀) g(x), και μετά υπολογίζεις lim(u→u₀) f(u). Προσοχή όμως - αυτή η μέθοδος δουλεύει μόνο υπό συγκεκριμένες συνθήκες!

Τα άπειρα όρια (+∞, -∞) εμφανίζονται συχνά σε κλάσματα όπου ο παρονομαστής τείνει στο μηδέν. Αν lim f(x) = +∞, τότε lim $1/f(x)$ = 0. Αντίστροφα, αν lim f(x) = 0 και f(x) > 0 κοντά στο x₀, τότε lim $1/f(x)$ = +∞.

Οι απροσδιόριστες μορφές όπως 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞ χρειάζονται ειδική προσέγγιση - δεν μπορείς να τις υπολογίσεις άμεσα με τους κανόνες των ορίων.

Βασικό: lim(x→0⁺) 1/x = +∞ αλλά lim(x→0⁻) 1/x = -∞, οπότε lim(x→0) 1/x δεν υπάρχει!

Όρια στο Άπειρο - Πολυώνυμα και Εκθετικές

Όταν το x τείνει στο +∞ ή -∞, τα πολυώνυμα συμπεριφέρονται όπως ο όρος υψηλότερου βαθμού τους. Για το P(x) = aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀, ισχύει lim(x→±∞) P(x) = lim(x→±∞) aₙxⁿ.

Για κλάσματα πολυωνύμων, συγκρίνεις τους όρους υψηλότερου βαθμού του αριθμητή και παρονομαστή. Αν έχουν τον ίδιο βαθμό, το όριο είναι ο λόγος των συντελεστών. Αν ο αριθμητής έχει μεγαλύτερο βαθμό, το όριο είναι ±∞.

Οι εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις έχουν συγκεκριμένη συμπεριφορά. Για a > 1: lim $x→+∞$ aˣ = +∞ και lim $x→-∞$ aˣ = 0. Για 0 < a < 1 η συμπεριφορά αντιστρέφεται.

Σημείωση: Οι εκθετικές "μεγαλώνουν" γρηγορότερα από οποιοδήποτε πολυώνυμο στο +∞!

Θεώρημα Bolzano - Εύρεση Ριζών

Το θεώρημα Bolzano είναι ένα από τα πιο χρήσιμα εργαλεία για να αποδείξεις ότι μια εξίσωση έχει λύση. Λέει ότι αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $a,b$ και f(a)·f(b) < 0 (δηλαδή έχουν αντίθετα πρόσημα), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο x₀ στο (a,b) όπου f(x₀) = 0.

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f "διασχίζει" τον άξονα x κάπου ανάμεσα στα a και b. Είναι λογικό: αν ξεκινάς από ένα θετικό σημείο και καταλήγεις σε αρνητικό (ή αντίστροφα) χωρίς να "πηδήξεις", πρέπει να περάσεις από το μηδέν.

Μια σημαντική συνέπεια: αν μια συνεχής συνάρτηση δεν μηδενίζεται σε ένα διάστημα, τότε διατηρεί το ίδιο πρόσημο σε όλο το διάστημα - είτε είναι πάντα θετική είτε πάντα αρνητική.

Πρακτικά: Για να βρεις αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει λύση, υπολόγισε f σε δύο σημεία και δες αν έχουν αντίθετα πρόσημα!

Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών

Το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών είναι η γενίκευση του Bolzano. Λέει ότι μια συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα $a,b$ παίρνει όλες τις τιμές ανάμεσα στα f(a) και f(b). Για οποιονδήποτε αριθμό η μεταξύ f(a) και f(b), υπάρχει x₀ στο (a,b) με f(x₀) = η.

Η απόδειξη είναι έξυπνη: μετασχηματίζουμε το πρόβλημα σε εύρεση ρίζας θεωρώντας g(x) = f(x) - η. Αν f(a) < η < f(b), τότε g(a) < 0 και g(b) > 0, οπότε εφαρμόζουμε Bolzano.

Αυτό το θεώρημα εξηγεί γιατί οι συνεχείς συναρτήσεις δεν έχουν "κενά" στις τιμές τους. Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και παίρνει τιμές 2 και 5, τότε κάπου παίρνει και την τιμή 3.14159...

Εφαρμογή: Χρησιμοποίησε το θεώρημα για να αποδείξεις ότι εξισώσεις όπως x³ + x - 1 = 0 έχουν λύση!

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Limit

Θεωρία

Θεωρία έφ όλης της ύλης γ λυκείου μαθηματικών προσανατολισμού

Μαθηματικά (Θετ.)

Γ' Λυκ.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

Β' Λυκ.

Βιολογία β´ λυκείου

σημειώσεις

Βιολογία

Β' Λυκ.

Φυσική Α’ Λυκείου

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ( ΕΟΚ) + τύπος μέσης ταχύτητας

Φυσική

Α' Λυκ.

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Ορισμοί ιστόριας

Ιστορία

Β' Λυκ.

Ιστορία Α λυκείου

Αρχαϊκή εποχή κ περσικοί πόλεμοι

Ιστορία

Α' Λυκ.

Ιστορία Α Λυκείου: Αρχαϊκή εποχή (750- 480 π.Χ.) Part 1

Πληροφορίες για την αρχαϊκή εποχή

Νέα Ελληνικά

Α' Λυκ.

Ιστορία Α λυκείου

Ομηρική εποχή

Ιστορία

Α' Λυκ.

Φυσική Α’ Λυκείου

Όλες οι κινήσεις ορισμοί και τύποι

Φυσική

Α' Λυκ.

Ιστορία Ά Λυκείου: 2.1 Ομηρική Εποχή (1.100-750 π.Χ.)

Πληροφορίες για την οικονομία, την κοινωνία, την πολιτική οργάνωση και τον πολιτισμό κατά την διάρκεια της ομηρικής εποχής.

Νέα Ελληνικά

Α' Λυκ.

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

ΤΑ ΚΟΥΙΖ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΜΝΗΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ ΧΡΗΣΙΜΑ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΥΩ ΤΟ Knowunity ΤΝ. ΕΙΝΑΙ ΚΥΡΙΟΛΕΚΤΙΚΑ ΣΑΝ ΤΟ CHATGPT ΑΛΛΑ ΠΙΟ ΕΞΥΠΝΟ!! ΜΕ ΒΟΗΘΗΣΕ ΚΑΙ ΜΕ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΑΣΚΑΡΑ ΜΟΥ!! ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ! ΞΕΚΑΘΑΡΑ 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Άννα

χρήστης iOS

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

Μαριλου

χρήστης Android

Thenia

χρήστης iOS

Μαθηματικά

•

817

•

18 Ιαν 2026

•

10 σελίδες

Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Εισαγωγή στο Πρώτο Κεφάλαιο

Ευθύμης

@_sn98w

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Έξυπνα Εργαλεία ΝΕΟ

Μετέτρεψε αυτές τις σημειώσεις σε: ✓ 50+ Ερωτήσεις Εξάσκησης ✓ Διαδραστικές Κάρτες Μνήμης ✓ Πλήρη Δοκιμαστική Εξέταση ✓ Σχέδια Δοκιμίου

Δοκιμαστική Εξέταση

Κουίζ

Κάρτες Μάθησης

Δοκίμιο

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Limit

Θεωρία

Θεωρία έφ όλης της ύλης γ λυκείου μαθηματικών προσανατολισμού

Α' Λυκ.

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

Όλες οι κινήσεις ορισμοί και τύποι

Φυσική

Α' Λυκ.

Ιστορία Ά Λυκείου: 2.1 Ομηρική Εποχή (1.100-750 π.Χ.)

Νέα Ελληνικά

Α' Λυκ.

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Άννα

χρήστης iOS

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

Μαριλου

χρήστης Android

Thenia

χρήστης iOS

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Άννα

χρήστης iOS

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

Μαριλου

χρήστης Android

Thenia

χρήστης iOS