Μαθηματικά (Θετ.)1.181 προβολές·Ενημερώθηκε 5 Αυγ 2026·29 σελίδες

Μαθηματική Θεωρία Γ' Λυκείου - Ολοκληρωμένος Οδηγός

Ευαγγελία Γιακουμιδου@_f1jff

Προσθήκη στις πηγές Google

Οι συναρτήσεις είναι ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια των...

1 / 29

of 29

Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων

Μια συνάρτηση f είναι ουσιαστικά ένας κανόνας που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο x του πεδίου ορισμού A σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό f $x$ . Φαντάσου την ως μια μηχανή που παίρνει μια είσοδο και δίνει μια έξοδο.

Το πεδίο ορισμού συμβολίζεται με Df και περιέχει όλες τις επιτρεπτές τιμές του x. Το σύνολο τιμών f(A) περιέχει όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση.

Η γραφική παράσταση Cf αποτελείται από όλα τα σημεία M(x,f $x$ ) του επιπέδου. Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο - αυτό διακρίνει τις συναρτήσεις από άλλες καμπύλες όπως ο κύκλος.

Προσοχή: Όταν δίνεται γραφικά μια συνάρτηση, το πεδίο ορισμού είναι οι τετμημένες και το σύνολο τιμών είναι οι τεταγμένες των σημείων της καμπύλης.

of 29

Γραφικές Παραστάσεις και Μετασχηματισμοί

Αν έχεις τη γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f, μπορείς εύκολα να σχεδιάσεις και άλλες συναρτήσεις. Η -f $x$ είναι συμμετρική της f ως προς τον άξονα x'x - απλά "αναποδογυρίζεις" τη γραφική παράσταση.

Η |f $x$ | κρατά τα θετικά τμήματα της Cf όπως είναι, αλλά τα αρνητικά τμήματα τα "ανεβάζει" πάνω από τον άξονα x (τα κάνει συμμετρικά ως προς τον άξονα).

Για να βρεις την τιμή f(x₀), σχεδιάζεις την κατακόρυφη ευθεία x = x₀ και βλέπεις πού τέμνει τη Cf. Η τεταγμένη του σημείου τομής είναι η ζητούμενη τιμή.

Συμβουλή: Στις εξετάσεις συχνά ζητούν να διαβάσεις στοιχεία της συνάρτησης από τη γραφική της παράσταση. Εξασκήσου σε αυτό!

of 29

Βασικές Συναρτήσεις που Πρέπει να Ξέρεις

Υπάρχουν κάποιες βασικές συναρτήσεις των οποίων τις γραφικές παραστάσεις πρέπει να ξέρεις απ' έξω. Η γραμμική f $x$ = ax + β είναι ευθεία με κλίση a.

Η παραβολή f $x$ = ax² (a≠0) ανοίγει προς τα πάνω αν a>0 και προς τα κάτω αν a<0. Η κυβική f $x$ = ax³ περνά από την αρχή των αξόνων και έχει S-σχήμα.

Η υπερβολή f $x$ = a/x (a≠0) έχει ασύμπτωτες τους άξονες x'x και y'y. Οι ριζικές συναρτήσεις √x ορίζονται για x≥0.

Σημαντικό: Αυτές οι βασικές γραφικές παραστάσεις είναι το θεμέλιο για πιο σύνθετες συναρτήσεις. Εξασκήσου στο σκίτσο τους!

of 29

Τριγωνικές και Εκθετικές Συναρτήσεις

Οι τριγωνικές συναρτήσεις ημx, συνx, εφx έχουν συγκεκριμένες περιόδους και γραφικές παραστάσεις που επαναλαμβάνονται. Το ημx και συνx κυμαίνονται μεταξύ -1 και 1, ενώ η εφx έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.

Η εκθετική συνάρτηση f $x$ = aˣ (0<a≠1) είναι πάντα θετική και περνά από το σημείο (0,1). Αν a>1, η συνάρτηση αυξάνει, αν 0<a<1 φθίνει.

Η λογαριθμική συνάρτηση f $x$ = log_a x είναι αντίστροφη της εκθετικής. Ορίζεται για x>0 και περνά από το (1,0). Οι γραφικές τους είναι συμμετρικές ως προς την y = x.

Για τις εξετάσεις: Οι τριγωνικές και εκθετικές συναρτήσεις εμφανίζονται πολύ συχνά σε ασκήσεις ορίων και παραγώγων.

of 29

Σύνθεση και Ιδιότητες Συναρτήσεων

Η σύνθεση συναρτήσεων (g∘f) $x$ = g(f $x$ ) δημιουργεί μια νέα συνάρτηση εφαρμόζοντας πρώτα την f και μετά την g. Το πεδίο ορισμού περιλαμβάνει τα x για τα οποία το f $x$ ανήκει στο πεδίο ορισμού της g.

Μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για x₁ < x₂ ισχύει f(x₁) < f(x₂). Είναι γνησίως φθίνουσα όταν για x₁ < x₂ ισχύει f(x₁) > f(x₂).

Μια συνάρτηση είναι 1-1 όταν διαφορετικές τιμές του x δίνουν διαφορετικές τιμές της f $x$ . Γραφικά, κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο.

Βασική αρχή: Μια συνάρτηση αντιστρέφεται μόνο αν είναι 1-1. Η γραφική παράσταση της αντίστροφης είναι συμμετρική ως προς την y = x.

of 29

Όρια Συναρτήσεων - Βασικές Έννοιες

Το όριο lim(x→x₀) f $x$ = ℓ εκφράζει τη συμπεριφορά της συνάρτησης όταν το x πλησιάζει το x₀. Σημαντικό: δεν μας ενδιαφέρει τι γίνεται ακριβώς στο x₀, αλλά τι γίνεται "γύρω" από αυτό.

Τα πλευρικά όρια εξετάζουν την προσέγγιση από αριστερά (x→x₀⁻) και από δεξιά (x→x₀⁺). Το όριο υπάρχει μόνο αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα.

Για τα όρια ισχύουν βασικές ιδιότητες: το όριο αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ορίων, το όριο γινομένου με το γινόμενο των ορίων (όταν υπάρχουν).

Κλειδί επιτυχίας: Μάθε τις ιδιότητες των ορίων καλά - χωρίς αυτές δε μπορείς να λύσεις καμία άσκηση!

of 29

Ιδιότητες και Θεωρήματα Ορίων

Το θεώρημα πρόσημου λέει ότι αν lim f $x$ > 0, τότε f $x$ > 0 κοντά στο x₀. Αντίστοιχα για αρνητικά όρια.

Το κριτήριο παρεμβολής είναι ισχυρό εργαλείο: αν h $x$ ≤ f $x$ ≤ g $x$ κοντά στο x₀ και lim h $x$ = lim g $x$ = ℓ, τότε και lim f $x$ = ℓ.

Για πολυωνυμικές συναρτήσεις P $x$ : lim(x→x₀) P $x$ = P(x₀). Για ρητές συναρτήσεις f $x$ = P $x$ /Q $x$ : lim f $x$ = P(x₀)/Q(x₀), εφόσον Q(x₀) ≠ 0.

Σημαντικά τριγωνομετρικά όρια: lim(x→0) $ημx/x$ = 1 και lim(x→0) $συνx-1$ /x = 0. Αυτά τα χρησιμοποιείς συνέχεια!

of 29

Υπολογισμός Ορίων - Πρακτικές Τεχνικές

Για το όριο σύνθετης συνάρτησης f(g $x$ ), θέτουμε u = g $x$ και υπολογίζουμε πρώτα u₀ = lim g $x$ , μετά lim f $u$ όταν u→u₀.

Όταν έχουμε απροσδιόριστη μορφή 0/0, συνήθως παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή για να απαλείψουμε τους κοινούς παράγοντες που δημιουργούν το πρόβλημα.

Για όρια της μορφής ∞/∞, διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με την υψηλότερη δύναμη του x που εμφανίζεται.

Χρήσιμη τεχνική: Όταν έχεις ρίζες, δοκίμασε τον συζυγή για να ξεφύγεις από απροσδιόριστες μορφές!

of 29

Άπειρα Όρια και Ιδιότητες

Τα άπειρα όρια περιγράφουν συμπεριφορές όπου η συνάρτηση "εκρήγνυται" προς +∞ ή -∞. Αν lim f $x$ = +∞, τότε f $x$ > 0 κοντά στο x₀.

Για αθροίσματα με άπειρα όρια: (+∞) + α = +∞, (-∞) + α = -∞, αλλά (+∞) + (-∞) είναι απροσδιόριστη μορφή.

Για γινόμενα: αν α > 0 και lim g $x$ = +∞, τότε lim (α·g $x$ ) = +∞. Προσοχή στις απροσδιόριστες μορφές 0·(±∞).

Προσοχή στις παγίδες: Οι μορφές 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞ είναι απροσδιόριστες και χρειάζονται ειδική αντιμετώπιση.

of 29

Όρια στο Άπειρο

Για πολυωνυμικές συναρτήσεις P $x$ = αₙxⁿ + ... + α₀: lim(x→±∞) P $x$ = lim(x→±∞) αₙxⁿ. Δηλαδή, κυριαρχεί ο όρος υψηλότερου βαθμού.

Για ρητές συναρτήσεις f $x$ = P $x$ /Q $x$ : το όριο στο άπειρο εξαρτάται από τη σχέση των βαθμών αριθμητή και παρονομαστή.

Οι εκθετικές συναρτήσεις αx με α > 1: lim $x→-∞$ αx = 0, lim $x→+∞$ αx = +∞. Για 0 < α < 1 συμβαίνει το αντίστροφο.

Στρατηγική για εξετάσεις: Στα όρια προς το άπειρο, εστίασε στους κυρίαρχους όρους και αγνόησε τους μικρότερης τάξης!

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

of 29

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων

Γραφικές Παραστάσεις και Μετασχηματισμοί

Βασικές Συναρτήσεις που Πρέπει να Ξέρεις

Τριγωνικές και Εκθετικές Συναρτήσεις

Σύνθεση και Ιδιότητες Συναρτήσεων

Όρια Συναρτήσεων - Βασικές Έννοιες

Ιδιότητες και Θεωρήματα Ορίων

Υπολογισμός Ορίων - Πρακτικές Τεχνικές

Άπειρα Όρια και Ιδιότητες

Όρια στο Άπειρο

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Παρόμοιο Περιεχόμενο

Θεωρία μαθηματικών γ' λυκείου πρώτο κεφάλαιο

Όλη η ύλη για γεωμετρία α λυκείου

Βασικές έννοιες στην τριγωνομετρία 📐📏

Μαθηματικα αλγεβρα β λυκειου

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Τυπολογικό ( Γεωμετρία Β λυκείου )

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Limit

Θεωρία μαθηματικών γ' λυκείου πρώτο κεφάλαιο

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

Γεωμετρία Β´λυκείου

Τυπολογιο μαθηματικά κατεύθυνσης

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Θεωρία Διανύσματα Β Λυκείου

Μαθηματικά Διανύσματα

Διανύσματα Β’ Λυκείου

Μαθηματικα Κατεύθυνσης β' Λύκειου: Κεφάλαιο 1.1

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Σχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου

ιστορία α λυκείου κλασσική εποχή

Βιολογία β Λυκείου

Ιστορία Α λυκείου ΣΟΣ

Φυσική Β γυμνασίου

Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Ιστορία Β Λυκείου Κεφάλαια 1-3 σημειώσεις

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Γραφικές Παραστάσεις και Μετασχηματισμοί

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Βασικές Συναρτήσεις που Πρέπει να Ξέρεις

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Τριγωνικές και Εκθετικές Συναρτήσεις

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Σύνθεση και Ιδιότητες Συναρτήσεων

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Όρια Συναρτήσεων - Βασικές Έννοιες

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Ιδιότητες και Θεωρήματα Ορίων

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Υπολογισμός Ορίων - Πρακτικές Τεχνικές

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Άπειρα Όρια και Ιδιότητες

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Όρια στο Άπειρο

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!