Knowunity AI

Περισσότερα

Καριέρες

Πρόγραμμα Δημιουργών

Άνοιξε την Εφαρμογή

Μαθήματα

Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά (Θετ.)1,143 προβολές·Ενημερώθηκε Jun 15, 2026·29 σελίδες

Μαθηματική Θεωρία Γ' Λυκείου - Ολοκληρωμένος Οδηγός

Ε
Ευαγγελία Γιακουμιδου@_f1jff

Οι συναρτήσεις είναι ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια των... Δες περισσότερα

Page 1
Page 2
Page 3
Page 4
Page 5
Page 6
Page 7
Page 8
Page 9
Page 10
Page 11
Page 12
Page 13
Page 14
Page 15
Page 16
Page 17
Page 18
Page 19
Page 20
Page 21
Page 22
Page 23
Page 24
Page 25
Page 26
Page 27
Page 28
Page 29
1 / 29
1
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων

Μια συνάρτηση f είναι ουσιαστικά ένας κανόνας που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο x του πεδίου ορισμού A σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό f(x). Φαντάσου την ως μια μηχανή που παίρνει μια είσοδο και δίνει μια έξοδο.

Το πεδίο ορισμού συμβολίζεται με Df και περιέχει όλες τις επιτρεπτές τιμές του x. Το σύνολο τιμών f(A) περιέχει όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση.

Η γραφική παράσταση Cf αποτελείται από όλα τα σημεία M(x,f(x)) του επιπέδου. Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο - αυτό διακρίνει τις συναρτήσεις από άλλες καμπύλες όπως ο κύκλος.

Προσοχή: Όταν δίνεται γραφικά μια συνάρτηση, το πεδίο ορισμού είναι οι τετμημένες και το σύνολο τιμών είναι οι τεταγμένες των σημείων της καμπύλης.

2
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Γραφικές Παραστάσεις και Μετασχηματισμοί

Αν έχεις τη γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f, μπορείς εύκολα να σχεδιάσεις και άλλες συναρτήσεις. Η -f(x) είναι συμμετρική της f ως προς τον άξονα x'x - απλά "αναποδογυρίζεις" τη γραφική παράσταση.

Η |f(x)| κρατά τα θετικά τμήματα της Cf όπως είναι, αλλά τα αρνητικά τμήματα τα "ανεβάζει" πάνω από τον άξονα x (τα κάνει συμμετρικά ως προς τον άξονα).

Για να βρεις την τιμή f(x₀), σχεδιάζεις την κατακόρυφη ευθεία x = x₀ και βλέπεις πού τέμνει τη Cf. Η τεταγμένη του σημείου τομής είναι η ζητούμενη τιμή.

Συμβουλή: Στις εξετάσεις συχνά ζητούν να διαβάσεις στοιχεία της συνάρτησης από τη γραφική της παράσταση. Εξασκήσου σε αυτό!

3
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Βασικές Συναρτήσεις που Πρέπει να Ξέρεις

Υπάρχουν κάποιες βασικές συναρτήσεις των οποίων τις γραφικές παραστάσεις πρέπει να ξέρεις απ' έξω. Η γραμμική f(x) = ax + β είναι ευθεία με κλίση a.

Η παραβολή f(x) = ax² (a≠0) ανοίγει προς τα πάνω αν a>0 και προς τα κάτω αν a<0. Η κυβική f(x) = ax³ περνά από την αρχή των αξόνων και έχει S-σχήμα.

Η υπερβολή f(x) = a/x (a≠0) έχει ασύμπτωτες τους άξονες x'x και y'y. Οι ριζικές συναρτήσεις √x ορίζονται για x≥0.

Σημαντικό: Αυτές οι βασικές γραφικές παραστάσεις είναι το θεμέλιο για πιο σύνθετες συναρτήσεις. Εξασκήσου στο σκίτσο τους!

4
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Τριγωνικές και Εκθετικές Συναρτήσεις

Οι τριγωνικές συναρτήσεις ημx, συνx, εφx έχουν συγκεκριμένες περιόδους και γραφικές παραστάσεις που επαναλαμβάνονται. Το ημx και συνx κυμαίνονται μεταξύ -1 και 1, ενώ η εφx έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.

Η εκθετική συνάρτηση f(x) = aˣ (0<a≠1) είναι πάντα θετική και περνά από το σημείο (0,1). Αν a>1, η συνάρτηση αυξάνει, αν 0<a<1 φθίνει.

Η λογαριθμική συνάρτηση f(x) = log_a x είναι αντίστροφη της εκθετικής. Ορίζεται για x>0 και περνά από το (1,0). Οι γραφικές τους είναι συμμετρικές ως προς την y = x.

Για τις εξετάσεις: Οι τριγωνικές και εκθετικές συναρτήσεις εμφανίζονται πολύ συχνά σε ασκήσεις ορίων και παραγώγων.

5
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Σύνθεση και Ιδιότητες Συναρτήσεων

Η σύνθεση συναρτήσεων (g∘f)(x) = g(f(x)) δημιουργεί μια νέα συνάρτηση εφαρμόζοντας πρώτα την f και μετά την g. Το πεδίο ορισμού περιλαμβάνει τα x για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g.

Μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για x₁ < x₂ ισχύει f(x₁) < f(x₂). Είναι γνησίως φθίνουσα όταν για x₁ < x₂ ισχύει f(x₁) > f(x₂).

Μια συνάρτηση είναι 1-1 όταν διαφορετικές τιμές του x δίνουν διαφορετικές τιμές της f(x). Γραφικά, κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο.

Βασική αρχή: Μια συνάρτηση αντιστρέφεται μόνο αν είναι 1-1. Η γραφική παράσταση της αντίστροφης είναι συμμετρική ως προς την y = x.

6
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Όρια Συναρτήσεων - Βασικές Έννοιες

Το όριο lim(x→x₀) f(x) = ℓ εκφράζει τη συμπεριφορά της συνάρτησης όταν το x πλησιάζει το x₀. Σημαντικό: δεν μας ενδιαφέρει τι γίνεται ακριβώς στο x₀, αλλά τι γίνεται "γύρω" από αυτό.

Τα πλευρικά όρια εξετάζουν την προσέγγιση από αριστερά (x→x₀⁻) και από δεξιά (x→x₀⁺). Το όριο υπάρχει μόνο αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα.

Για τα όρια ισχύουν βασικές ιδιότητες: το όριο αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ορίων, το όριο γινομένου με το γινόμενο των ορίων (όταν υπάρχουν).

Κλειδί επιτυχίας: Μάθε τις ιδιότητες των ορίων καλά - χωρίς αυτές δε μπορείς να λύσεις καμία άσκηση!

7
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Ιδιότητες και Θεωρήματα Ορίων

Το θεώρημα πρόσημου λέει ότι αν lim f(x) > 0, τότε f(x) > 0 κοντά στο x₀. Αντίστοιχα για αρνητικά όρια.

Το κριτήριο παρεμβολής είναι ισχυρό εργαλείο: αν h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) κοντά στο x₀ και lim h(x) = lim g(x) = ℓ, τότε και lim f(x) = ℓ.

Για πολυωνυμικές συναρτήσεις P(x): lim(x→x₀) P(x) = P(x₀). Για ρητές συναρτήσεις f(x) = P(x)/Q(x): lim f(x) = P(x₀)/Q(x₀), εφόσον Q(x₀) ≠ 0.

Σημαντικά τριγωνομετρικά όρια: lim(x→0) ημx/xημx/x = 1 και lim(x→0) συνx−1συνx-1/x = 0. Αυτά τα χρησιμοποιείς συνέχεια!

8
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Υπολογισμός Ορίων - Πρακτικές Τεχνικές

Για το όριο σύνθετης συνάρτησης f(g(x)), θέτουμε u = g(x) και υπολογίζουμε πρώτα u₀ = lim g(x), μετά lim f(u) όταν u→u₀.

Όταν έχουμε απροσδιόριστη μορφή 0/0, συνήθως παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή για να απαλείψουμε τους κοινούς παράγοντες που δημιουργούν το πρόβλημα.

Για όρια της μορφής ∞/∞, διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με την υψηλότερη δύναμη του x που εμφανίζεται.

Χρήσιμη τεχνική: Όταν έχεις ρίζες, δοκίμασε τον συζυγή για να ξεφύγεις από απροσδιόριστες μορφές!

9
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Άπειρα Όρια και Ιδιότητες

Τα άπειρα όρια περιγράφουν συμπεριφορές όπου η συνάρτηση "εκρήγνυται" προς +∞ ή -∞. Αν lim f(x) = +∞, τότε f(x) > 0 κοντά στο x₀.

Για αθροίσματα με άπειρα όρια: (+∞) + α = +∞, (-∞) + α = -∞, αλλά (+∞) + (-∞) είναι απροσδιόριστη μορφή.

Για γινόμενα: αν α > 0 και lim g(x) = +∞, τότε lim (α·g(x)) = +∞. Προσοχή στις απροσδιόριστες μορφές 0·(±∞).

Προσοχή στις παγίδες: Οι μορφές 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞ είναι απροσδιόριστες και χρειάζονται ειδική αντιμετώπιση.

10
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Όρια στο Άπειρο

Για πολυωνυμικές συναρτήσεις P(x) = αₙxⁿ + ... + α₀: lim(x→±∞) P(x) = lim(x→±∞) αₙxⁿ. Δηλαδή, κυριαρχεί ο όρος υψηλότερου βαθμού.

Για ρητές συναρτήσεις f(x) = P(x)/Q(x): το όριο στο άπειρο εξαρτάται από τη σχέση των βαθμών αριθμητή και παρονομαστή.

Οι εκθετικές συναρτήσεις αx με α > 1: limx→−∞x→-∞ αx = 0, limx→+∞x→+∞ αx = +∞. Για 0 < α < 1 συμβαίνει το αντίστροφο.

Στρατηγική για εξετάσεις: Στα όρια προς το άπειρο, εστίασε στους κυρίαρχους όρους και αγνόησε τους μικρότερης τάξης!

11
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
12
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
13
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
14
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
15
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
16
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
17
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
18
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
19
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
20
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
21
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
22
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
23
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
24
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
25
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
26
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
27
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
28
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση
29
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Limit

1
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Θεωρία μαθηματικών γ' λυκείου πρώτο κεφάλαιο

Σημειώσεις σχετικά με το πρώτο κεφάλαιο των μαθηματικών γ'λυκείου.

Γ' Λυκ.88514

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

9
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

Γ' Λυκ.5,000121
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.

Γ' Λυκ.3,24477
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

Β' Λυκ.1,19821
Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά (Θετ.)

Τυπολογιο μαθηματικά κατεύθυνσης

Όλοι η ύλη

Β' Λυκ.1,13233
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Γεωμετρία Β´λυκείου

Γεωμετρία Β´λυκείου όλες οι αποδείξεις και τα θεωρήματα-πορίσματα

Β' Λυκ.94217
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Θεωρία Διανύσματα Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα

Β' Λυκ.74014
Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά (Θετ.)

Μαθηματικά Διανύσματα

Μαθηματικά κατεύθυνση

Β' Λυκ.7161
Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά (Θετ.)

Διανύσματα Β’ Λυκείου

Μαζεμένη θεωρία στα διανύσματα

Β' Λυκ.4828
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Θεωρημα Bolzano/Θ.Ε.Τ./Θ.Μ.Ε.Τ.]

Σημειωσεις των θεωρημάτων.

Γ' Λυκ.1,12932

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

9
ΙστορίαΙστορία

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Ορισμοί ιστόριας

Β' Λυκ.8,519300
ΙστορίαΙστορία

Σχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου

Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου

Α' Λυκ.2,84468
ΙστορίαΙστορία

ιστορία α λυκείου κλασσική εποχή

Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.

Α' Λυκ.2,0430
ΒιολογίαΒιολογία

Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2

Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)

Β' Λυκ.3,13578
ΒιολογίαΒιολογία

Βιολογία β Λυκείου

Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία

Β' Λυκ.7,124229
ΙστορίαΙστορία

Ιστορία Α λυκείου ΣΟΣ

ΣΟΣ για εξετάσεις

Α' Λυκ.2,25842
ΦυσικήΦυσική

Φυσική Β γυμνασίου

Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4

Β' Γυμν.9,428665
ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ (Οικονομία)

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ

Γ' Λυκ.9,865322
Πληροφορική (Οικ.)Πληροφορική (Οικ.)

Πληροφορική - Όλη η θεωρία

Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου

Γ' Λυκ.1,58944

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σχρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άνναχρήστης iOS

Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά (Θετ.)1,143 προβολές·Ενημερώθηκε Jun 15, 2026·29 σελίδες

Μαθηματική Θεωρία Γ' Λυκείου - Ολοκληρωμένος Οδηγός

Ε
Ευαγγελία Γιακουμιδου@_f1jff

Οι συναρτήσεις είναι ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια των μαθηματικών προσανατολισμού που θα συναντήσεις συνέχεια στις εξετάσεις. Αυτή η θεωρία καλύπτει όλα τα βασικά που πρέπει να ξέρεις - από τις γραφικές παραστάσεις μέχρι τα όρια συναρτήσεων.

1
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Βασικές Έννοιες των Συναρτήσεων

Μια συνάρτηση f είναι ουσιαστικά ένας κανόνας που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο x του πεδίου ορισμού A σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό f(x). Φαντάσου την ως μια μηχανή που παίρνει μια είσοδο και δίνει μια έξοδο.

Το πεδίο ορισμού συμβολίζεται με Df και περιέχει όλες τις επιτρεπτές τιμές του x. Το σύνολο τιμών f(A) περιέχει όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση.

Η γραφική παράσταση Cf αποτελείται από όλα τα σημεία M(x,f(x)) του επιπέδου. Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο - αυτό διακρίνει τις συναρτήσεις από άλλες καμπύλες όπως ο κύκλος.

Προσοχή: Όταν δίνεται γραφικά μια συνάρτηση, το πεδίο ορισμού είναι οι τετμημένες και το σύνολο τιμών είναι οι τεταγμένες των σημείων της καμπύλης.

2
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Γραφικές Παραστάσεις και Μετασχηματισμοί

Αν έχεις τη γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f, μπορείς εύκολα να σχεδιάσεις και άλλες συναρτήσεις. Η -f(x) είναι συμμετρική της f ως προς τον άξονα x'x - απλά "αναποδογυρίζεις" τη γραφική παράσταση.

Η |f(x)| κρατά τα θετικά τμήματα της Cf όπως είναι, αλλά τα αρνητικά τμήματα τα "ανεβάζει" πάνω από τον άξονα x (τα κάνει συμμετρικά ως προς τον άξονα).

Για να βρεις την τιμή f(x₀), σχεδιάζεις την κατακόρυφη ευθεία x = x₀ και βλέπεις πού τέμνει τη Cf. Η τεταγμένη του σημείου τομής είναι η ζητούμενη τιμή.

Συμβουλή: Στις εξετάσεις συχνά ζητούν να διαβάσεις στοιχεία της συνάρτησης από τη γραφική της παράσταση. Εξασκήσου σε αυτό!

3
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Βασικές Συναρτήσεις που Πρέπει να Ξέρεις

Υπάρχουν κάποιες βασικές συναρτήσεις των οποίων τις γραφικές παραστάσεις πρέπει να ξέρεις απ' έξω. Η γραμμική f(x) = ax + β είναι ευθεία με κλίση a.

Η παραβολή f(x) = ax² (a≠0) ανοίγει προς τα πάνω αν a>0 και προς τα κάτω αν a<0. Η κυβική f(x) = ax³ περνά από την αρχή των αξόνων και έχει S-σχήμα.

Η υπερβολή f(x) = a/x (a≠0) έχει ασύμπτωτες τους άξονες x'x και y'y. Οι ριζικές συναρτήσεις √x ορίζονται για x≥0.

Σημαντικό: Αυτές οι βασικές γραφικές παραστάσεις είναι το θεμέλιο για πιο σύνθετες συναρτήσεις. Εξασκήσου στο σκίτσο τους!

4
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Τριγωνικές και Εκθετικές Συναρτήσεις

Οι τριγωνικές συναρτήσεις ημx, συνx, εφx έχουν συγκεκριμένες περιόδους και γραφικές παραστάσεις που επαναλαμβάνονται. Το ημx και συνx κυμαίνονται μεταξύ -1 και 1, ενώ η εφx έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.

Η εκθετική συνάρτηση f(x) = aˣ (0<a≠1) είναι πάντα θετική και περνά από το σημείο (0,1). Αν a>1, η συνάρτηση αυξάνει, αν 0<a<1 φθίνει.

Η λογαριθμική συνάρτηση f(x) = log_a x είναι αντίστροφη της εκθετικής. Ορίζεται για x>0 και περνά από το (1,0). Οι γραφικές τους είναι συμμετρικές ως προς την y = x.

Για τις εξετάσεις: Οι τριγωνικές και εκθετικές συναρτήσεις εμφανίζονται πολύ συχνά σε ασκήσεις ορίων και παραγώγων.

5
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Σύνθεση και Ιδιότητες Συναρτήσεων

Η σύνθεση συναρτήσεων (g∘f)(x) = g(f(x)) δημιουργεί μια νέα συνάρτηση εφαρμόζοντας πρώτα την f και μετά την g. Το πεδίο ορισμού περιλαμβάνει τα x για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g.

Μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για x₁ < x₂ ισχύει f(x₁) < f(x₂). Είναι γνησίως φθίνουσα όταν για x₁ < x₂ ισχύει f(x₁) > f(x₂).

Μια συνάρτηση είναι 1-1 όταν διαφορετικές τιμές του x δίνουν διαφορετικές τιμές της f(x). Γραφικά, κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο.

Βασική αρχή: Μια συνάρτηση αντιστρέφεται μόνο αν είναι 1-1. Η γραφική παράσταση της αντίστροφης είναι συμμετρική ως προς την y = x.

6
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Όρια Συναρτήσεων - Βασικές Έννοιες

Το όριο lim(x→x₀) f(x) = ℓ εκφράζει τη συμπεριφορά της συνάρτησης όταν το x πλησιάζει το x₀. Σημαντικό: δεν μας ενδιαφέρει τι γίνεται ακριβώς στο x₀, αλλά τι γίνεται "γύρω" από αυτό.

Τα πλευρικά όρια εξετάζουν την προσέγγιση από αριστερά (x→x₀⁻) και από δεξιά (x→x₀⁺). Το όριο υπάρχει μόνο αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα.

Για τα όρια ισχύουν βασικές ιδιότητες: το όριο αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ορίων, το όριο γινομένου με το γινόμενο των ορίων (όταν υπάρχουν).

Κλειδί επιτυχίας: Μάθε τις ιδιότητες των ορίων καλά - χωρίς αυτές δε μπορείς να λύσεις καμία άσκηση!

7
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Ιδιότητες και Θεωρήματα Ορίων

Το θεώρημα πρόσημου λέει ότι αν lim f(x) > 0, τότε f(x) > 0 κοντά στο x₀. Αντίστοιχα για αρνητικά όρια.

Το κριτήριο παρεμβολής είναι ισχυρό εργαλείο: αν h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) κοντά στο x₀ και lim h(x) = lim g(x) = ℓ, τότε και lim f(x) = ℓ.

Για πολυωνυμικές συναρτήσεις P(x): lim(x→x₀) P(x) = P(x₀). Για ρητές συναρτήσεις f(x) = P(x)/Q(x): lim f(x) = P(x₀)/Q(x₀), εφόσον Q(x₀) ≠ 0.

Σημαντικά τριγωνομετρικά όρια: lim(x→0) ημx/xημx/x = 1 και lim(x→0) συνx−1συνx-1/x = 0. Αυτά τα χρησιμοποιείς συνέχεια!

8
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Υπολογισμός Ορίων - Πρακτικές Τεχνικές

Για το όριο σύνθετης συνάρτησης f(g(x)), θέτουμε u = g(x) και υπολογίζουμε πρώτα u₀ = lim g(x), μετά lim f(u) όταν u→u₀.

Όταν έχουμε απροσδιόριστη μορφή 0/0, συνήθως παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή για να απαλείψουμε τους κοινούς παράγοντες που δημιουργούν το πρόβλημα.

Για όρια της μορφής ∞/∞, διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με την υψηλότερη δύναμη του x που εμφανίζεται.

Χρήσιμη τεχνική: Όταν έχεις ρίζες, δοκίμασε τον συζυγή για να ξεφύγεις από απροσδιόριστες μορφές!

9
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Άπειρα Όρια και Ιδιότητες

Τα άπειρα όρια περιγράφουν συμπεριφορές όπου η συνάρτηση "εκρήγνυται" προς +∞ ή -∞. Αν lim f(x) = +∞, τότε f(x) > 0 κοντά στο x₀.

Για αθροίσματα με άπειρα όρια: (+∞) + α = +∞, (-∞) + α = -∞, αλλά (+∞) + (-∞) είναι απροσδιόριστη μορφή.

Για γινόμενα: αν α > 0 και lim g(x) = +∞, τότε lim (α·g(x)) = +∞. Προσοχή στις απροσδιόριστες μορφές 0·(±∞).

Προσοχή στις παγίδες: Οι μορφές 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞ είναι απροσδιόριστες και χρειάζονται ειδική αντιμετώπιση.

10
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Όρια στο Άπειρο

Για πολυωνυμικές συναρτήσεις P(x) = αₙxⁿ + ... + α₀: lim(x→±∞) P(x) = lim(x→±∞) αₙxⁿ. Δηλαδή, κυριαρχεί ο όρος υψηλότερου βαθμού.

Για ρητές συναρτήσεις f(x) = P(x)/Q(x): το όριο στο άπειρο εξαρτάται από τη σχέση των βαθμών αριθμητή και παρονομαστή.

Οι εκθετικές συναρτήσεις αx με α > 1: limx→−∞x→-∞ αx = 0, limx→+∞x→+∞ αx = +∞. Για 0 < α < 1 συμβαίνει το αντίστροφο.

Στρατηγική για εξετάσεις: Στα όρια προς το άπειρο, εστίασε στους κυρίαρχους όρους και αγνόησε τους μικρότερης τάξης!

11
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
12
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
13
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
14
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
15
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
16
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
17
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
18
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
19
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
20
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
21
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
22
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
23
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
24
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
25
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
26
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
27
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
28
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
29
of 29
# Η Θεωρία στα Μαθηματικά προσανατολισμού Α. Γενικό μέρος των συναρτήσεων 1. Τι λέμε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α; Απάντηση

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Limit

1
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Θεωρία μαθηματικών γ' λυκείου πρώτο κεφάλαιο

Σημειώσεις σχετικά με το πρώτο κεφάλαιο των μαθηματικών γ'λυκείου.

Γ' Λυκ.88514

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

9
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

Γ' Λυκ.5,000121
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.

Γ' Λυκ.3,24477
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

Β' Λυκ.1,19821
Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά (Θετ.)

Τυπολογιο μαθηματικά κατεύθυνσης

Όλοι η ύλη

Β' Λυκ.1,13233
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Γεωμετρία Β´λυκείου

Γεωμετρία Β´λυκείου όλες οι αποδείξεις και τα θεωρήματα-πορίσματα

Β' Λυκ.94217
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Θεωρία Διανύσματα Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα

Β' Λυκ.74014
Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά (Θετ.)

Μαθηματικά Διανύσματα

Μαθηματικά κατεύθυνση

Β' Λυκ.7161
Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά (Θετ.)

Διανύσματα Β’ Λυκείου

Μαζεμένη θεωρία στα διανύσματα

Β' Λυκ.4828
ΜαθηματικάΜαθηματικά

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Θεωρημα Bolzano/Θ.Ε.Τ./Θ.Μ.Ε.Τ.]

Σημειωσεις των θεωρημάτων.

Γ' Λυκ.1,12932

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

9
ΙστορίαΙστορία

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Ορισμοί ιστόριας

Β' Λυκ.8,519300
ΙστορίαΙστορία

Σχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου

Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου

Α' Λυκ.2,84468
ΙστορίαΙστορία

ιστορία α λυκείου κλασσική εποχή

Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.

Α' Λυκ.2,0430
ΒιολογίαΒιολογία

Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2

Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)

Β' Λυκ.3,13578
ΒιολογίαΒιολογία

Βιολογία β Λυκείου

Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία

Β' Λυκ.7,124229
ΙστορίαΙστορία

Ιστορία Α λυκείου ΣΟΣ

ΣΟΣ για εξετάσεις

Α' Λυκ.2,25842
ΦυσικήΦυσική

Φυσική Β γυμνασίου

Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4

Β' Γυμν.9,428665
ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ (Οικονομία)

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ

Γ' Λυκ.9,865322
Πληροφορική (Οικ.)Πληροφορική (Οικ.)

Πληροφορική - Όλη η θεωρία

Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου

Γ' Λυκ.1,58944

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σχρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άνναχρήστης iOS