Μαθήματα
Μαθηματικά (Θετ.)
11 Δεκ 2025
586
29 σελίδες
Ευαγγελία Γιακουμιδου @_f1jff
Οι συναρτήσεις είναι ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια των μαθηματικών προσανατολισμού που θα συναντήσεις συνέχεια στις εξετάσεις.... Δες περισσότερα
Μια συνάρτηση f είναι ουσιαστικά ένας κανόνας που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο x του πεδίου ορισμού A σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό f(x). Φαντάσου την ως μια μηχανή που παίρνει μια είσοδο και δίνει μια έξοδο.
Το πεδίο ορισμού συμβολίζεται με Df και περιέχει όλες τις επιτρεπτές τιμές του x. Το σύνολο τιμών f(A) περιέχει όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση.
Η γραφική παράσταση Cf αποτελείται από όλα τα σημεία M(x,f(x)) του επιπέδου. Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο - αυτό διακρίνει τις συναρτήσεις από άλλες καμπύλες όπως ο κύκλος.
Προσοχή Όταν δίνεται γραφικά μια συνάρτηση, το πεδίο ορισμού είναι οι τετμημένες και το σύνολο τιμών είναι οι τεταγμένες των σημείων της καμπύλης.
Αν έχεις τη γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f, μπορείς εύκολα να σχεδιάσεις και άλλες συναρτήσεις. Η -f(x) είναι συμμετρική της f ως προς τον άξονα x'x - απλά "αναποδογυρίζεις" τη γραφική παράσταση.
Η |f(x)| κρατά τα θετικά τμήματα της Cf όπως είναι, αλλά τα αρνητικά τμήματα τα "ανεβάζει" πάνω από τον άξονα x (τα κάνει συμμετρικά ως προς τον άξονα).
Για να βρεις την τιμή f(x₀), σχεδιάζεις την κατακόρυφη ευθεία x = x₀ και βλέπεις πού τέμνει τη Cf. Η τεταγμένη του σημείου τομής είναι η ζητούμενη τιμή.
Συμβουλή Στις εξετάσεις συχνά ζητούν να διαβάσεις στοιχεία της συνάρτησης από τη γραφική της παράσταση. Εξασκήσου σε αυτό!
Υπάρχουν κάποιες βασικές συναρτήσεις των οποίων τις γραφικές παραστάσεις πρέπει να ξέρεις απ' έξω. Η γραμμική f(x) = ax + β είναι ευθεία με κλίση a.
Η παραβολή f(x) = ax² (a≠0) ανοίγει προς τα πάνω αν a>0 και προς τα κάτω αν a<0. Η κυβική f(x) = ax³ περνά από την αρχή των αξόνων και έχει S-σχήμα.
Η υπερβολή f(x) = a/x (a≠0) έχει ασύμπτωτες τους άξονες x'x και y'y. Οι ριζικές συναρτήσεις √x ορίζονται για x≥0.
Σημαντικό Αυτές οι βασικές γραφικές παραστάσεις είναι το θεμέλιο για πιο σύνθετες συναρτήσεις. Εξασκήσου στο σκίτσο τους!
Οι τριγωνικές συναρτήσεις ημx, συνx, εφx έχουν συγκεκριμένες περιόδους και γραφικές παραστάσεις που επαναλαμβάνονται. Το ημx και συνx κυμαίνονται μεταξύ -1 και 1, ενώ η εφx έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.
Η εκθετική συνάρτηση f(x) = aˣ (0<a≠1) είναι πάντα θετική και περνά από το σημείο (0,1). Αν a>1, η συνάρτηση αυξάνει, αν 0<a<1 φθίνει.
Η λογαριθμική συνάρτηση f(x) = log_a x είναι αντίστροφη της εκθετικής. Ορίζεται για x>0 και περνά από το (1,0). Οι γραφικές τους είναι συμμετρικές ως προς την y = x.
Για τις εξετάσεις Οι τριγωνικές και εκθετικές συναρτήσεις εμφανίζονται πολύ συχνά σε ασκήσεις ορίων και παραγώγων.
Η σύνθεση συναρτήσεων (g∘f)(x) = g(f(x)) δημιουργεί μια νέα συνάρτηση εφαρμόζοντας πρώτα την f και μετά την g. Το πεδίο ορισμού περιλαμβάνει τα x για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g.
Μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για x₁ < x₂ ισχύει f(x₁) < f(x₂). Είναι γνησίως φθίνουσα όταν για x₁ < x₂ ισχύει f(x₁) > f(x₂).
Μια συνάρτηση είναι 1-1 όταν διαφορετικές τιμές του x δίνουν διαφορετικές τιμές της f(x). Γραφικά, κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο.
Βασική αρχή Μια συνάρτηση αντιστρέφεται μόνο αν είναι 1-1. Η γραφική παράσταση της αντίστροφης είναι συμμετρική ως προς την y = x.
Το όριο lim(x→x₀) f(x) = ℓ εκφράζει τη συμπεριφορά της συνάρτησης όταν το x πλησιάζει το x₀. Σημαντικό δεν μας ενδιαφέρει τι γίνεται ακριβώς στο x₀, αλλά τι γίνεται "γύρω" από αυτό.
Τα πλευρικά όρια εξετάζουν την προσέγγιση από αριστερά (x→x₀⁻) και από δεξιά (x→x₀⁺). Το όριο υπάρχει μόνο αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα.
Για τα όρια ισχύουν βασικές ιδιότητες το όριο αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ορίων, το όριο γινομένου με το γινόμενο των ορίων (όταν υπάρχουν).
Κλειδί επιτυχίας Μάθε τις ιδιότητες των ορίων καλά - χωρίς αυτές δε μπορείς να λύσεις καμία άσκηση!
Το θεώρημα πρόσημου λέει ότι αν lim f(x) > 0, τότε f(x) > 0 κοντά στο x₀. Αντίστοιχα για αρνητικά όρια.
Το κριτήριο παρεμβολής είναι ισχυρό εργαλείο αν h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) κοντά στο x₀ και lim h(x) = lim g(x) = ℓ, τότε και lim f(x) = ℓ.
Για πολυωνυμικές συναρτήσεις P(x) lim(x→x₀) P(x) = P(x₀). Για ρητές συναρτήσεις f(x) = P(x)/Q(x) lim f(x) = P(x₀)/Q(x₀), εφόσον Q(x₀) ≠ 0.
Σημαντικά τριγωνομετρικά όρια lim(x→0) = 1 και lim(x→0) /x = 0. Αυτά τα χρησιμοποιείς συνέχεια!
Για το όριο σύνθετης συνάρτησης f(g(x)), θέτουμε u = g(x) και υπολογίζουμε πρώτα u₀ = lim g(x), μετά lim f(u) όταν u→u₀.
Όταν έχουμε απροσδιόριστη μορφή 0/0, συνήθως παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή για να απαλείψουμε τους κοινούς παράγοντες που δημιουργούν το πρόβλημα.
Για όρια της μορφής ∞/∞, διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με την υψηλότερη δύναμη του x που εμφανίζεται.
Χρήσιμη τεχνική Όταν έχεις ρίζες, δοκίμασε τον συζυγή για να ξεφύγεις από απροσδιόριστες μορφές!
Τα άπειρα όρια περιγράφουν συμπεριφορές όπου η συνάρτηση "εκρήγνυται" προς +∞ ή -∞. Αν lim f(x) = +∞, τότε f(x) > 0 κοντά στο x₀.
Για αθροίσματα με άπειρα όρια (+∞) + α = +∞, (-∞) + α = -∞, αλλά (+∞) + (-∞) είναι απροσδιόριστη μορφή.
Για γινόμενα αν α > 0 και lim g(x) = +∞, τότε lim (α·g(x)) = +∞. Προσοχή στις απροσδιόριστες μορφές 0·(±∞).
Προσοχή στις παγίδες Οι μορφές 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞ είναι απροσδιόριστες και χρειάζονται ειδική αντιμετώπιση.
Για πολυωνυμικές συναρτήσεις P(x) = αₙxⁿ + ... + α₀ lim(x→±∞) P(x) = lim(x→±∞) αₙxⁿ. Δηλαδή, κυριαρχεί ο όρος υψηλότερου βαθμού.
Για ρητές συναρτήσεις f(x) = P(x)/Q(x) το όριο στο άπειρο εξαρτάται από τη σχέση των βαθμών αριθμητή και παρονομαστή.
Οι εκθετικές συναρτήσεις αx με α > 1 lim αx = 0, lim αx = +∞. Για 0 < α < 1 συμβαίνει το αντίστροφο.
Στρατηγική για εξετάσεις Στα όρια προς το άπειρο, εστίασε στους κυρίαρχους όρους και αγνόησε τους μικρότερης τάξης!
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
24
Έξυπνα Εργαλεία ΝΕΟ
Μετέτρεψε αυτές τις σημειώσεις σε: ✓ 50+ Ερωτήσεις Εξάσκησης ✓ Διαδραστικές Κάρτες Μνήμης ✓ Πλήρη Δοκιμαστική Εξέταση ✓ Σχέδια Δοκιμίου
App Store
Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
Ευαγγελία Γιακουμιδου
@_f1jff
Οι συναρτήσεις είναι ένα από τα πιο σημαντικά κομμάτια των μαθηματικών προσανατολισμού που θα συναντήσεις συνέχεια στις εξετάσεις. Αυτή η θεωρία καλύπτει όλα τα βασικά που πρέπει να ξέρεις - από τις γραφικές παραστάσεις μέχρι τα όρια συναρτήσεων.
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Μια συνάρτηση f είναι ουσιαστικά ένας κανόνας που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο x του πεδίου ορισμού A σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό f(x). Φαντάσου την ως μια μηχανή που παίρνει μια είσοδο και δίνει μια έξοδο.
Το πεδίο ορισμού συμβολίζεται με Df και περιέχει όλες τις επιτρεπτές τιμές του x. Το σύνολο τιμών f(A) περιέχει όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει η συνάρτηση.
Η γραφική παράσταση Cf αποτελείται από όλα τα σημεία M(x,f(x)) του επιπέδου. Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο - αυτό διακρίνει τις συναρτήσεις από άλλες καμπύλες όπως ο κύκλος.
Προσοχή: Όταν δίνεται γραφικά μια συνάρτηση, το πεδίο ορισμού είναι οι τετμημένες και το σύνολο τιμών είναι οι τεταγμένες των σημείων της καμπύλης.
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Αν έχεις τη γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f, μπορείς εύκολα να σχεδιάσεις και άλλες συναρτήσεις. Η -f(x) είναι συμμετρική της f ως προς τον άξονα x'x - απλά "αναποδογυρίζεις" τη γραφική παράσταση.
Η |f(x)| κρατά τα θετικά τμήματα της Cf όπως είναι, αλλά τα αρνητικά τμήματα τα "ανεβάζει" πάνω από τον άξονα x (τα κάνει συμμετρικά ως προς τον άξονα).
Για να βρεις την τιμή f(x₀), σχεδιάζεις την κατακόρυφη ευθεία x = x₀ και βλέπεις πού τέμνει τη Cf. Η τεταγμένη του σημείου τομής είναι η ζητούμενη τιμή.
Συμβουλή: Στις εξετάσεις συχνά ζητούν να διαβάσεις στοιχεία της συνάρτησης από τη γραφική της παράσταση. Εξασκήσου σε αυτό!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Υπάρχουν κάποιες βασικές συναρτήσεις των οποίων τις γραφικές παραστάσεις πρέπει να ξέρεις απ' έξω. Η γραμμική f(x) = ax + β είναι ευθεία με κλίση a.
Η παραβολή f(x) = ax² (a≠0) ανοίγει προς τα πάνω αν a>0 και προς τα κάτω αν a<0. Η κυβική f(x) = ax³ περνά από την αρχή των αξόνων και έχει S-σχήμα.
Η υπερβολή f(x) = a/x (a≠0) έχει ασύμπτωτες τους άξονες x'x και y'y. Οι ριζικές συναρτήσεις √x ορίζονται για x≥0.
Σημαντικό: Αυτές οι βασικές γραφικές παραστάσεις είναι το θεμέλιο για πιο σύνθετες συναρτήσεις. Εξασκήσου στο σκίτσο τους!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Οι τριγωνικές συναρτήσεις ημx, συνx, εφx έχουν συγκεκριμένες περιόδους και γραφικές παραστάσεις που επαναλαμβάνονται. Το ημx και συνx κυμαίνονται μεταξύ -1 και 1, ενώ η εφx έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.
Η εκθετική συνάρτηση f(x) = aˣ (0<a≠1) είναι πάντα θετική και περνά από το σημείο (0,1). Αν a>1, η συνάρτηση αυξάνει, αν 0<a<1 φθίνει.
Η λογαριθμική συνάρτηση f(x) = log_a x είναι αντίστροφη της εκθετικής. Ορίζεται για x>0 και περνά από το (1,0). Οι γραφικές τους είναι συμμετρικές ως προς την y = x.
Για τις εξετάσεις: Οι τριγωνικές και εκθετικές συναρτήσεις εμφανίζονται πολύ συχνά σε ασκήσεις ορίων και παραγώγων.
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Η σύνθεση συναρτήσεων (g∘f)(x) = g(f(x)) δημιουργεί μια νέα συνάρτηση εφαρμόζοντας πρώτα την f και μετά την g. Το πεδίο ορισμού περιλαμβάνει τα x για τα οποία το f(x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g.
Μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για x₁ < x₂ ισχύει f(x₁) < f(x₂). Είναι γνησίως φθίνουσα όταν για x₁ < x₂ ισχύει f(x₁) > f(x₂).
Μια συνάρτηση είναι 1-1 όταν διαφορετικές τιμές του x δίνουν διαφορετικές τιμές της f(x). Γραφικά, κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο.
Βασική αρχή: Μια συνάρτηση αντιστρέφεται μόνο αν είναι 1-1. Η γραφική παράσταση της αντίστροφης είναι συμμετρική ως προς την y = x.
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Το όριο lim(x→x₀) f(x) = ℓ εκφράζει τη συμπεριφορά της συνάρτησης όταν το x πλησιάζει το x₀. Σημαντικό: δεν μας ενδιαφέρει τι γίνεται ακριβώς στο x₀, αλλά τι γίνεται "γύρω" από αυτό.
Τα πλευρικά όρια εξετάζουν την προσέγγιση από αριστερά (x→x₀⁻) και από δεξιά (x→x₀⁺). Το όριο υπάρχει μόνο αν τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα.
Για τα όρια ισχύουν βασικές ιδιότητες: το όριο αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των ορίων, το όριο γινομένου με το γινόμενο των ορίων (όταν υπάρχουν).
Κλειδί επιτυχίας: Μάθε τις ιδιότητες των ορίων καλά - χωρίς αυτές δε μπορείς να λύσεις καμία άσκηση!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Το θεώρημα πρόσημου λέει ότι αν lim f(x) > 0, τότε f(x) > 0 κοντά στο x₀. Αντίστοιχα για αρνητικά όρια.
Το κριτήριο παρεμβολής είναι ισχυρό εργαλείο: αν h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) κοντά στο x₀ και lim h(x) = lim g(x) = ℓ, τότε και lim f(x) = ℓ.
Για πολυωνυμικές συναρτήσεις P(x): lim(x→x₀) P(x) = P(x₀). Για ρητές συναρτήσεις f(x) = P(x)/Q(x): lim f(x) = P(x₀)/Q(x₀), εφόσον Q(x₀) ≠ 0.
Σημαντικά τριγωνομετρικά όρια: lim(x→0) = 1 και lim(x→0) /x = 0. Αυτά τα χρησιμοποιείς συνέχεια!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Για το όριο σύνθετης συνάρτησης f(g(x)), θέτουμε u = g(x) και υπολογίζουμε πρώτα u₀ = lim g(x), μετά lim f(u) όταν u→u₀.
Όταν έχουμε απροσδιόριστη μορφή 0/0, συνήθως παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή για να απαλείψουμε τους κοινούς παράγοντες που δημιουργούν το πρόβλημα.
Για όρια της μορφής ∞/∞, διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με την υψηλότερη δύναμη του x που εμφανίζεται.
Χρήσιμη τεχνική: Όταν έχεις ρίζες, δοκίμασε τον συζυγή για να ξεφύγεις από απροσδιόριστες μορφές!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Τα άπειρα όρια περιγράφουν συμπεριφορές όπου η συνάρτηση "εκρήγνυται" προς +∞ ή -∞. Αν lim f(x) = +∞, τότε f(x) > 0 κοντά στο x₀.
Για αθροίσματα με άπειρα όρια: (+∞) + α = +∞, (-∞) + α = -∞, αλλά (+∞) + (-∞) είναι απροσδιόριστη μορφή.
Για γινόμενα: αν α > 0 και lim g(x) = +∞, τότε lim (α·g(x)) = +∞. Προσοχή στις απροσδιόριστες μορφές 0·(±∞).
Προσοχή στις παγίδες: Οι μορφές 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞-∞ είναι απροσδιόριστες και χρειάζονται ειδική αντιμετώπιση.
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Για πολυωνυμικές συναρτήσεις P(x) = αₙxⁿ + ... + α₀: lim(x→±∞) P(x) = lim(x→±∞) αₙxⁿ. Δηλαδή, κυριαρχεί ο όρος υψηλότερου βαθμού.
Για ρητές συναρτήσεις f(x) = P(x)/Q(x): το όριο στο άπειρο εξαρτάται από τη σχέση των βαθμών αριθμητή και παρονομαστή.
Οι εκθετικές συναρτήσεις αx με α > 1: lim αx = 0, lim αx = +∞. Για 0 < α < 1 συμβαίνει το αντίστροφο.
Στρατηγική για εξετάσεις: Στα όρια προς το άπειρο, εστίασε στους κυρίαρχους όρους και αγνόησε τους μικρότερης τάξης!
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
Βελτίωσε τους βαθμούς σου
Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
24
Έξυπνα Εργαλεία ΝΕΟ
Μετέτρεψε αυτές τις σημειώσεις σε: ✓ 50+ Ερωτήσεις Εξάσκησης ✓ Διαδραστικές Κάρτες Μνήμης ✓ Πλήρη Δοκιμαστική Εξέταση ✓ Σχέδια Δοκιμίου
App Store
Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σ
χρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχ
χρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άννα
χρήστης iOS
Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .
Φασαια
χρήστης iOS
τέλειοοο
Λίζα Μ
χρήστης Android
Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ
Καμαρινός Γ
χρήστης iOS
Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!
Sudenaz Ocak
χρήστης Android
Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.
Greenlight Bonnie
χρήστης Android
Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ
Τζούλια Σ
χρήστης Android
με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο
Αγγο
χρήστης iOS
είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍
Μαριλου
χρήστης Android
Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ
Thenia
χρήστης iOS
Βιολογία
ΑΟΘ (Οικονομία)
Ιστορία
Φυσική