Μαθηματικά1.277Ενημερώθηκε 28 Σεπ 202621 σελίδες

Άλγεβρα - Μαθηματικά για Β Λυκείου

Αναφέρω

Veronica Photos@veronicaphotos

Θα εξετάσουμε τα βασικά θέματα των μαθηματικών που είναι κρίσιμα για τη Γ' λυκείου. Από τα γραμμικά συστήματα μέχρι τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, αυτά τα κεφάλαια θα σε βοηθήσουν να κατανοήσεις τις βασικές έννοιες που χρειάζεσαι για τις εξετάσεις.

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Γραμμικά Συστήματα και Βασικές Συναρτήσεις

Ξεκινάμε με κάτι που θα συναντάς συνέχεια: τις γραμμικές εξισώσεις. Μια γραμμική εξίσωση έχει τη μορφή ax + by = c με a ≠ 0 ή b ≠ 0. Το κλειδί είναι να θυμάσαι ότι μια τέτοια εξίσωση έχει είτε άπειρες λύσεις είτε είναι αδύνατη.

Όταν δουλεύεις με συστήματα δύο ευθειών, η κατάσταση γίνεται πιο ενδιαφέρουσα. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, το σύστημα είναι αδύνατο. Αν ταυτίζονται, έχει άπειρες λύσεις.

Για τις συναρτήσεις, χρειάζεσαι να θυμάσαι έναν απλό κανόνα: κάθε κατακόρυφη ευθεία πρέπει να τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο. Μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση σημαίνει ότι όταν το x μεγαλώνει, το f $x$ επίσης μεγαλώνει.

Συμβουλή: Για τις συναρτήσεις, σκέψου πάντα τη γραφική παράσταση - θα σε βοηθήσει να καταλάβεις τη συμπεριφορά τους!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μονοτονία και Ιδιότητες Διάταξης

Εδώ τα πράγματα γίνονται πιο συγκεκριμένα και χρήσιμα για τις ασκήσεις σου. Μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση σημαίνει το αντίθετο: όταν το x μεγαλώνει, το f $x$ μικραίνει. Αν μια συνάρτηση είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα, τη λέμε γνησίως μονότονη.

Οι ιδιότητες διάταξης είναι κανόνες που πρέπει να ακολουθείς προσεκτικά. Μπορείς να πολλαπλασιάσεις δύο ανισότητες κατά μέλη μόνο όταν όλα τα μέλη είναι θετικά. Προσοχή: δεν αφαιρούμε ποτέ ανισότητες κατά μέλη!

Για τις δυνάμεις και ρίζες, θυμήσου: αν a < b και είναι θετικά, τότε a^ν < b^ν. Για την αντιστροφή, όταν τα μέλη είναι ομόσημα, η ανισότητα αλλάζει φορά: αν a < b, τότε 1/a > 1/b.

Προσοχή: Στην αντιστροφή πάντα αλλάζει η φορά της ανισότητας!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Παραβολές και Συμμετρίες Συναρτήσεων

Η δευτεροβάθμια συνάρτηση f $x$ = ax² + bx + c είναι από τα πιο σημαντικά θέματα. Όταν a > 0, η παραβολή "χαμογελάει" και έχει ελάχιστο. Όταν a < 0, "θλίβεται" και έχει μέγιστο. Η κορυφή βρίσκεται πάντα στο σημείο x = -b/(2a).

Οι συμμετρίες είναι πιο απλές απ' ότι φαίνονται. Μια άρτια συνάρτηση έχει f $x$ = f $-x$ και είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y. Μια περιττή συνάρτηση έχει f $-x$ = -f $x$ και είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

Για να βρεις τη μονοτονία μιας συνάρτησης με απόλυτη τιμή, πρώτα γράψε τον τύπο χωρίς την απόλυτη τιμή, μετά βάλε τους κατάλληλους περιορισμούς.

Tip: Αν μια περιττή συνάρτηση περιλαμβάνει το 0, τότε πάντα f(0) = 0!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μετατοπίσεις και Βασικές Καμπύλες

Οι μετατοπίσεις είναι το κλειδί για να καταλάβεις πώς αλλάζουν οι γραφικές παραστάσεις. Για κατακόρυφη μετατόπιση, προσθέτεις ή αφαιρείς έναν αριθμό στο τέλος: f $x$ = φ $x$ + c (πάνω) ή f $x$ = φ $x$ - c (κάτω).

Για οριζόντια μετατόπιση, αλλάζεις το x μέσα στη συνάρτηση: f $x$ = φ $x - c$ (δεξιά) ή f $x$ = φ $x + c$ (αριστερά). Προσοχή στα πρόσημα - είναι αντίθετα από αυτό που περιμένεις!

Η κορυφή της παραβολής f $x$ = ax² + bx + c βρίσκεται στο σημείο K $-b/(2a), -Δ/(4a)$ . Ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία x = -b/(2a).

Μυστικό: Για τις μετατοπίσεις, σκέψου "αντίθετα" - το +c στο x σημαίνει μετακίνηση αριστερά!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Βασικές Γραφικές Παραστάσεις

Εδώ έχεις τις βασικές συναρτήσεις που πρέπει να αναγνωρίζεις αμέσως. Η f $x$ = αx + β είναι μια ευθεία με κλίση α (όταν α > 0 ανεβαίνει). Η f $x$ = α είναι μια οριζόντια ευθεία.

Οι f $x$ = x και f $x$ = -x είναι διχοτόμες - η πρώτη ανεβαίνει, η δεύτερη κατεβαίνει. Αυτές είναι οι βάσεις που θα χρησιμοποιείς για να κατανοήσεις πιο πολύπλοκες συναρτήσεις.

Κάθε μια από αυτές έχει τη δική της χαρακτηριστική μορφή και ιδιότητες που θα σε βοηθήσουν να αναγνωρίζεις παραλλαγές τους.

Βάση: Αν κατανοήσεις καλά αυτές τις βασικές μορφές, όλες οι άλλες θα είναι παραλλαγές τους!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Τετραγωνικές και Άλλες Βασικές Καμπύλες

Η παραβολή f $x$ = ax² είναι η πιο σημαντική καμπύλη που θα συναντήσεις. Όταν a > 0, ανοίγει προς τα πάνω, όταν a < 0 προς τα κάτω. Η πλήρης μορφή f $x$ = ax² + βx + γ είναι απλώς μετατοπισμένη παραβολή.

Η συνάρτηση της ρίζας f $x$ = √x έχει πεδίο ορισμού [0, +∞) και είναι πάντα αύξουσα. Ξεκινάει από την αρχή των αξόνων και ανεβαίνει σταδιακά.

Αυτές οι βασικές μορφές είναι τα "δομικά στοιχεία" που θα χρησιμοποιείς για να κατανοήσεις πιο σύνθετες συναρτήσεις στη συνέχεια.

Οπτικό trick: Σκιτσάρισε πάντα μια περίπου γραφική παράσταση - θα σε βοηθήσει να καταλάβεις τη συμπεριφορά!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Υπερβολή και Κυβική Συνάρτηση

Η υπερβολή f $x$ = α/x (α ≠ 0) είναι μια από τις πιο χαρακτηριστικές καμπύλες. Έχει δύο κλάδους και δεν ορίζεται στο x = 0. Όταν α > 0, οι κλάδοι βρίσκονται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.

Η κυβική συνάρτηση f $x$ = αx³ περνάει πάντα από την αρχή των αξόνων και έχει χαρακτηριστική "S" μορφή. Όταν α > 0, ξεκινάει από κάτω αριστερά και πηγαίνει επάνω δεξιά.

Αυτές οι συναρτήσεις έχουν ειδικές ιδιότητες που τις κάνουν χρήσιμες σε διάφορα προβλήματα. Η υπερβολή είναι περιττή συνάρτηση, όπως και η κυβική.

Θυμήσου: Η υπερβολή ποτέ δεν αγγίζει τους άξονες - πλησιάζει αλλά δεν φτάνει!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί και Βασικές Γωνίες

Εδώ μπαίνουμε στον κόσμο της τριγωνομετρίας! Το μήκος τόξου δίνεται από S = αq, όπου α είναι η ακτίνα και q η επίκεντρη γωνία σε ακτίνια. Η βασική σχέση είναι: 180° = π ακτίνια.

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των βασικών γωνιών είναι κάτι που πρέπει να ξέρεις απέξω. Για 30° $π/6$ : ημ = 1/2, συν = √3/2. Για 45° $π/4$ : ημ = συν = √2/2. Για 60° $π/3$ : ημ = √3/2, συν = 1/2.

Στον τριγωνομετρικό κύκλο, κάθε τεταρτημόριο έχει διαφορετικά πρόσημα. Θυμήσου το "ΟΗΕΣ": Ο (1ο) όλοι θετικοί, Η (2ο) μόνο ημίτονο θετικό, Ε (3ο) μόνο εφαπτομένη θετική, Σ (4ο) μόνο συνημίτονο θετικό.

Tip: Φτιάξε ένα μικρό σχήμα με τις βασικές γωνίες - θα σε σώσει στις εξετάσεις!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Τριγωνομετρικές Ταυτότητες και Αναγωγή

Η θεμελιώδης ταυτότητα ημ²ω + συν²ω = 1 είναι η βάση όλων των υπολοίπων. Από εκεί προκύπτουν και οι άλλες: εφω = ημω/συνω και συν²ω = 1/ $1 + εφ²ω$ .

Η αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο σου επιτρέπει να λύνεις οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση. Βασικοί κανόνες: ημ $-ω$ = -ημω, συν $-ω$ = συνω, ημ $180° - ω$ = ημω, συν $180° - ω$ = -συνω.

Για το 90° $π/2$ : ημ $90° - ω$ = συνω και συν $90° - ω$ = ημω. Αυτό σημαίνει ότι το ημίτονο και συνημίτονο "ανταλλάσσουν" ρόλους.

Στρατηγική: Μάθε πρώτα τις βασικές ταυτότητες και μετά τις παραλλαγές τους!

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου – σελίδα 10

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

Η συνάρτηση του ημιτόνου f $x$ = ημx είναι περιοδική με περίοδο 2π και έχει πεδίο τιμών $-1,1$ . Είναι περιττή συνάρτηση, άρα συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

Η μονοτονία της ημx: αύξουσα στο $0, π/2$ , φθίνουσα στο $π/2, π$ , αύξουσα στο $π, 3π/2$ , φθίνουσα στο $3π/2, 2π$ . Αυτό το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 2π.

Τα ακρότατα είναι: μέγιστο 1 στο π/2 (και κάθε π/2 + 2πn), ελάχιστο -1 στο 3π/2 (και κάθε 3π/2 + 2πn). Η γραφική παράσταση είναι η χαρακτηριστική "ημιτονοειδής καμπύλη".

Κλειδί: Η περιοδικότητα σημαίνει ότι αν καταλάβεις ένα διάστημα [0, 2π], ξέρεις όλη τη συνάρτηση!

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου – σελίδα 11

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου – σελίδα 12

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου – σελίδα 13

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου – σελίδα 14

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου – σελίδα 15

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου – σελίδα 16

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου – σελίδα 17

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου – σελίδα 18

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου – σελίδα 19

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου – σελίδα 20

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου – σελίδα 21

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Άλγεβρα - Μαθηματικά για Β Λυκείου

Γραμμικά Συστήματα και Βασικές Συναρτήσεις

Μονοτονία και Ιδιότητες Διάταξης

Παραβολές και Συμμετρίες Συναρτήσεων

Μετατοπίσεις και Βασικές Καμπύλες

Βασικές Γραφικές Παραστάσεις

Τετραγωνικές και Άλλες Βασικές Καμπύλες

Υπερβολή και Κυβική Συνάρτηση

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί και Βασικές Γωνίες

Τριγωνομετρικές Ταυτότητες και Αναγωγή

Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Παρόμοιο Περιεχόμενο

Θεωρια Μαθηματικων Γ λυκειου/Οριο-συνεχεια συναρτησης

Τυπολογικό ( Γεωμετρία Β λυκείου )

Μαθηματικα αλγεβρα β λυκειου

Μαθηματικά Γ λυκείου

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Όλη η ύλη για γεωμετρία α λυκείου

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Continuous Function

Θεωρια Μαθηματικων Γ λυκειου/Οριο-συνεχεια συναρτησης

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Μαθηματικά

Θεωρία Διανύσματα Β Λυκείου

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Μαθηματικά Γ λυκείου

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ Β λυκείου όλη η ύλη

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

ΆΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΊΟΥ ΓΕΝΙΚΉΣ ΠΑΙΔΕΊΑΣ

Γ λυκείου Μαθηματικά 1ο Κεφάλαιο

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

Εισαγωγή λατινικά

Εισαγωγή Θουκυδιδης

Κρούσεις

Εισαγωγή λατινικών

Γραμματική Αρχαίων (Όλα τα γραμματικά φαινόμενα)

ΠΛΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΧΑΙΑ ΚΑΤ.

Εισαγωγή θουκυδιδη

Φάκελος Υλικού

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά, και το ίδιο θα είχες κι εσύ.