Θα εξετάσουμε τα βασικά θέματα των μαθηματικών που είναι κρίσιμα... Δες περισσότερα
Μαθηματικά1,183 προβολές·Ενημερώθηκε Jun 10, 2026·21 σελίδεςΆλγεβρα - Μαθηματικά για Β Λυκείου
V
Veronica Photos@veronicaphotos
1 / 21
1
of 21
Γραμμικά Συστήματα και Βασικές Συναρτήσεις
Ξεκινάμε με κάτι που θα συναντάς συνέχεια: τις γραμμικές εξισώσεις. Μια γραμμική εξίσωση έχει τη μορφή ax + by = c με a ≠ 0 ή b ≠ 0. Το κλειδί είναι να θυμάσαι ότι μια τέτοια εξίσωση έχει είτε άπειρες λύσεις είτε είναι αδύνατη.
Όταν δουλεύεις με συστήματα δύο ευθειών, η κατάσταση γίνεται πιο ενδιαφέρουσα. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, το σύστημα είναι αδύνατο. Αν ταυτίζονται, έχει άπειρες λύσεις.
Για τις συναρτήσεις, χρειάζεσαι να θυμάσαι έναν απλό κανόνα: κάθε κατακόρυφη ευθεία πρέπει να τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο. Μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση σημαίνει ότι όταν το x μεγαλώνει, το f(x) επίσης μεγαλώνει.
Συμβουλή: Για τις συναρτήσεις, σκέψου πάντα τη γραφική παράσταση - θα σε βοηθήσει να καταλάβεις τη συμπεριφορά τους!
2
of 21
Μονοτονία και Ιδιότητες Διάταξης
Εδώ τα πράγματα γίνονται πιο συγκεκριμένα και χρήσιμα για τις ασκήσεις σου. Μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση σημαίνει το αντίθετο: όταν το x μεγαλώνει, το f(x) μικραίνει. Αν μια συνάρτηση είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα, τη λέμε γνησίως μονότονη.
Οι ιδιότητες διάταξης είναι κανόνες που πρέπει να ακολουθείς προσεκτικά. Μπορείς να πολλαπλασιάσεις δύο ανισότητες κατά μέλη μόνο όταν όλα τα μέλη είναι θετικά. Προσοχή: δεν αφαιρούμε ποτέ ανισότητες κατά μέλη!
Για τις δυνάμεις και ρίζες, θυμήσου: αν a < b και είναι θετικά, τότε a^ν < b^ν. Για την αντιστροφή, όταν τα μέλη είναι ομόσημα, η ανισότητα αλλάζει φορά: αν a < b, τότε 1/a > 1/b.
Προσοχή: Στην αντιστροφή πάντα αλλάζει η φορά της ανισότητας!
3
of 21
Παραβολές και Συμμετρίες Συναρτήσεων
Η δευτεροβάθμια συνάρτηση f(x) = ax² + bx + c είναι από τα πιο σημαντικά θέματα. Όταν a > 0, η παραβολή "χαμογελάει" και έχει ελάχιστο. Όταν a < 0, "θλίβεται" και έχει μέγιστο. Η κορυφή βρίσκεται πάντα στο σημείο x = -b/(2a).
Οι συμμετρίες είναι πιο απλές απ' ότι φαίνονται. Μια άρτια συνάρτηση έχει f(x) = f και είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y. Μια περιττή συνάρτηση έχει f = -f(x) και είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.
Για να βρεις τη μονοτονία μιας συνάρτησης με απόλυτη τιμή, πρώτα γράψε τον τύπο χωρίς την απόλυτη τιμή, μετά βάλε τους κατάλληλους περιορισμούς.
Tip: Αν μια περιττή συνάρτηση περιλαμβάνει το 0, τότε πάντα f(0) = 0!
4
of 21
Μετατοπίσεις και Βασικές Καμπύλες
Οι μετατοπίσεις είναι το κλειδί για να καταλάβεις πώς αλλάζουν οι γραφικές παραστάσεις. Για κατακόρυφη μετατόπιση, προσθέτεις ή αφαιρείς έναν αριθμό στο τέλος: f(x) = φ(x) + c (πάνω) ή f(x) = φ(x) - c (κάτω).
Για οριζόντια μετατόπιση, αλλάζεις το x μέσα στη συνάρτηση: f(x) = φ (δεξιά) ή f(x) = φ (αριστερά). Προσοχή στα πρόσημα - είναι αντίθετα από αυτό που περιμένεις!
Η κορυφή της παραβολής f(x) = ax² + bx + c βρίσκεται στο σημείο K. Ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία x = -b/(2a).
Μυστικό: Για τις μετατοπίσεις, σκέψου "αντίθετα" - το +c στο x σημαίνει μετακίνηση αριστερά!
5
of 21
Βασικές Γραφικές Παραστάσεις
Εδώ έχεις τις βασικές συναρτήσεις που πρέπει να αναγνωρίζεις αμέσως. Η f(x) = αx + β είναι μια ευθεία με κλίση α (όταν α > 0 ανεβαίνει). Η f(x) = α είναι μια οριζόντια ευθεία.
Οι f(x) = x και f(x) = -x είναι διχοτόμες - η πρώτη ανεβαίνει, η δεύτερη κατεβαίνει. Αυτές είναι οι βάσεις που θα χρησιμοποιείς για να κατανοήσεις πιο πολύπλοκες συναρτήσεις.
Κάθε μια από αυτές έχει τη δική της χαρακτηριστική μορφή και ιδιότητες που θα σε βοηθήσουν να αναγνωρίζεις παραλλαγές τους.
Βάση: Αν κατανοήσεις καλά αυτές τις βασικές μορφές, όλες οι άλλες θα είναι παραλλαγές τους!
6
of 21
Τετραγωνικές και Άλλες Βασικές Καμπύλες
Η παραβολή f(x) = ax² είναι η πιο σημαντική καμπύλη που θα συναντήσεις. Όταν a > 0, ανοίγει προς τα πάνω, όταν a < 0 προς τα κάτω. Η πλήρης μορφή f(x) = ax² + βx + γ είναι απλώς μετατοπισμένη παραβολή.
Η συνάρτηση της ρίζας f(x) = √x έχει πεδίο ορισμού [0, +∞) και είναι πάντα αύξουσα. Ξεκινάει από την αρχή των αξόνων και ανεβαίνει σταδιακά.
Αυτές οι βασικές μορφές είναι τα "δομικά στοιχεία" που θα χρησιμοποιείς για να κατανοήσεις πιο σύνθετες συναρτήσεις στη συνέχεια.
Οπτικό trick: Σκιτσάρισε πάντα μια περίπου γραφική παράσταση - θα σε βοηθήσει να καταλάβεις τη συμπεριφορά!
7
of 21
Υπερβολή και Κυβική Συνάρτηση
Η υπερβολή f(x) = α/x (α ≠ 0) είναι μια από τις πιο χαρακτηριστικές καμπύλες. Έχει δύο κλάδους και δεν ορίζεται στο x = 0. Όταν α > 0, οι κλάδοι βρίσκονται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.
Η κυβική συνάρτηση f(x) = αx³ περνάει πάντα από την αρχή των αξόνων και έχει χαρακτηριστική "S" μορφή. Όταν α > 0, ξεκινάει από κάτω αριστερά και πηγαίνει επάνω δεξιά.
Αυτές οι συναρτήσεις έχουν ειδικές ιδιότητες που τις κάνουν χρήσιμες σε διάφορα προβλήματα. Η υπερβολή είναι περιττή συνάρτηση, όπως και η κυβική.
Θυμήσου: Η υπερβολή ποτέ δεν αγγίζει τους άξονες - πλησιάζει αλλά δεν φτάνει!
8
of 21
Τριγωνομετρικοί Αριθμοί και Βασικές Γωνίες
Εδώ μπαίνουμε στον κόσμο της τριγωνομετρίας! Το μήκος τόξου δίνεται από S = αq, όπου α είναι η ακτίνα και q η επίκεντρη γωνία σε ακτίνια. Η βασική σχέση είναι: 180° = π ακτίνια.
Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των βασικών γωνιών είναι κάτι που πρέπει να ξέρεις απέξω. Για 30° (π/6): ημ = 1/2, συν = √3/2. Για 45° (π/4): ημ = συν = √2/2. Για 60° (π/3): ημ = √3/2, συν = 1/2.
Στον τριγωνομετρικό κύκλο, κάθε τεταρτημόριο έχει διαφορετικά πρόσημα. Θυμήσου το "ΟΗΕΣ": Ο (1ο) όλοι θετικοί, Η (2ο) μόνο ημίτονο θετικό, Ε (3ο) μόνο εφαπτομένη θετική, Σ (4ο) μόνο συνημίτονο θετικό.
Tip: Φτιάξε ένα μικρό σχήμα με τις βασικές γωνίες - θα σε σώσει στις εξετάσεις!
9
of 21
Τριγωνομετρικές Ταυτότητες και Αναγωγή
Η θεμελιώδης ταυτότητα ημ²ω + συν²ω = 1 είναι η βάση όλων των υπολοίπων. Από εκεί προκύπτουν και οι άλλες: εφω = ημω/συνω και συν²ω = 1/(1 + εφ²ω).
Η αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο σου επιτρέπει να λύνεις οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση. Βασικοί κανόνες: ημ(-ω) = -ημω, συν(-ω) = συνω, ημ(180° - ω) = ημω, συν(180° - ω) = -συνω.
Για το 90° (π/2): ημ(90° - ω) = συνω και συν(90° - ω) = ημω. Αυτό σημαίνει ότι το ημίτονο και συνημίτονο "ανταλλάσσουν" ρόλους.
Στρατηγική: Μάθε πρώτα τις βασικές ταυτότητες και μετά τις παραλλαγές τους!
10
of 21
Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις
Η συνάρτηση του ημιτόνου f(x) = ημx είναι περιοδική με περίοδο 2π και έχει πεδίο τιμών [-1,1]. Είναι περιττή συνάρτηση, άρα συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.
Η μονοτονία της ημx: αύξουσα στο [0, π/2], φθίνουσα στο [π/2, π], αύξουσα στο [π, 3π/2], φθίνουσα στο [3π/2, 2π]. Αυτό το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 2π.
Τα ακρότατα είναι: μέγιστο 1 στο π/2 , ελάχιστο -1 στο 3π/2 . Η γραφική παράσταση είναι η χαρακτηριστική "ημιτονοειδής καμπύλη".
Κλειδί: Η περιοδικότητα σημαίνει ότι αν καταλάβεις ένα διάστημα [0, 2π], ξέρεις όλη τη συνάρτηση!
11
of 21
12
of 21
13
of 21
14
of 21
15
of 21
16
of 21
17
of 21
18
of 21
19
of 21
20
of 21
21
of 21
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Continuous Function
1Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
9ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,89374
ΜαθηματικάΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
Β' Λυκ.1,88639
ΜαθηματικάSOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις
Α' Λυκ.1,36337
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Γ' Λυκ.5,000121
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Γ' Λυκ.3,24477
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα
Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται
Β' Λυκ.1,04334
Μ
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα
Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.
Γ' Λυκ.4770
ΜαθηματικάΜαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου
Θεωρία και αποδείξεις
Β' Λυκ.1,19821
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β´λυκείου
Γεωμετρία Β´λυκείου όλες οι αποδείξεις και τα θεωρήματα-πορίσματα
Β' Λυκ.94217
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9
ΙστορίαΙστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Β' Λυκ.8,519300
ΙστορίαΣχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
Α' Λυκ.2,84468
Ιστορίαιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Α' Λυκ.2,0430
ΒιολογίαΒιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Β' Λυκ.3,13578
ΒιολογίαΒιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Β' Λυκ.7,124229
ΙστορίαΙστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Α' Λυκ.2,25842
ΦυσικήΦυσική Β γυμνασίου
Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4
Β' Γυμν.9,428665
ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ Κεφάλαιο 2
σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ
Γ' Λυκ.9,865322
Πληροφορική (Οικ.)Πληροφορική - Όλη η θεωρία
Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου
Γ' Λυκ.1,58944
Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σχρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άνναχρήστης iOS
Μαθηματικά1,183 προβολές·Ενημερώθηκε Jun 10, 2026·21 σελίδεςΆλγεβρα - Μαθηματικά για Β Λυκείου
V
Veronica Photos@veronicaphotos
Θα εξετάσουμε τα βασικά θέματα των μαθηματικών που είναι κρίσιμα για τη Γ' λυκείου. Από τα γραμμικά συστήματα μέχρι τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, αυτά τα κεφάλαια θα σε βοηθήσουν να κατανοήσεις τις βασικές έννοιες που χρειάζεσαι για τις εξετάσεις.
1
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Γραμμικά Συστήματα και Βασικές Συναρτήσεις
Ξεκινάμε με κάτι που θα συναντάς συνέχεια: τις γραμμικές εξισώσεις. Μια γραμμική εξίσωση έχει τη μορφή ax + by = c με a ≠ 0 ή b ≠ 0. Το κλειδί είναι να θυμάσαι ότι μια τέτοια εξίσωση έχει είτε άπειρες λύσεις είτε είναι αδύνατη.
Όταν δουλεύεις με συστήματα δύο ευθειών, η κατάσταση γίνεται πιο ενδιαφέρουσα. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, το σύστημα είναι αδύνατο. Αν ταυτίζονται, έχει άπειρες λύσεις.
Για τις συναρτήσεις, χρειάζεσαι να θυμάσαι έναν απλό κανόνα: κάθε κατακόρυφη ευθεία πρέπει να τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο. Μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση σημαίνει ότι όταν το x μεγαλώνει, το f(x) επίσης μεγαλώνει.
Συμβουλή: Για τις συναρτήσεις, σκέψου πάντα τη γραφική παράσταση - θα σε βοηθήσει να καταλάβεις τη συμπεριφορά τους!
2
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Μονοτονία και Ιδιότητες Διάταξης
Εδώ τα πράγματα γίνονται πιο συγκεκριμένα και χρήσιμα για τις ασκήσεις σου. Μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση σημαίνει το αντίθετο: όταν το x μεγαλώνει, το f(x) μικραίνει. Αν μια συνάρτηση είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα, τη λέμε γνησίως μονότονη.
Οι ιδιότητες διάταξης είναι κανόνες που πρέπει να ακολουθείς προσεκτικά. Μπορείς να πολλαπλασιάσεις δύο ανισότητες κατά μέλη μόνο όταν όλα τα μέλη είναι θετικά. Προσοχή: δεν αφαιρούμε ποτέ ανισότητες κατά μέλη!
Για τις δυνάμεις και ρίζες, θυμήσου: αν a < b και είναι θετικά, τότε a^ν < b^ν. Για την αντιστροφή, όταν τα μέλη είναι ομόσημα, η ανισότητα αλλάζει φορά: αν a < b, τότε 1/a > 1/b.
Προσοχή: Στην αντιστροφή πάντα αλλάζει η φορά της ανισότητας!
3
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Παραβολές και Συμμετρίες Συναρτήσεων
Η δευτεροβάθμια συνάρτηση f(x) = ax² + bx + c είναι από τα πιο σημαντικά θέματα. Όταν a > 0, η παραβολή "χαμογελάει" και έχει ελάχιστο. Όταν a < 0, "θλίβεται" και έχει μέγιστο. Η κορυφή βρίσκεται πάντα στο σημείο x = -b/(2a).
Οι συμμετρίες είναι πιο απλές απ' ότι φαίνονται. Μια άρτια συνάρτηση έχει f(x) = f και είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y. Μια περιττή συνάρτηση έχει f = -f(x) και είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.
Για να βρεις τη μονοτονία μιας συνάρτησης με απόλυτη τιμή, πρώτα γράψε τον τύπο χωρίς την απόλυτη τιμή, μετά βάλε τους κατάλληλους περιορισμούς.
Tip: Αν μια περιττή συνάρτηση περιλαμβάνει το 0, τότε πάντα f(0) = 0!
4
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Μετατοπίσεις και Βασικές Καμπύλες
Οι μετατοπίσεις είναι το κλειδί για να καταλάβεις πώς αλλάζουν οι γραφικές παραστάσεις. Για κατακόρυφη μετατόπιση, προσθέτεις ή αφαιρείς έναν αριθμό στο τέλος: f(x) = φ(x) + c (πάνω) ή f(x) = φ(x) - c (κάτω).
Για οριζόντια μετατόπιση, αλλάζεις το x μέσα στη συνάρτηση: f(x) = φ (δεξιά) ή f(x) = φ (αριστερά). Προσοχή στα πρόσημα - είναι αντίθετα από αυτό που περιμένεις!
Η κορυφή της παραβολής f(x) = ax² + bx + c βρίσκεται στο σημείο K. Ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία x = -b/(2a).
Μυστικό: Για τις μετατοπίσεις, σκέψου "αντίθετα" - το +c στο x σημαίνει μετακίνηση αριστερά!
5
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Βασικές Γραφικές Παραστάσεις
Εδώ έχεις τις βασικές συναρτήσεις που πρέπει να αναγνωρίζεις αμέσως. Η f(x) = αx + β είναι μια ευθεία με κλίση α (όταν α > 0 ανεβαίνει). Η f(x) = α είναι μια οριζόντια ευθεία.
Οι f(x) = x και f(x) = -x είναι διχοτόμες - η πρώτη ανεβαίνει, η δεύτερη κατεβαίνει. Αυτές είναι οι βάσεις που θα χρησιμοποιείς για να κατανοήσεις πιο πολύπλοκες συναρτήσεις.
Κάθε μια από αυτές έχει τη δική της χαρακτηριστική μορφή και ιδιότητες που θα σε βοηθήσουν να αναγνωρίζεις παραλλαγές τους.
Βάση: Αν κατανοήσεις καλά αυτές τις βασικές μορφές, όλες οι άλλες θα είναι παραλλαγές τους!
6
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Τετραγωνικές και Άλλες Βασικές Καμπύλες
Η παραβολή f(x) = ax² είναι η πιο σημαντική καμπύλη που θα συναντήσεις. Όταν a > 0, ανοίγει προς τα πάνω, όταν a < 0 προς τα κάτω. Η πλήρης μορφή f(x) = ax² + βx + γ είναι απλώς μετατοπισμένη παραβολή.
Η συνάρτηση της ρίζας f(x) = √x έχει πεδίο ορισμού [0, +∞) και είναι πάντα αύξουσα. Ξεκινάει από την αρχή των αξόνων και ανεβαίνει σταδιακά.
Αυτές οι βασικές μορφές είναι τα "δομικά στοιχεία" που θα χρησιμοποιείς για να κατανοήσεις πιο σύνθετες συναρτήσεις στη συνέχεια.
Οπτικό trick: Σκιτσάρισε πάντα μια περίπου γραφική παράσταση - θα σε βοηθήσει να καταλάβεις τη συμπεριφορά!
7
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Υπερβολή και Κυβική Συνάρτηση
Η υπερβολή f(x) = α/x (α ≠ 0) είναι μια από τις πιο χαρακτηριστικές καμπύλες. Έχει δύο κλάδους και δεν ορίζεται στο x = 0. Όταν α > 0, οι κλάδοι βρίσκονται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.
Η κυβική συνάρτηση f(x) = αx³ περνάει πάντα από την αρχή των αξόνων και έχει χαρακτηριστική "S" μορφή. Όταν α > 0, ξεκινάει από κάτω αριστερά και πηγαίνει επάνω δεξιά.
Αυτές οι συναρτήσεις έχουν ειδικές ιδιότητες που τις κάνουν χρήσιμες σε διάφορα προβλήματα. Η υπερβολή είναι περιττή συνάρτηση, όπως και η κυβική.
Θυμήσου: Η υπερβολή ποτέ δεν αγγίζει τους άξονες - πλησιάζει αλλά δεν φτάνει!
8
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Τριγωνομετρικοί Αριθμοί και Βασικές Γωνίες
Εδώ μπαίνουμε στον κόσμο της τριγωνομετρίας! Το μήκος τόξου δίνεται από S = αq, όπου α είναι η ακτίνα και q η επίκεντρη γωνία σε ακτίνια. Η βασική σχέση είναι: 180° = π ακτίνια.
Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των βασικών γωνιών είναι κάτι που πρέπει να ξέρεις απέξω. Για 30° (π/6): ημ = 1/2, συν = √3/2. Για 45° (π/4): ημ = συν = √2/2. Για 60° (π/3): ημ = √3/2, συν = 1/2.
Στον τριγωνομετρικό κύκλο, κάθε τεταρτημόριο έχει διαφορετικά πρόσημα. Θυμήσου το "ΟΗΕΣ": Ο (1ο) όλοι θετικοί, Η (2ο) μόνο ημίτονο θετικό, Ε (3ο) μόνο εφαπτομένη θετική, Σ (4ο) μόνο συνημίτονο θετικό.
Tip: Φτιάξε ένα μικρό σχήμα με τις βασικές γωνίες - θα σε σώσει στις εξετάσεις!
9
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Τριγωνομετρικές Ταυτότητες και Αναγωγή
Η θεμελιώδης ταυτότητα ημ²ω + συν²ω = 1 είναι η βάση όλων των υπολοίπων. Από εκεί προκύπτουν και οι άλλες: εφω = ημω/συνω και συν²ω = 1/(1 + εφ²ω).
Η αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο σου επιτρέπει να λύνεις οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση. Βασικοί κανόνες: ημ(-ω) = -ημω, συν(-ω) = συνω, ημ(180° - ω) = ημω, συν(180° - ω) = -συνω.
Για το 90° (π/2): ημ(90° - ω) = συνω και συν(90° - ω) = ημω. Αυτό σημαίνει ότι το ημίτονο και συνημίτονο "ανταλλάσσουν" ρόλους.
Στρατηγική: Μάθε πρώτα τις βασικές ταυτότητες και μετά τις παραλλαγές τους!
10
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις
Η συνάρτηση του ημιτόνου f(x) = ημx είναι περιοδική με περίοδο 2π και έχει πεδίο τιμών [-1,1]. Είναι περιττή συνάρτηση, άρα συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.
Η μονοτονία της ημx: αύξουσα στο [0, π/2], φθίνουσα στο [π/2, π], αύξουσα στο [π, 3π/2], φθίνουσα στο [3π/2, 2π]. Αυτό το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 2π.
Τα ακρότατα είναι: μέγιστο 1 στο π/2 , ελάχιστο -1 στο 3π/2 . Η γραφική παράσταση είναι η χαρακτηριστική "ημιτονοειδής καμπύλη".
Κλειδί: Η περιοδικότητα σημαίνει ότι αν καταλάβεις ένα διάστημα [0, 2π], ξέρεις όλη τη συνάρτηση!
11
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
12
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
13
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
14
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
15
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
16
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
17
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
18
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
19
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
20
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
21
of 21Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Continuous Function
1Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
9ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,89374
ΜαθηματικάΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
Β' Λυκ.1,88639
ΜαθηματικάSOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις
Α' Λυκ.1,36337
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Γ' Λυκ.5,000121
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Γ' Λυκ.3,24477
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα
Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται
Β' Λυκ.1,04334
Μ
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα
Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.
Γ' Λυκ.4770
ΜαθηματικάΜαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου
Θεωρία και αποδείξεις
Β' Λυκ.1,19821
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β´λυκείου
Γεωμετρία Β´λυκείου όλες οι αποδείξεις και τα θεωρήματα-πορίσματα
Β' Λυκ.94217
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9ΙστορίαΙστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Β' Λυκ.8,519300
ΙστορίαΣχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
Α' Λυκ.2,84468
Ιστορίαιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Α' Λυκ.2,0430
ΒιολογίαΒιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Β' Λυκ.3,13578
ΒιολογίαΒιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Β' Λυκ.7,124229
ΙστορίαΙστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Α' Λυκ.2,25842
ΦυσικήΦυσική Β γυμνασίου
Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4
Β' Γυμν.9,428665
ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ Κεφάλαιο 2
σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ
Γ' Λυκ.9,865322
Πληροφορική (Οικ.)Πληροφορική - Όλη η θεωρία
Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου
Γ' Λυκ.1,58944
Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σχρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άνναχρήστης iOS