•

Ενημερώθηκε Apr 21, 2026

•

21 σελίδες

Άλγεβρα - Μαθηματικά για Β Λυκείου

Veronica Photos

@veronicaphotos

Θα εξετάσουμε τα βασικά θέματα των μαθηματικών που είναι κρίσιμα... Δες περισσότερα

1 / 21

1 Γραμμικά Συστήματα
Γραμμική εξίσωση ονομάζεται κάθε εξίσωση της
μορφής
ax + by = 8
με a ≠0 6≠0
Μια γραμμική εξίσωση έχει άπειρες λύσεις ή

Γραμμικά Συστήματα και Βασικές Συναρτήσεις

Ξεκινάμε με κάτι που θα συναντάς συνέχεια: τις γραμμικές εξισώσεις. Μια γραμμική εξίσωση έχει τη μορφή ax + by = c με a ≠ 0 ή b ≠ 0. Το κλειδί είναι να θυμάσαι ότι μια τέτοια εξίσωση έχει είτε άπειρες λύσεις είτε είναι αδύνατη.

Όταν δουλεύεις με συστήματα δύο ευθειών, η κατάσταση γίνεται πιο ενδιαφέρουσα. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, το σύστημα είναι αδύνατο. Αν ταυτίζονται, έχει άπειρες λύσεις.

Για τις συναρτήσεις, χρειάζεσαι να θυμάσαι έναν απλό κανόνα: κάθε κατακόρυφη ευθεία πρέπει να τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο. Μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση σημαίνει ότι όταν το x μεγαλώνει, το f(x) επίσης μεγαλώνει.

Συμβουλή: Για τις συναρτήσεις, σκέψου πάντα τη γραφική παράσταση - θα σε βοηθήσει να καταλάβεις τη συμπεριφορά τους!

Μονοτονία και Ιδιότητες Διάταξης

Εδώ τα πράγματα γίνονται πιο συγκεκριμένα και χρήσιμα για τις ασκήσεις σου. Μια γνησίως φθίνουσα συνάρτηση σημαίνει το αντίθετο: όταν το x μεγαλώνει, το f(x) μικραίνει. Αν μια συνάρτηση είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα, τη λέμε γνησίως μονότονη.

Οι ιδιότητες διάταξης είναι κανόνες που πρέπει να ακολουθείς προσεκτικά. Μπορείς να πολλαπλασιάσεις δύο ανισότητες κατά μέλη μόνο όταν όλα τα μέλη είναι θετικά. Προσοχή: δεν αφαιρούμε ποτέ ανισότητες κατά μέλη!

Για τις δυνάμεις και ρίζες, θυμήσου: αν a < b και είναι θετικά, τότε a^ν < b^ν. Για την αντιστροφή, όταν τα μέλη είναι ομόσημα, η ανισότητα αλλάζει φορά: αν a < b, τότε 1/a > 1/b.

Προσοχή: Στην αντιστροφή πάντα αλλάζει η φορά της ανισότητας!

Παραβολές και Συμμετρίες Συναρτήσεων

Η δευτεροβάθμια συνάρτηση f(x) = ax² + bx + c είναι από τα πιο σημαντικά θέματα. Όταν a > 0, η παραβολή "χαμογελάει" και έχει ελάχιστο. Όταν a < 0, "θλίβεται" και έχει μέγιστο. Η κορυφή βρίσκεται πάντα στο σημείο x = -b/(2a).

Οι συμμετρίες είναι πιο απλές απ' ότι φαίνονται. Μια άρτια συνάρτηση έχει f(x) = f $-x$ και είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y. Μια περιττή συνάρτηση έχει f $-x$ = -f(x) και είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

Για να βρεις τη μονοτονία μιας συνάρτησης με απόλυτη τιμή, πρώτα γράψε τον τύπο χωρίς την απόλυτη τιμή, μετά βάλε τους κατάλληλους περιορισμούς.

Tip: Αν μια περιττή συνάρτηση περιλαμβάνει το 0, τότε πάντα f(0) = 0!

Μετατοπίσεις και Βασικές Καμπύλες

Οι μετατοπίσεις είναι το κλειδί για να καταλάβεις πώς αλλάζουν οι γραφικές παραστάσεις. Για κατακόρυφη μετατόπιση, προσθέτεις ή αφαιρείς έναν αριθμό στο τέλος: f(x) = φ(x) + c (πάνω) ή f(x) = φ(x) - c (κάτω).

Για οριζόντια μετατόπιση, αλλάζεις το x μέσα στη συνάρτηση: f(x) = φ $x - c$ (δεξιά) ή f(x) = φ $x + c$ (αριστερά). Προσοχή στα πρόσημα - είναι αντίθετα από αυτό που περιμένεις!

Η κορυφή της παραβολής f(x) = ax² + bx + c βρίσκεται στο σημείο K $-b/(2a), -Δ/(4a)$ . Ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία x = -b/(2a).

Μυστικό: Για τις μετατοπίσεις, σκέψου "αντίθετα" - το +c στο x σημαίνει μετακίνηση αριστερά!

Βασικές Γραφικές Παραστάσεις

Εδώ έχεις τις βασικές συναρτήσεις που πρέπει να αναγνωρίζεις αμέσως. Η f(x) = αx + β είναι μια ευθεία με κλίση α (όταν α > 0 ανεβαίνει). Η f(x) = α είναι μια οριζόντια ευθεία.

Οι f(x) = x και f(x) = -x είναι διχοτόμες - η πρώτη ανεβαίνει, η δεύτερη κατεβαίνει. Αυτές είναι οι βάσεις που θα χρησιμοποιείς για να κατανοήσεις πιο πολύπλοκες συναρτήσεις.

Κάθε μια από αυτές έχει τη δική της χαρακτηριστική μορφή και ιδιότητες που θα σε βοηθήσουν να αναγνωρίζεις παραλλαγές τους.

Βάση: Αν κατανοήσεις καλά αυτές τις βασικές μορφές, όλες οι άλλες θα είναι παραλλαγές τους!

Τετραγωνικές και Άλλες Βασικές Καμπύλες

Η παραβολή f(x) = ax² είναι η πιο σημαντική καμπύλη που θα συναντήσεις. Όταν a > 0, ανοίγει προς τα πάνω, όταν a < 0 προς τα κάτω. Η πλήρης μορφή f(x) = ax² + βx + γ είναι απλώς μετατοπισμένη παραβολή.

Η συνάρτηση της ρίζας f(x) = √x έχει πεδίο ορισμού [0, +∞) και είναι πάντα αύξουσα. Ξεκινάει από την αρχή των αξόνων και ανεβαίνει σταδιακά.

Αυτές οι βασικές μορφές είναι τα "δομικά στοιχεία" που θα χρησιμοποιείς για να κατανοήσεις πιο σύνθετες συναρτήσεις στη συνέχεια.

Οπτικό trick: Σκιτσάρισε πάντα μια περίπου γραφική παράσταση - θα σε βοηθήσει να καταλάβεις τη συμπεριφορά!

Υπερβολή και Κυβική Συνάρτηση

Η υπερβολή f(x) = α/x (α ≠ 0) είναι μια από τις πιο χαρακτηριστικές καμπύλες. Έχει δύο κλάδους και δεν ορίζεται στο x = 0. Όταν α > 0, οι κλάδοι βρίσκονται στο 1ο και 3ο τεταρτημόριο.

Η κυβική συνάρτηση f(x) = αx³ περνάει πάντα από την αρχή των αξόνων και έχει χαρακτηριστική "S" μορφή. Όταν α > 0, ξεκινάει από κάτω αριστερά και πηγαίνει επάνω δεξιά.

Αυτές οι συναρτήσεις έχουν ειδικές ιδιότητες που τις κάνουν χρήσιμες σε διάφορα προβλήματα. Η υπερβολή είναι περιττή συνάρτηση, όπως και η κυβική.

Θυμήσου: Η υπερβολή ποτέ δεν αγγίζει τους άξονες - πλησιάζει αλλά δεν φτάνει!

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί και Βασικές Γωνίες

Εδώ μπαίνουμε στον κόσμο της τριγωνομετρίας! Το μήκος τόξου δίνεται από S = αq, όπου α είναι η ακτίνα και q η επίκεντρη γωνία σε ακτίνια. Η βασική σχέση είναι: 180° = π ακτίνια.

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των βασικών γωνιών είναι κάτι που πρέπει να ξέρεις απέξω. Για 30° (π/6): ημ = 1/2, συν = √3/2. Για 45° (π/4): ημ = συν = √2/2. Για 60° (π/3): ημ = √3/2, συν = 1/2.

Στον τριγωνομετρικό κύκλο, κάθε τεταρτημόριο έχει διαφορετικά πρόσημα. Θυμήσου το "ΟΗΕΣ": Ο (1ο) όλοι θετικοί, Η (2ο) μόνο ημίτονο θετικό, Ε (3ο) μόνο εφαπτομένη θετική, Σ (4ο) μόνο συνημίτονο θετικό.

Tip: Φτιάξε ένα μικρό σχήμα με τις βασικές γωνίες - θα σε σώσει στις εξετάσεις!

Τριγωνομετρικές Ταυτότητες και Αναγωγή

Η θεμελιώδης ταυτότητα ημ²ω + συν²ω = 1 είναι η βάση όλων των υπολοίπων. Από εκεί προκύπτουν και οι άλλες: εφω = ημω/συνω και συν²ω = 1/(1 + εφ²ω).

Η αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο σου επιτρέπει να λύνεις οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση. Βασικοί κανόνες: ημ(-ω) = -ημω, συν(-ω) = συνω, ημ(180° - ω) = ημω, συν(180° - ω) = -συνω.

Για το 90° (π/2): ημ(90° - ω) = συνω και συν(90° - ω) = ημω. Αυτό σημαίνει ότι το ημίτονο και συνημίτονο "ανταλλάσσουν" ρόλους.

Στρατηγική: Μάθε πρώτα τις βασικές ταυτότητες και μετά τις παραλλαγές τους!

Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

Η συνάρτηση του ημιτόνου f(x) = ημx είναι περιοδική με περίοδο 2π και έχει πεδίο τιμών [-1,1]. Είναι περιττή συνάρτηση, άρα συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων.

Η μονοτονία της ημx: αύξουσα στο [0, π/2], φθίνουσα στο [π/2, π], αύξουσα στο [π, 3π/2], φθίνουσα στο [3π/2, 2π]. Αυτό το μοτίβο επαναλαμβάνεται κάθε 2π.

Τα ακρότατα είναι: μέγιστο 1 στο π/2 $και κάθε π/2 + 2πn$ , ελάχιστο -1 στο 3π/2 $και κάθε 3π/2 + 2πn$ . Η γραφική παράσταση είναι η χαρακτηριστική "ημιτονοειδής καμπύλη".

Κλειδί: Η περιοδικότητα σημαίνει ότι αν καταλάβεις ένα διάστημα [0, 2π], ξέρεις όλη τη συνάρτηση!

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

Μαθηματικά

Γ' Λυκ.

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.

Μαθηματικά

Γ' Λυκ.

Μαθηματικά Γ' Λυκείου: Συναρτήσεις, Όρια, Παράγωγοι, Ολοκληρώματα

Ελέγξτε τις γνώσεις σας στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών Γ' Λυκείου.

Μαθηματικά

Γ' Λυκ.

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.

Μαθηματικά

Α' Λυκ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

Μαθηματικά

Β' Λυκ.

Θεωρήματα+Αποδειξεις μαθηματικά Γ λυκείου

Αυτά είναι τα πιο βασικά + ΣΟΣ θεωρήματα μαζι με τις αποδείξεις τους (σε όποιες υπάρχει απόδειξη)

Μαθηματικά

Γ' Λυκ.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Ο δημιουργός αυτός είναι για να μάθεις να λύνεις ασκήσεις μαθηματικών που έχουν να κάνουν με το πυθαγόρειο θεώρημα. Αν διαβάσεις την θεωρία και μπορέσεις να την κατανοήσεις είμαι σίγουρη ότι θα γράψεις τέλεια στο επόμενο σου διαγώνισμα ☺️☺️.

Μαθηματικά

Β' Γυμν.

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

Μαθηματικά

Β' Λυκ.

Βοήθημα άλγεβρας Α' ΓΕ.Λ

Θεωρία, λυμένες ασκήσεις, Τρπαεζα θεμάτων.

Μαθηματικά

Α' Λυκ.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ

ΑΟΘ (Οικονομία)

Γ' Λυκ.

Βιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2

Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)

Βιολογία

Β' Λυκ.

Ξενοφων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Α’ ΛΥΚΕΙΟΥ

Ξενοφων

Αρχαία Ελληνικά

Α' Λυκ.

Βιολογία Ά Λυκείου νευρικό σύστημα

Βιολογία Ά λυκείου νευρικό σύστημα

Βιολογία

Α' Λυκ.

Πληροφορική - Όλη η θεωρία

Περιέχονται όλα τα κομμάτια της ύλης του μαθήματος Πληροφορικής της Γ' Λυκείου

Πληροφορική (Οικ.)

Γ' Λυκ.

Κλασική εποχή

Ιστορία Α λυκείου

Ιστορία

Α' Λυκ.

Α’,Β’,Γ’ κλίση ουσιαστικών

Κλίση ουσιαστικών και παρατηρήσεις

Αρχαία Ελληνικά

Α' Λυκ.

Συντακτικό αρχαίων

Όλο το συντάκτηκο της αρχαία Ελληνικής με πλήρη ανάλυση.

Αρχαία Ελληνικά

Α' Λυκ.

Πληροφορική Γ λυκείου

Μεγάλο εύρος θεωρίας από το ΑΕΠ Γ λυκείου

Πληροφορική

Γ' Λυκ.

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

ΤΑ ΚΟΥΙΖ ΚΑΙ ΟΙ ΚΑΡΤΕΣ ΜΝΗΜΗΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟΣΟ ΧΡΗΣΙΜΑ ΚΑΙ ΛΑΤΡΕΥΩ ΤΟ Knowunity ΤΝ. ΕΙΝΑΙ ΚΥΡΙΟΛΕΚΤΙΚΑ ΣΑΝ ΤΟ CHATGPT ΑΛΛΑ ΠΙΟ ΕΞΥΠΝΟ!! ΜΕ ΒΟΗΘΗΣΕ ΚΑΙ ΜΕ TA ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΜΑΣΚΑΡΑ ΜΟΥ!! ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ! ΞΕΚΑΘΑΡΑ 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Άννα

χρήστης iOS

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

Μαριλου

χρήστης Android

Thenia

χρήστης iOS

Μαθηματικά

•

696

•

Ενημερώθηκε Apr 21, 2026

•

21 σελίδες

Άλγεβρα - Μαθηματικά για Β Λυκείου

Veronica Photos

@veronicaphotos

Θα εξετάσουμε τα βασικά θέματα των μαθηματικών που είναι κρίσιμα για τη Γ' λυκείου. Από τα γραμμικά συστήματα μέχρι τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, αυτά τα κεφάλαια θα σε βοηθήσουν να κατανοήσεις τις βασικές έννοιες που χρειάζεσαι για τις εξετάσεις.