Μαθήματα

SchoolGPT

Καριέρες

Knowunity Pro

Άνοιξε την Εφαρμογή

Μαθήματα

Μαυρομάτικα Διανύσματα για Β' Λυκείου

36

0

F

Felicia Kladis

3/12/2025

Μαθηματικά (Θετ.)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

450

•

3 Δεκ 2025

•

3 σελίδες

Μαυρομάτικα Διανύσματα για Β' Λυκείου

F

Felicia Kladis

@feliciakladis

Τα διανύσματα είναι θεμελιώδεις μαθηματικές έννοιες που χαρακτηρίζονται από μέτρο... Δες περισσότερα

Page 1
Page 2
Page 3
1 / 3
# ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα Έστω ένα διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ Μέτρο Αν $\vec{a} = (x, y)$, τότε $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ Κατεύθυν

Βασικές Έννοιες Διανυσμάτων

Ένα διάνυσμα AB→\overrightarrow{AB} ορίζεται από τέσσερα βασικά χαρακτηριστικά. Το μέτρο του διανύσματος a⃗=(x,y)\vec{a} = (x, y) είναι το μήκος του και υπολογίζεται από τον τύπο ∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}. Η διεύθυνση αναφέρεται στη γραμμή στην οποία ανήκει το διάνυσμα, ενώ η φορά μας δείχνει προς τα πού "κοιτάει" το βέλος (πάνω, κάτω, αριστερά ή δεξιά).

Τα παράλληλα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση και μπορεί να έχουν την ίδια φορά $\vec{a} \uparrow \uparrow \vec{β}$ ή αντίθετη φορά $\vec{a} \uparrow \downarrow \vec{β}$. Για να ελέγξουμε αν δύο διανύσματα a⃗=(x1,y1)\vec{a} = (x_1, y_1) και β⃗=(x2,y2)\vec{β} = (x_2, y_2) είναι παράλληλα, εξετάζουμε αν ∣x1y1 x2y2∣=0\left| \begin{array}{cc} x_1 & y_1 \ x_2 & y_2 \end{array} \right| = 0.

Ο συντελεστής διεύθυνσης λ ενός διανύσματος a⃗=(x,y)\vec{a} = (x, y) είναι λ=yx\lambda = \frac{y}{x}. Δύο διανύσματα είναι παράλληλα όταν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Αν ένα διάνυσμα είναι παράλληλο στον άξονα x, τότε λ=0\lambda = 0, ενώ αν είναι παράλληλο στον άξονα y, ο λ δεν ορίζεται.

💡 Χρήσιμο tip: Για να θυμάσαι εύκολα τη διαφορά μεταξύ διεύθυνσης και φοράς, σκέψου την οδήγηση: η διεύθυνση είναι ο δρόμος και η φορά είναι αν κινείσαι προς τα μπροστά ή προς τα πίσω!

# ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα Έστω ένα διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ Μέτρο Αν $\vec{a} = (x, y)$, τότε $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ Κατεύθυν

Συντεταγμένες και Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

Όταν γνωρίζεις τα άκρα ενός διανύσματος A(x1,y1)A(x_1, y_1) και B(x2,y2)B(x_2, y_2), οι συντεταγμένες του είναι απλά η διαφορά των συντεταγμένων: AB⃗=(x2−x1,y2−y1)\vec{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1). Έτσι μπορείς εύκολα να μετατρέψεις σημεία σε διανύσματα!

Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α⃗\vec{α} και β⃗\vec{β} δίνεται από τον τύπο α⃗⋅β⃗=∣α⃗∣⋅∣β⃗∣⋅cos⁡φ\vec{α} \cdot \vec{β} = |\vec{α}| \cdot |\vec{β}| \cdot \cos\varphi, όπου φ είναι η γωνία μεταξύ τους. Αναλυτικά, αν α⃗=(x1,y1)\vec{α} = (x_1, y_1) και β⃗=(x2,y2)\vec{β} = (x_2, y_2), τότε α⃗⋅β⃗=x1⋅x2+y1⋅y2\vec{α} \cdot \vec{β} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2. Το εσωτερικό γινόμενο μας δίνει πολύτιμες πληροφορίες για τη σχέση μεταξύ δύο διανυσμάτων.

Όταν α⃗⋅β⃗=0\vec{α} \cdot \vec{β} = 0, τότε τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους $\vec{α} \perp \vec{β}$. Αν το εσωτερικό γινόμενο είναι θετικό, η γωνία τους είναι οξεία, ενώ αν είναι αρνητικό, η γωνία είναι αμβλεία. Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων μπορεί να βρεθεί από τον τύπο cos⁡φ=α⃗⋅β⃗∣α⃗∣⋅∣β⃗∣\cos\varphi = \frac{\vec{α} \cdot \vec{β}}{|\vec{α}| \cdot |\vec{β}|}.

Η προβολή του διανύσματος β⃗\vec{β} στο διάνυσμα α⃗\vec{α} μας δείχνει πόσο από το β⃗\vec{β} "πέφτει" πάνω στη διεύθυνση του α⃗\vec{α}. Αυτό είναι χρήσιμο σε πολλές εφαρμογές, όπως στη φυσική όταν αναλύουμε δυνάμεις.

🔍 Πρόσεξε: Στις εξετάσεις, συχνά ζητείται να αποδείξεις ότι διανύσματα είναι κάθετα ή παράλληλα. Θυμήσου τις συνθήκες: α⃗⊥β⃗  ⟺  α⃗⋅β⃗=0\vec{α} \perp \vec{β} \iff \vec{α} \cdot \vec{β} = 0 και α⃗∥β⃗  ⟺  x1x2=y1y2\vec{α} \parallel \vec{β} \iff \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}!

# ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα Έστω ένα διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ Μέτρο Αν $\vec{a} = (x, y)$, τότε $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ Κατεύθυν


Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Vector

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Β' Λυκ.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Γ' Λυκ.

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Γ' Λυκ.

Θεωρία Διανύσματα Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Β' Λυκ.

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Θεωρημα Bolzano/Θ.Ε.Τ./Θ.Μ.Ε.Τ.]

Σημειωσεις των θεωρημάτων.

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Γ' Λυκ.

Διανύσματα Β’ Λυκείου

Μαζεμένη θεωρία στα διανύσματα

Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά (Θετ.)
Β' Λυκ.

Μαθηματικα Κατεύθυνσης β' Λύκειου: Κεφάλαιο 1.1

Το κεφάλαιο 1.1 εισάγει τις βασικές έννοιες των διανυσμάτων, οι οποίες αποτελούν θεμελιώδες μέρος της γεωμετρίας και της φυσικής.

Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά (Θετ.)
Β' Λυκ.

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Β' Λυκ.

Τυπολογιο μαθηματικά κατεύθυνσης

Όλοι η ύλη

Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά (Θετ.)
Β' Λυκ.

Θεωρία μαθηματικών γ' λυκείου πρώτο κεφάλαιο

Σημειώσεις σχετικά με το πρώτο κεφάλαιο των μαθηματικών γ'λυκείου.

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Γ' Λυκ.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

Βιολογία β Λυκείου

Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία

ΒιολογίαΒιολογία
Β' Λυκ.

Βιολογία Α’ λυκείου σημειώσεις για το πρώτο κεφάλαιο

Κεφάλαιο 1ο, κύτταρα και ιστοί, όργανα και συστήματα οργάνων

ΒιολογίαΒιολογία
Α' Λυκ.

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ

ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ (Οικονομία)
Γ' Λυκ.

Ιστορία Γ’ Λυκείου (Ανθρ.)(Α1., Α2., Β1., Β2., Β3.)(Οικονομικό)

Α1. Τα δημογραφικά δεδομένα, Α2. Οι παραγωγικές δυνάμεις μέσα και έξω από την Ελλάδα και η «Μεγάλη Ιδέα», Β1. Το εμπόριο, Β2. Η εμπορική ναυτιλία, Β3. Η διανομή των εθνικών κτημάτων

ΙστορίαΙστορία
Γ' Λυκ.

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Ορισμοί ιστόριας

ΙστορίαΙστορία
Β' Λυκ.

Φυσική Α’ Λυκείου

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ( ΕΟΚ) + τύπος μέσης ταχύτητας

ΦυσικήΦυσική
Α' Λυκ.

Βιολογία α λυκείου

Αναπαραγωγή, όργανα και ιστοί, κυκλοφορικό σύστημα

ΒιολογίαΒιολογία
Α' Λυκ.

Ιστορία Β Λυκείου Κεφάλαια 1-3 σημειώσεις

Το έγγραφο αυτό περιέχει περιληπτική, μεν περιεκτική όλη την εξεταστέα ύλη της ιστορίας Β λυκείου για τα πρώτα 3 Κεφάλαια, δηλαδή την μισή ύλη. Το έγγραφο έχει γραφτεί με προσοχή και άριστη ταυτόσημο το βιβλίο, όμως πολύ πιο απλά στη κατανόηση!

ΙστορίαΙστορία
Β' Λυκ.

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Γ' Λυκ.

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

 

Μαθηματικά (Θετ.)

•

450

•

3 Δεκ 2025

•

3 σελίδες

Μαυρομάτικα Διανύσματα για Β' Λυκείου

F

Felicia Kladis

@feliciakladis

Τα διανύσματα είναι θεμελιώδεις μαθηματικές έννοιες που χαρακτηρίζονται από μέτρο και κατεύθυνση. Αποτελούν βασικό εργαλείο για την κατανόηση φυσικών φαινομένων και γεωμετρικών σχέσεων. Η κατανόησή τους θα σε βοηθήσει σε πολλαπλά επιστημονικά πεδία, από τη φυσική και τη μηχανική μέχρι... Δες περισσότερα

# ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα Έστω ένα διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ Μέτρο Αν $\vec{a} = (x, y)$, τότε $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ Κατεύθυν

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Βασικές Έννοιες Διανυσμάτων

Ένα διάνυσμα AB→\overrightarrow{AB} ορίζεται από τέσσερα βασικά χαρακτηριστικά. Το μέτρο του διανύσματος a⃗=(x,y)\vec{a} = (x, y) είναι το μήκος του και υπολογίζεται από τον τύπο ∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}. Η διεύθυνση αναφέρεται στη γραμμή στην οποία ανήκει το διάνυσμα, ενώ η φορά μας δείχνει προς τα πού "κοιτάει" το βέλος (πάνω, κάτω, αριστερά ή δεξιά).

Τα παράλληλα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση και μπορεί να έχουν την ίδια φορά $\vec{a} \uparrow \uparrow \vec{β}$ ή αντίθετη φορά $\vec{a} \uparrow \downarrow \vec{β}$. Για να ελέγξουμε αν δύο διανύσματα a⃗=(x1,y1)\vec{a} = (x_1, y_1) και β⃗=(x2,y2)\vec{β} = (x_2, y_2) είναι παράλληλα, εξετάζουμε αν ∣x1y1 x2y2∣=0\left| \begin{array}{cc} x_1 & y_1 \ x_2 & y_2 \end{array} \right| = 0.

Ο συντελεστής διεύθυνσης λ ενός διανύσματος a⃗=(x,y)\vec{a} = (x, y) είναι λ=yx\lambda = \frac{y}{x}. Δύο διανύσματα είναι παράλληλα όταν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Αν ένα διάνυσμα είναι παράλληλο στον άξονα x, τότε λ=0\lambda = 0, ενώ αν είναι παράλληλο στον άξονα y, ο λ δεν ορίζεται.

💡 Χρήσιμο tip: Για να θυμάσαι εύκολα τη διαφορά μεταξύ διεύθυνσης και φοράς, σκέψου την οδήγηση: η διεύθυνση είναι ο δρόμος και η φορά είναι αν κινείσαι προς τα μπροστά ή προς τα πίσω!

# ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα Έστω ένα διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ Μέτρο Αν $\vec{a} = (x, y)$, τότε $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ Κατεύθυν

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Συντεταγμένες και Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

Όταν γνωρίζεις τα άκρα ενός διανύσματος A(x1,y1)A(x_1, y_1) και B(x2,y2)B(x_2, y_2), οι συντεταγμένες του είναι απλά η διαφορά των συντεταγμένων: AB⃗=(x2−x1,y2−y1)\vec{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1). Έτσι μπορείς εύκολα να μετατρέψεις σημεία σε διανύσματα!

Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων α⃗\vec{α} και β⃗\vec{β} δίνεται από τον τύπο α⃗⋅β⃗=∣α⃗∣⋅∣β⃗∣⋅cos⁡φ\vec{α} \cdot \vec{β} = |\vec{α}| \cdot |\vec{β}| \cdot \cos\varphi, όπου φ είναι η γωνία μεταξύ τους. Αναλυτικά, αν α⃗=(x1,y1)\vec{α} = (x_1, y_1) και β⃗=(x2,y2)\vec{β} = (x_2, y_2), τότε α⃗⋅β⃗=x1⋅x2+y1⋅y2\vec{α} \cdot \vec{β} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2. Το εσωτερικό γινόμενο μας δίνει πολύτιμες πληροφορίες για τη σχέση μεταξύ δύο διανυσμάτων.

Όταν α⃗⋅β⃗=0\vec{α} \cdot \vec{β} = 0, τότε τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους $\vec{α} \perp \vec{β}$. Αν το εσωτερικό γινόμενο είναι θετικό, η γωνία τους είναι οξεία, ενώ αν είναι αρνητικό, η γωνία είναι αμβλεία. Το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων μπορεί να βρεθεί από τον τύπο cos⁡φ=α⃗⋅β⃗∣α⃗∣⋅∣β⃗∣\cos\varphi = \frac{\vec{α} \cdot \vec{β}}{|\vec{α}| \cdot |\vec{β}|}.

Η προβολή του διανύσματος β⃗\vec{β} στο διάνυσμα α⃗\vec{α} μας δείχνει πόσο από το β⃗\vec{β} "πέφτει" πάνω στη διεύθυνση του α⃗\vec{α}. Αυτό είναι χρήσιμο σε πολλές εφαρμογές, όπως στη φυσική όταν αναλύουμε δυνάμεις.

🔍 Πρόσεξε: Στις εξετάσεις, συχνά ζητείται να αποδείξεις ότι διανύσματα είναι κάθετα ή παράλληλα. Θυμήσου τις συνθήκες: α⃗⊥β⃗  ⟺  α⃗⋅β⃗=0\vec{α} \perp \vec{β} \iff \vec{α} \cdot \vec{β} = 0 και α⃗∥β⃗  ⟺  x1x2=y1y2\vec{α} \parallel \vec{β} \iff \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}!

# ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα Έστω ένα διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ Μέτρο Αν $\vec{a} = (x, y)$, τότε $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ Κατεύθυν

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

36

Έξυπνα Εργαλεία ΝΕΟ

Μετέτρεψε αυτές τις σημειώσεις σε: ✓ 50+ Ερωτήσεις Εξάσκησης ✓ Διαδραστικές Κάρτες Μνήμης ✓ Πλήρη Δοκιμαστική Εξέταση ✓ Σχέδια Δοκιμίου

Δοκιμαστική Εξέταση
Κουίζ
Κάρτες Μάθησης
Δοκίμιο

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Vector

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Β' Λυκ.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Γ' Λυκ.

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Γ' Λυκ.

Θεωρία Διανύσματα Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Β' Λυκ.

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Θεωρημα Bolzano/Θ.Ε.Τ./Θ.Μ.Ε.Τ.]

Σημειωσεις των θεωρημάτων.

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Γ' Λυκ.

Διανύσματα Β’ Λυκείου

Μαζεμένη θεωρία στα διανύσματα

Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά (Θετ.)
Β' Λυκ.

Μαθηματικα Κατεύθυνσης β' Λύκειου: Κεφάλαιο 1.1

Το κεφάλαιο 1.1 εισάγει τις βασικές έννοιες των διανυσμάτων, οι οποίες αποτελούν θεμελιώδες μέρος της γεωμετρίας και της φυσικής.

Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά (Θετ.)
Β' Λυκ.

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου

Θεωρία και αποδείξεις

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Β' Λυκ.

Τυπολογιο μαθηματικά κατεύθυνσης

Όλοι η ύλη

Μαθηματικά (Θετ.)Μαθηματικά (Θετ.)
Β' Λυκ.

Θεωρία μαθηματικών γ' λυκείου πρώτο κεφάλαιο

Σημειώσεις σχετικά με το πρώτο κεφάλαιο των μαθηματικών γ'λυκείου.

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Γ' Λυκ.

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

Βιολογία β Λυκείου

Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία

ΒιολογίαΒιολογία
Β' Λυκ.

Βιολογία Α’ λυκείου σημειώσεις για το πρώτο κεφάλαιο

Κεφάλαιο 1ο, κύτταρα και ιστοί, όργανα και συστήματα οργάνων

ΒιολογίαΒιολογία
Α' Λυκ.

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ

ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ (Οικονομία)
Γ' Λυκ.

Ιστορία Γ’ Λυκείου (Ανθρ.)(Α1., Α2., Β1., Β2., Β3.)(Οικονομικό)

Α1. Τα δημογραφικά δεδομένα, Α2. Οι παραγωγικές δυνάμεις μέσα και έξω από την Ελλάδα και η «Μεγάλη Ιδέα», Β1. Το εμπόριο, Β2. Η εμπορική ναυτιλία, Β3. Η διανομή των εθνικών κτημάτων

ΙστορίαΙστορία
Γ' Λυκ.

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Ορισμοί ιστόριας

ΙστορίαΙστορία
Β' Λυκ.

Φυσική Α’ Λυκείου

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ( ΕΟΚ) + τύπος μέσης ταχύτητας

ΦυσικήΦυσική
Α' Λυκ.

Βιολογία α λυκείου

Αναπαραγωγή, όργανα και ιστοί, κυκλοφορικό σύστημα

ΒιολογίαΒιολογία
Α' Λυκ.

Ιστορία Β Λυκείου Κεφάλαια 1-3 σημειώσεις

Το έγγραφο αυτό περιέχει περιληπτική, μεν περιεκτική όλη την εξεταστέα ύλη της ιστορίας Β λυκείου για τα πρώτα 3 Κεφάλαια, δηλαδή την μισή ύλη. Το έγγραφο έχει γραφτεί με προσοχή και άριστη ταυτόσημο το βιβλίο, όμως πολύ πιο απλά στη κατανόηση!

ΙστορίαΙστορία
Β' Λυκ.

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.

ΜαθηματικάΜαθηματικά
Γ' Λυκ.

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS