Μαθήματα

Μαθηματικά

11 Δεκ 2025

547

13 σελίδες

Μαθηματικά Β' Λυκείου: Θεωρία και Ασκήσεις Κατεύθυνσης

Nefeli @nefelhhan

Ακολούθησε

Τα διανύσματαείναι από τα πιο χρήσιμα εργαλεία των μαθηματικών που θα συναντήσετε παντού - από τη φυσική... Δες περισσότερα

Η Έννοια του Διανύσματος

Ένα διάνυσμα είναι απλά ένα βέλος με κατεύθυνση και μέγεθος. Φανταστείτε το σαν μια οδηγία που σας λέει "πάνε 5 μέτρα προς τα δεξιά" - αυτό είναι διάνυσμα!

Κάθε διάνυσμα έχει αρχή (από πού ξεκινά) και πέρας (πού τελειώνει). Το μέτρο του διανύσματος είναι η απόσταση μεταξύ της αρχής και του πέρατος - δηλαδή το μήκος του "βέλους".

Δύο διανύσματα είναι ίσα όταν έχουν ίδιο μέτρο και ίδια κατεύθυνση. Είναι αντίθετα όταν έχουν ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη κατεύθυνση - σαν να γυρίσατε το βέλος ανάποδα!

Συμβουλή Σκεφτείτε τα διανύσματα σαν οδηγίες GPS - σας δείχνουν πού να πάτε και πόσο μακριά!

Πράξεις με Διανύσματα

Η πρόσθεση διανυσμάτων είναι σαν να ακολουθείτε δύο οδηγίες η μία μετά την άλλη. Πρώτα πάτε όπου σας λέει το πρώτο διάνυσμα, μετά συνεχίζετε με το δεύτερο.

Ισχύουν οι ίδιοι κανόνες με τους αριθμούς α + β = β + α (αντιμεταθετική) και (α + β) + γ = α + (β + γ) (προσεταιριστική). Υπάρχει και το μηδενικό διάνυσμα που δεν αλλάζει τίποτα όταν το προσθέσετε.

Η αφαίρεση γίνεται προσθέτοντας το αντίθετο διάνυσμα α - β = α + (-β). Το διάνυσμα θέσης σας βοηθά να εκφράσετε οποιοδήποτε διάνυσμα ως διαφορά δύο σημείων.

Προσοχή Το μέτρο του αθροίσματος δεν είναι πάντα το άθροισμα των μέτρων - εξαρτάται από τη γωνία!

Πολλαπλασιασμός και Γραμμικοί Συνδυασμοί

Όταν πολλαπλασιάζετε ένα διάνυσμα με αριθμό λ, το μέτρο γίνεται |λ| φορές μεγαλύτερο. Αν λ > 0, η κατεύθυνση μένει ίδια. Αν λ < 0, γυρίζει ανάποδα!

Οι γραμμικοί συνδυασμοί ν = κα + λβ σας επιτρέπουν να δημιουργήσετε νέα διανύσματα συνδυάζοντας υπάρχοντα. Είναι σαν μια "συνταγή" για διανύσματα.

Συνθήκη παραλληλίας Δύο διανύσματα είναι παράλληλα όταν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου α = κβ. Το μέσο τμήματος ΑΒ βρίσκεται με τον τύπο ΟΜ = (ΟΑ + ΟΒ)/2.

Χρήσιμο Η συνθήκη παραλληλίας είναι κλειδί για να λύσετε γεωμετρικά προβλήματα!

Συντεταγμένες Διανυσμάτων

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως α = xi + yj, όπου i, j είναι τα βασικά διανύσματα των αξόνων. Οι αριθμοί x, y είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος.

Οι πράξεις γίνονται πολύ εύκολες (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = $x₁+x₂, y₁+y₂$ και λ(x,y) = (λx, λy). Το μέτρο υπολογίζεται με τον τύπο |α| = √ $x² + y²$ .

Για το μέσο τμήματος ΑΒ Μ = $(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2$ . Για διάνυσμα με γνωστά άκρα Α(x₁,y₁), Β(x₂,y₂) ΑΒ = $x₂-x₁, y₂-y₁$ .

Συμβουλή Οι συντεταγμένες κάνουν τους υπολογισμούς παιχνιδάκι - μάθετε τους τύπους!

Εσωτερικό Γινόμενο

Το εσωτερικό γινόμενο α·β = |α||β|συνθ είναι ένας τρόπος να "πολλαπλασιάσετε" δύο διανύσματα και να πάρετε έναν αριθμό. Μετράει πόσο "ταιριάζουν" στην κατεύθυνση.

Αν τα διανύσματα είναι κάθετα, το εσωτερικό γινόμενο είναι 0. Αν είναι ομόρροπα, είναι |α||β|. Αν είναι αντίρροπα, είναι -|α||β|.

Στις συντεταγμένες α·β = x₁x₂ + y₁y₂. Για τη γωνία δύο διανυσμάτων συνθ = (α·β)/(|α||β|). Αυτός ο τύπος είναι χρυσός για γεωμετρικά προβλήματα!

Κλειδί Το εσωτερικό γινόμενο σας λέει αν δύο διανύσματα είναι κάθετα (αποτέλεσμα = 0)!

Αποδείξεις Βασικών Τύπων

Για το μέσο τμήματος Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, τότε ΟΜ = (ΟΑ + ΟΒ)/2. Αυτό δίνει Μ = $(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2$ .

Συνθήκη παραλληλίας με συντελεστές διεύθυνσης α//β ⟺ λ₁ = λ₂, όπου λ = y/x. Δηλαδή, παράλληλα διανύσματα έχουν ίδια "κλίση".

Συνθήκη καθετότητας α ⊥ β ⟺ λ₁λ₂ = -1. Οι κλίσεις κάθετων διανυσμάτων όταν τις πολλαπλασιάσετε δίνουν -1.

Προσοχή Οι συντελεστές διεύθυνσης δε ορίζονται όταν x = 0 (κατακόρυφα διανύσματα)!

Εξίσωση Ευθείας

Κάθε ευθεία έχει έναν συντελεστή διεύθυνσης λ που δείχνει πόσο "απότομα" ανεβαίνει. Για δύο σημεία Α(x₁,y₁), Β(x₂,y₂) λ = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$ .

Η βασική εξίσωση ευθείας είναι y - y₀ = λ $x - x₀$ όταν περνά από σημείο (x₀,y₀). Άλλες χρήσιμες μορφές y = αx + β (γενική μορφή) και x = x₀ (κατακόρυφη ευθεία).

Παράλληλες ευθείες έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης λ₁ = λ₂. Κάθετες ευθείες έχουν συντελεστές που πολλαπλασιαζόμενοι δίνουν -1 λ₁λ₂ = -1.

Χρήσιμο Ο συντελεστής διεύθυνσης σας λέει αμέσως αν δύο ευθείες είναι παράλληλες ή κάθετες!

Γενική Μορφή και Αποστάσεις

Κάθε ευθεία γράφεται στη γενική μορφή Αx + Βy + Γ = 0. Το διάνυσμα (Α,Β) είναι κάθετο στην ευθεία, ενώ το (Β,-Α) είναι παράλληλο.

Η απόσταση σημείου Μ₀(x₀,y₀) από ευθεία Αx + Βy + Γ = 0 είναι d = |Αx₀ + Βy₀ + Γ|/√(Α² + Β²). Αυτός ο τύπος είναι απαραίτητος για πολλά προβλήματα!

Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ υπολογίζεται (ΑΒΓ) = ½|det(AB, AΓ)|. Η ορίζουσα σας δίνει το εμβαδό με το σωστό πρόσημο.

Κλειδί Η απόσταση σημείου από ευθεία είναι από τους πιο χρησιμοποιούμενους τύπους!

Κύκλος και Παραβολή

Ο κύκλος με κέντρο Κ(x₀,y₀) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση $x-x₀$ ² + $y-y₀$ ² = ρ². Για κέντρο στην αρχή x² + y² = ρ².

Η εφαπτομένη κύκλου x² + y² = ρ² στο σημείο (x₁,y₁) είναι xx₁ + yy₁ = ρ². Η γενική μορφή κύκλου x² + y² + Αx + Βy + Γ = 0.

Η παραβολή είναι ο τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια εστία Ε και μια διευθετούσα δ. Οι βασικές εξισώσεις x² = 2py (κατακόρυφος άξονας) και y² = 2px (οριζόντιος άξονας).

Σημαντικό Η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας που περνά από την εστία!

Ιδιότητες Παραβολής

Για παραβολή x² = 2py η εστία είναι στο Ε $0, p/2$ και η διευθετούσα στο y = -p/2. Αν p > 0, ανοίγει προς τα πάνω. Αν p < 0, προς τα κάτω.

Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς τον άξονα που περνά από την εστία. Αν το Μ₁(x₁,y₁) είναι πάνω της, το Μ₂ $-x₁,y₁$ είναι επίσης.

Εφαπτομένη παραβολής y² = 2px στο σημείο (x₁,y₁) yy₁ = p $x + x₁$ . Για x² = 2py xx₁ = p $y + y₁$ . Αυτοί οι τύποι είναι χρήσιμοι σε προβλήματα βελτιστοποίησης.

Ενδιαφέρον Οι παραβολές χρησιμοποιούνται στις κεραίες και στους προβολείς λόγω των ιδιοτήτων τους!

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Τι είναι ο AI σύντροφος του Knowunity;

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Πού μπορώ να κατεβάσω την εφαρμογή Knowunity;

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Πώς μπορώ να λάβω την πληρωμή μου; Πόσα μπορώ να κερδίσω;

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Έξυπνα Εργαλεία ΝΕΟ

Μετέτρεψε αυτές τις σημειώσεις σε: ✓ 50+ Ερωτήσεις Εξάσκησης ✓ Διαδραστικές Κάρτες Μνήμης ✓ Πλήρη Δοκιμαστική Εξέταση ✓ Σχέδια Δοκιμίου

Δοκιμαστική Εξέταση

Κουίζ

Κάρτες Μάθησης

Δοκίμιο

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Vector

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Μαυρομάτικα Προσανατολισμού Β λυκείου : κεφ 1ο Διανύσματα

Βιολογία β Λυκείου

Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία

Βιολογία

Β' Λυκ.

Βιολογία Α’ λυκείου σημειώσεις για το πρώτο κεφάλαιο

Κεφάλαιο 1ο, κύτταρα και ιστοί, όργανα και συστήματα οργάνων

Βιολογία

Α' Λυκ.

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ

ΑΟΘ (Οικονομία)

Γ' Λυκ.

Ιστορία Γ’ Λυκείου (Ανθρ.)(Α1., Α2., Β1., Β2., Β3.)(Οικονομικό)

Α1. Τα δημογραφικά δεδομένα, Α2. Οι παραγωγικές δυνάμεις μέσα και έξω από την Ελλάδα και η «Μεγάλη Ιδέα», Β1. Το εμπόριο, Β2. Η εμπορική ναυτιλία, Β3. Η διανομή των εθνικών κτημάτων

Ιστορία

Γ' Λυκ.

Ιστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας

Ορισμοί ιστόριας

Ιστορία

Β' Λυκ.

Φυσική Α’ Λυκείου

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ( ΕΟΚ) + τύπος μέσης ταχύτητας

Φυσική

Α' Λυκ.

Βιολογία α λυκείου

Αναπαραγωγή, όργανα και ιστοί, κυκλοφορικό σύστημα

Βιολογία

Α' Λυκ.

Ιστορία Β Λυκείου Κεφάλαια 1-3 σημειώσεις

Το έγγραφο αυτό περιέχει περιληπτική, μεν περιεκτική όλη την εξεταστέα ύλη της ιστορίας Β λυκείου για τα πρώτα 3 Κεφάλαια, δηλαδή την μισή ύλη. Το έγγραφο έχει γραφτεί με προσοχή και άριστη ταυτόσημο το βιβλίο, όμως πολύ πιο απλά στη κατανόηση!

Ιστορία

Β' Λυκ.

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.

Μαθηματικά

Γ' Λυκ.

Δε μπορείς να βρεις αυτό που ψάχνεις; Εξερεύνησε άλλα μαθήματα.

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.

Άννα

χρήστης iOS

Το Knowunity είναι ότι πρέπει Για μαθητές οι οποίοι όντως έχουν την θέληση για μάθηση καθώς δεν είναι σαν τις άλλες εφαρμογές που σου δίνουν απευθείας την λύση όμως σου εξηγούν λεπτομερώς και την σημασία – νόημα αυτού του οποίου ψάχνεις ! Καταπληκτική εφεύρεση ! Ένας από τους λόγους για τον οποίο χαίρομαι που Η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται .

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι τέλεια! Το μόνο που χρειάζεται να κάνω είναι να εισάγω το θέμα στη γραμμή αναζήτησης και παίρνω την απάντηση πολύ γρήγορα. Δεν χρειάζεται να παρακολουθήσω 10 βίντεο στο YouTube για να καταλάβω κάτι, άρα εξοικονομώ χρόνο. Τη συνιστώ ανεπιφύλακτα!

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Στο σχολείο ήμουν πολύ κακός στα μαθηματικά, αλλά χάρη στην εφαρμογή τα πάω καλύτερα τώρα. Είμαι τόσο ευγνώμων που δημιούργησες την εφαρμογή.

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

είναι από τις καλύτερες εφαρμογές του κινητού ειδικά αν πας σχολείο σου κάνει όλες τις ασκήσεις πού χρειάζεσαι βοήθεια σου κάνει κουίζ για να δεις από τα έχεις μάθει ανεβάζουν άλλοι σημειώσεις και μπορείς να τις βλέπεις και να σε βοηθάνε και μπορείς ανεβάσεις και εσύ ό,τι καλύτερο γαι μαθητές τι λατρεύω την εφαρμογή 🥹😊😊😍😍🥰😍

Μαριλου

χρήστης Android

Η εφαρμογή αυτή είναι τέλεια Αν έχεις κάποια κενά ή κάποιος καθηγητής/καθηγητριά σου (ιδιαίτερα αν πας σε δημόσιο ) δεν κάνει καλό μάθημα ή δεν μπορείς να καταλάβεις το so σε βοηθάει με ερωτήσεις και μπορείς να βρεις πολλές σημειώσεις σε μαθήματα από άλλους μαθητές. Εγώ που δυσκολεύομαι με κάποια μαθήματα αυτή η εφαρμογή με έχει βοηθήσει να τα κατανοήσω όσο καλύτερα μπορώ

Thenia

χρήστης iOS

Στέφαν Σ

χρήστης iOS

Σαμάνθα Κλιχ

χρήστης Android

Άννα

χρήστης iOS

Φασαια

χρήστης iOS

τέλειοοο

Λίζα Μ

χρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή με έχει κάνει τα θέλω να διαβάζω με βοηθάει πάρα πολύ

Καμαρινός Γ

χρήστης iOS

Sudenaz Ocak

χρήστης Android

Greenlight Bonnie

χρήστης Android

Το καλύτερο που υπάρχει αυτό έχω να πω εγώ

Τζούλια Σ

χρήστης Android

με βοηθάει πάρα πολύ στα μαθήματα πρέπει να το κατεβάσετε είναι ότι καλύτερο

Αγγο

χρήστης iOS

Μαριλου

χρήστης Android

Thenia

χρήστης iOS

Μαθήματα

Μαθηματικά

•

547

•

11 Δεκ 2025

•

13 σελίδες

Μαθηματικά Β' Λυκείου: Θεωρία και Ασκήσεις Κατεύθυνσης

Nefeli

@nefelhhan

Τα διανύσματα είναι από τα πιο χρήσιμα εργαλεία των μαθηματικών που θα συναντήσετε παντού - από τη φυσική μέχρι την τεχνολογία. Μαζί με τις ευθείες και τους κύκλους, αποτελούν τη βάση για να κατανοήσετε πώς λειτουργεί ο χώρος γύρω... Δες περισσότερα

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Η Έννοια του Διανύσματος

Συμβουλή: Σκεφτείτε τα διανύσματα σαν οδηγίες GPS - σας δείχνουν πού να πάτε και πόσο μακριά!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Πράξεις με Διανύσματα

Ισχύουν οι ίδιοι κανόνες με τους αριθμούς: α + β = β + α (αντιμεταθετική) και (α + β) + γ = α + (β + γ) (προσεταιριστική). Υπάρχει και το μηδενικό διάνυσμα που δεν αλλάζει τίποτα όταν το προσθέσετε.

Η αφαίρεση γίνεται προσθέτοντας το αντίθετο διάνυσμα: α - β = α + (-β). Το διάνυσμα θέσης σας βοηθά να εκφράσετε οποιοδήποτε διάνυσμα ως διαφορά δύο σημείων.

Προσοχή: Το μέτρο του αθροίσματος δεν είναι πάντα το άθροισμα των μέτρων - εξαρτάται από τη γωνία!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Πολλαπλασιασμός και Γραμμικοί Συνδυασμοί

Συνθήκη παραλληλίας: Δύο διανύσματα είναι παράλληλα όταν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου: α = κβ. Το μέσο τμήματος ΑΒ βρίσκεται με τον τύπο ΟΜ = (ΟΑ + ΟΒ)/2.

Χρήσιμο: Η συνθήκη παραλληλίας είναι κλειδί για να λύσετε γεωμετρικά προβλήματα!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Συντεταγμένες Διανυσμάτων

Οι πράξεις γίνονται πολύ εύκολες: (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = $x₁+x₂, y₁+y₂$ και λ(x,y) = (λx, λy). Το μέτρο υπολογίζεται με τον τύπο |α| = √ $x² + y²$ .

Για το μέσο τμήματος ΑΒ: Μ = $(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2$ . Για διάνυσμα με γνωστά άκρα Α(x₁,y₁), Β(x₂,y₂): ΑΒ = $x₂-x₁, y₂-y₁$ .

Συμβουλή: Οι συντεταγμένες κάνουν τους υπολογισμούς παιχνιδάκι - μάθετε τους τύπους!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Εσωτερικό Γινόμενο

Στις συντεταγμένες: α·β = x₁x₂ + y₁y₂. Για τη γωνία δύο διανυσμάτων: συνθ = (α·β)/(|α||β|). Αυτός ο τύπος είναι χρυσός για γεωμετρικά προβλήματα!

Κλειδί: Το εσωτερικό γινόμενο σας λέει αν δύο διανύσματα είναι κάθετα (αποτέλεσμα = 0)!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Αποδείξεις Βασικών Τύπων

Για το μέσο τμήματος: Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, τότε ΟΜ = (ΟΑ + ΟΒ)/2. Αυτό δίνει Μ = $(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2$ .

Συνθήκη παραλληλίας με συντελεστές διεύθυνσης: α//β ⟺ λ₁ = λ₂, όπου λ = y/x. Δηλαδή, παράλληλα διανύσματα έχουν ίδια "κλίση".

Συνθήκη καθετότητας: α ⊥ β ⟺ λ₁λ₂ = -1. Οι κλίσεις κάθετων διανυσμάτων όταν τις πολλαπλασιάσετε δίνουν -1.

Προσοχή: Οι συντελεστές διεύθυνσης δε ορίζονται όταν x = 0 (κατακόρυφα διανύσματα)!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Εξίσωση Ευθείας

Κάθε ευθεία έχει έναν συντελεστή διεύθυνσης λ που δείχνει πόσο "απότομα" ανεβαίνει. Για δύο σημεία Α(x₁,y₁), Β(x₂,y₂): λ = $y₂-y₁$ / $x₂-x₁$ .

Η βασική εξίσωση ευθείας είναι: y - y₀ = λ $x - x₀$ όταν περνά από σημείο (x₀,y₀). Άλλες χρήσιμες μορφές: y = αx + β (γενική μορφή) και x = x₀ (κατακόρυφη ευθεία).

Παράλληλες ευθείες έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης: λ₁ = λ₂. Κάθετες ευθείες έχουν συντελεστές που πολλαπλασιαζόμενοι δίνουν -1: λ₁λ₂ = -1.

Χρήσιμο: Ο συντελεστής διεύθυνσης σας λέει αμέσως αν δύο ευθείες είναι παράλληλες ή κάθετες!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Γενική Μορφή και Αποστάσεις

Κάθε ευθεία γράφεται στη γενική μορφή: Αx + Βy + Γ = 0. Το διάνυσμα (Α,Β) είναι κάθετο στην ευθεία, ενώ το (Β,-Α) είναι παράλληλο.

Η απόσταση σημείου Μ₀(x₀,y₀) από ευθεία Αx + Βy + Γ = 0 είναι: d = |Αx₀ + Βy₀ + Γ|/√(Α² + Β²). Αυτός ο τύπος είναι απαραίτητος για πολλά προβλήματα!

Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ υπολογίζεται: (ΑΒΓ) = ½|det(AB, AΓ)|. Η ορίζουσα σας δίνει το εμβαδό με το σωστό πρόσημο.

Κλειδί: Η απόσταση σημείου από ευθεία είναι από τους πιο χρησιμοποιούμενους τύπους!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Κύκλος και Παραβολή

Ο κύκλος με κέντρο Κ(x₀,y₀) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: $x-x₀$ ² + $y-y₀$ ² = ρ². Για κέντρο στην αρχή: x² + y² = ρ².

Η εφαπτομένη κύκλου x² + y² = ρ² στο σημείο (x₁,y₁) είναι: xx₁ + yy₁ = ρ². Η γενική μορφή κύκλου: x² + y² + Αx + Βy + Γ = 0.

Η παραβολή είναι ο τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια εστία Ε και μια διευθετούσα δ. Οι βασικές εξισώσεις: x² = 2py (κατακόρυφος άξονας) και y² = 2px (οριζόντιος άξονας).

Σημαντικό: Η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας που περνά από την εστία!

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΕίναι δωρεάν!

Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα

Βελτίωσε τους βαθμούς σου

Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Ιδιότητες Παραβολής

Για παραβολή x² = 2py: η εστία είναι στο Ε $0, p/2$ και η διευθετούσα στο y = -p/2. Αν p > 0, ανοίγει προς τα πάνω. Αν p < 0, προς τα κάτω.

Εφαπτομένη παραβολής y² = 2px στο σημείο (x₁,y₁): yy₁ = p $x + x₁$ . Για x² = 2py: xx₁ = p $y + y₁$ . Αυτοί οι τύποι είναι χρήσιμοι σε προβλήματα βελτιστοποίησης.