Τα διανύσματαείναι από τα πιο χρήσιμα εργαλεία των μαθηματικών...
Μαθηματικά1.200 προβολές·Ενημερώθηκε 5 Αυγ 2026·13 σελίδεςΜαθηματικά Β' Λυκείου: Θεωρία και Ασκήσεις Κατεύθυνσης
N
Nefeli@nefelhhan
1 / 13
1
of 13
Η Έννοια του Διανύσματος
Ένα διάνυσμα είναι απλά ένα βέλος με κατεύθυνση και μέγεθος. Φανταστείτε το σαν μια οδηγία που σας λέει "πάνε 5 μέτρα προς τα δεξιά" - αυτό είναι διάνυσμα!
Κάθε διάνυσμα έχει αρχή (από πού ξεκινά) και πέρας (πού τελειώνει). Το μέτρο του διανύσματος είναι η απόσταση μεταξύ της αρχής και του πέρατος - δηλαδή το μήκος του "βέλους".
Δύο διανύσματα είναι ίσα όταν έχουν ίδιο μέτρο και ίδια κατεύθυνση. Είναι αντίθετα όταν έχουν ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη κατεύθυνση - σαν να γυρίσατε το βέλος ανάποδα!
Συμβουλή: Σκεφτείτε τα διανύσματα σαν οδηγίες GPS - σας δείχνουν πού να πάτε και πόσο μακριά!
2
of 13
Πράξεις με Διανύσματα
Η πρόσθεση διανυσμάτων είναι σαν να ακολουθείτε δύο οδηγίες η μία μετά την άλλη. Πρώτα πάτε όπου σας λέει το πρώτο διάνυσμα, μετά συνεχίζετε με το δεύτερο.
Ισχύουν οι ίδιοι κανόνες με τους αριθμούς: α + β = β + α (αντιμεταθετική) και + γ = α + (προσεταιριστική). Υπάρχει και το μηδενικό διάνυσμα που δεν αλλάζει τίποτα όταν το προσθέσετε.
Η αφαίρεση γίνεται προσθέτοντας το αντίθετο διάνυσμα: α - β = α + . Το διάνυσμα θέσης σας βοηθά να εκφράσετε οποιοδήποτε διάνυσμα ως διαφορά δύο σημείων.
Προσοχή: Το μέτρο του αθροίσματος δεν είναι πάντα το άθροισμα των μέτρων - εξαρτάται από τη γωνία!
3
of 13
Πολλαπλασιασμός και Γραμμικοί Συνδυασμοί
Όταν πολλαπλασιάζετε ένα διάνυσμα με αριθμό λ, το μέτρο γίνεται |λ| φορές μεγαλύτερο. Αν λ > 0, η κατεύθυνση μένει ίδια. Αν λ < 0, γυρίζει ανάποδα!
Οι γραμμικοί συνδυασμοί ν = κα + λβ σας επιτρέπουν να δημιουργήσετε νέα διανύσματα συνδυάζοντας υπάρχοντα. Είναι σαν μια "συνταγή" για διανύσματα.
Συνθήκη παραλληλίας: Δύο διανύσματα είναι παράλληλα όταν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου: α = κβ. Το μέσο τμήματος ΑΒ βρίσκεται με τον τύπο ΟΜ = (ΟΑ + ΟΒ)/2.
Χρήσιμο: Η συνθήκη παραλληλίας είναι κλειδί για να λύσετε γεωμετρικά προβλήματα!
4
of 13
Συντεταγμένες Διανυσμάτων
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως α = xi + yj, όπου i, j είναι τα βασικά διανύσματα των αξόνων. Οι αριθμοί x, y είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος.
Οι πράξεις γίνονται πολύ εύκολες: (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = και λ(x,y) = (λx, λy). Το μέτρο υπολογίζεται με τον τύπο |α| = √.
Για το μέσο τμήματος ΑΒ: Μ = . Για διάνυσμα με γνωστά άκρα Α(x₁,y₁), Β(x₂,y₂): ΑΒ = .
Συμβουλή: Οι συντεταγμένες κάνουν τους υπολογισμούς παιχνιδάκι - μάθετε τους τύπους!
5
of 13
Εσωτερικό Γινόμενο
Το εσωτερικό γινόμενο α·β = |α||β|συνθ είναι ένας τρόπος να "πολλαπλασιάσετε" δύο διανύσματα και να πάρετε έναν αριθμό. Μετράει πόσο "ταιριάζουν" στην κατεύθυνση.
Αν τα διανύσματα είναι κάθετα, το εσωτερικό γινόμενο είναι 0. Αν είναι ομόρροπα, είναι |α||β|. Αν είναι αντίρροπα, είναι -|α||β|.
Στις συντεταγμένες: α·β = x₁x₂ + y₁y₂. Για τη γωνία δύο διανυσμάτων: συνθ = (α·β)/(|α||β|). Αυτός ο τύπος είναι χρυσός για γεωμετρικά προβλήματα!
Κλειδί: Το εσωτερικό γινόμενο σας λέει αν δύο διανύσματα είναι κάθετα (αποτέλεσμα = 0)!
6
of 13
Αποδείξεις Βασικών Τύπων
Για το μέσο τμήματος: Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, τότε ΟΜ = (ΟΑ + ΟΒ)/2. Αυτό δίνει Μ = .
Συνθήκη παραλληλίας με συντελεστές διεύθυνσης: α//β ⟺ λ₁ = λ₂, όπου λ = y/x. Δηλαδή, παράλληλα διανύσματα έχουν ίδια "κλίση".
Συνθήκη καθετότητας: α ⊥ β ⟺ λ₁λ₂ = -1. Οι κλίσεις κάθετων διανυσμάτων όταν τις πολλαπλασιάσετε δίνουν -1.
Προσοχή: Οι συντελεστές διεύθυνσης δε ορίζονται όταν x = 0 (κατακόρυφα διανύσματα)!
7
of 13
Εξίσωση Ευθείας
Κάθε ευθεία έχει έναν συντελεστή διεύθυνσης λ που δείχνει πόσο "απότομα" ανεβαίνει. Για δύο σημεία Α(x₁,y₁), Β(x₂,y₂): λ = /.
Η βασική εξίσωση ευθείας είναι: y - y₀ = λ όταν περνά από σημείο (x₀,y₀). Άλλες χρήσιμες μορφές: y = αx + β (γενική μορφή) και x = x₀ (κατακόρυφη ευθεία).
Παράλληλες ευθείες έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης: λ₁ = λ₂. Κάθετες ευθείες έχουν συντελεστές που πολλαπλασιαζόμενοι δίνουν -1: λ₁λ₂ = -1.
Χρήσιμο: Ο συντελεστής διεύθυνσης σας λέει αμέσως αν δύο ευθείες είναι παράλληλες ή κάθετες!
8
of 13
Γενική Μορφή και Αποστάσεις
Κάθε ευθεία γράφεται στη γενική μορφή: Αx + Βy + Γ = 0. Το διάνυσμα (Α,Β) είναι κάθετο στην ευθεία, ενώ το είναι παράλληλο.
Η απόσταση σημείου Μ₀(x₀,y₀) από ευθεία Αx + Βy + Γ = 0 είναι: d = |Αx₀ + Βy₀ + Γ|/√. Αυτός ο τύπος είναι απαραίτητος για πολλά προβλήματα!
Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ υπολογίζεται: (ΑΒΓ) = ½|det(AB, AΓ)|. Η ορίζουσα σας δίνει το εμβαδό με το σωστό πρόσημο.
Κλειδί: Η απόσταση σημείου από ευθεία είναι από τους πιο χρησιμοποιούμενους τύπους!
9
of 13
Κύκλος και Παραβολή
Ο κύκλος με κέντρο Κ(x₀,y₀) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: ² + ² = ρ². Για κέντρο στην αρχή: x² + y² = ρ².
Η εφαπτομένη κύκλου x² + y² = ρ² στο σημείο (x₁,y₁) είναι: xx₁ + yy₁ = ρ². Η γενική μορφή κύκλου: x² + y² + Αx + Βy + Γ = 0.
Η παραβολή είναι ο τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια εστία Ε και μια διευθετούσα δ. Οι βασικές εξισώσεις: x² = 2py (κατακόρυφος άξονας) και y² = 2px (οριζόντιος άξονας).
Σημαντικό: Η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας που περνά από την εστία!
10
of 13
Ιδιότητες Παραβολής
Για παραβολή x² = 2py: η εστία είναι στο Ε και η διευθετούσα στο y = -p/2. Αν p > 0, ανοίγει προς τα πάνω. Αν p < 0, προς τα κάτω.
Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς τον άξονα που περνά από την εστία. Αν το Μ₁(x₁,y₁) είναι πάνω της, το Μ₂ είναι επίσης.
Εφαπτομένη παραβολής y² = 2px στο σημείο (x₁,y₁): yy₁ = p. Για x² = 2py: xx₁ = p. Αυτοί οι τύποι είναι χρήσιμοι σε προβλήματα βελτιστοποίησης.
Ενδιαφέρον: Οι παραβολές χρησιμοποιούνται στις κεραίες και στους προβολείς λόγω των ιδιοτήτων τους!
11
of 13
12
of 13
13
of 13
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Παρόμοιο Περιεχόμενο
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Vector
1Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
9ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,90275
ΜαθηματικάΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
Β' Λυκ.1,89439
ΜαθηματικάSOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις
Α' Λυκ.1,37937
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα
Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται
Β' Λυκ.1,04934
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β´λυκείου
Γεωμετρία Β´λυκείου όλες οι αποδείξεις και τα θεωρήματα-πορίσματα
Β' Λυκ.95018
ΜαθηματικάΜαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου
Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)
Β' Λυκ.1,20319
ΜαθηματικάΠυθαγόρειο θεώρημα
Ο δημιουργός αυτός είναι για να μάθεις να λύνεις ασκήσεις μαθηματικών που έχουν να κάνουν με το πυθαγόρειο θεώρημα. Αν διαβάσεις την θεωρία και μπορέσεις να την κατανοήσεις είμαι σίγουρη ότι θα γράψεις τέλεια στο επόμενο σου διαγώνισμα ☺️☺️.
Β' Γυμν.1,13738
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Γ' Λυκ.3,31879
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Γ' Λυκ.5,058121
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9
ΙστορίαΙστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Β' Λυκ.8,542300
ΙστορίαΣχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
Α' Λυκ.2,86266
Ιστορίαιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Α' Λυκ.2,0450
ΒιολογίαΒιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Β' Λυκ.7,148226
ΙστορίαΙστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Α' Λυκ.2,26442
ΦυσικήΦυσική Β γυμνασίου
Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4
Β' Γυμν.9,449665
ΒιολογίαΒιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Β' Λυκ.3,14675
ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,90275
ΙστορίαΙστορία Β Λυκείου Κεφάλαια 1-3 σημειώσεις
Το έγγραφο αυτό περιέχει περιληπτική, μεν περιεκτική όλη την εξεταστέα ύλη της ιστορίας Β λυκείου για τα πρώτα 3 Κεφάλαια, δηλαδή την μισή ύλη. Το έγγραφο έχει γραφτεί με προσοχή και άριστη ταυτόσημο το βιβλίο, όμως πολύ πιο απλά στη κατανόηση!
Β' Λυκ.4,630138
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σχρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άνναχρήστης iOS
Μαθηματικά1.200 προβολές·Ενημερώθηκε 5 Αυγ 2026·13 σελίδεςΜαθηματικά Β' Λυκείου: Θεωρία και Ασκήσεις Κατεύθυνσης
N
Nefeli@nefelhhan
Τα διανύσματα είναι από τα πιο χρήσιμα εργαλεία των μαθηματικών που θα συναντήσετε παντού - από τη φυσική μέχρι την τεχνολογία. Μαζί με τις ευθείες και τους κύκλους, αποτελούν τη βάση για να κατανοήσετε πώς λειτουργεί ο χώρος γύρω...
1
of 13
Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Η Έννοια του Διανύσματος
Ένα διάνυσμα είναι απλά ένα βέλος με κατεύθυνση και μέγεθος. Φανταστείτε το σαν μια οδηγία που σας λέει "πάνε 5 μέτρα προς τα δεξιά" - αυτό είναι διάνυσμα!
Κάθε διάνυσμα έχει αρχή (από πού ξεκινά) και πέρας (πού τελειώνει). Το μέτρο του διανύσματος είναι η απόσταση μεταξύ της αρχής και του πέρατος - δηλαδή το μήκος του "βέλους".
Δύο διανύσματα είναι ίσα όταν έχουν ίδιο μέτρο και ίδια κατεύθυνση. Είναι αντίθετα όταν έχουν ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη κατεύθυνση - σαν να γυρίσατε το βέλος ανάποδα!
Συμβουλή: Σκεφτείτε τα διανύσματα σαν οδηγίες GPS - σας δείχνουν πού να πάτε και πόσο μακριά!
2
of 13Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πράξεις με Διανύσματα
Η πρόσθεση διανυσμάτων είναι σαν να ακολουθείτε δύο οδηγίες η μία μετά την άλλη. Πρώτα πάτε όπου σας λέει το πρώτο διάνυσμα, μετά συνεχίζετε με το δεύτερο.
Ισχύουν οι ίδιοι κανόνες με τους αριθμούς: α + β = β + α (αντιμεταθετική) και + γ = α + (προσεταιριστική). Υπάρχει και το μηδενικό διάνυσμα που δεν αλλάζει τίποτα όταν το προσθέσετε.
Η αφαίρεση γίνεται προσθέτοντας το αντίθετο διάνυσμα: α - β = α + . Το διάνυσμα θέσης σας βοηθά να εκφράσετε οποιοδήποτε διάνυσμα ως διαφορά δύο σημείων.
Προσοχή: Το μέτρο του αθροίσματος δεν είναι πάντα το άθροισμα των μέτρων - εξαρτάται από τη γωνία!
3
of 13Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Πολλαπλασιασμός και Γραμμικοί Συνδυασμοί
Όταν πολλαπλασιάζετε ένα διάνυσμα με αριθμό λ, το μέτρο γίνεται |λ| φορές μεγαλύτερο. Αν λ > 0, η κατεύθυνση μένει ίδια. Αν λ < 0, γυρίζει ανάποδα!
Οι γραμμικοί συνδυασμοί ν = κα + λβ σας επιτρέπουν να δημιουργήσετε νέα διανύσματα συνδυάζοντας υπάρχοντα. Είναι σαν μια "συνταγή" για διανύσματα.
Συνθήκη παραλληλίας: Δύο διανύσματα είναι παράλληλα όταν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου: α = κβ. Το μέσο τμήματος ΑΒ βρίσκεται με τον τύπο ΟΜ = (ΟΑ + ΟΒ)/2.
Χρήσιμο: Η συνθήκη παραλληλίας είναι κλειδί για να λύσετε γεωμετρικά προβλήματα!
4
of 13Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Συντεταγμένες Διανυσμάτων
Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως α = xi + yj, όπου i, j είναι τα βασικά διανύσματα των αξόνων. Οι αριθμοί x, y είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος.
Οι πράξεις γίνονται πολύ εύκολες: (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = και λ(x,y) = (λx, λy). Το μέτρο υπολογίζεται με τον τύπο |α| = √.
Για το μέσο τμήματος ΑΒ: Μ = . Για διάνυσμα με γνωστά άκρα Α(x₁,y₁), Β(x₂,y₂): ΑΒ = .
Συμβουλή: Οι συντεταγμένες κάνουν τους υπολογισμούς παιχνιδάκι - μάθετε τους τύπους!
5
of 13Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Εσωτερικό Γινόμενο
Το εσωτερικό γινόμενο α·β = |α||β|συνθ είναι ένας τρόπος να "πολλαπλασιάσετε" δύο διανύσματα και να πάρετε έναν αριθμό. Μετράει πόσο "ταιριάζουν" στην κατεύθυνση.
Αν τα διανύσματα είναι κάθετα, το εσωτερικό γινόμενο είναι 0. Αν είναι ομόρροπα, είναι |α||β|. Αν είναι αντίρροπα, είναι -|α||β|.
Στις συντεταγμένες: α·β = x₁x₂ + y₁y₂. Για τη γωνία δύο διανυσμάτων: συνθ = (α·β)/(|α||β|). Αυτός ο τύπος είναι χρυσός για γεωμετρικά προβλήματα!
Κλειδί: Το εσωτερικό γινόμενο σας λέει αν δύο διανύσματα είναι κάθετα (αποτέλεσμα = 0)!
6
of 13Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Αποδείξεις Βασικών Τύπων
Για το μέσο τμήματος: Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, τότε ΟΜ = (ΟΑ + ΟΒ)/2. Αυτό δίνει Μ = .
Συνθήκη παραλληλίας με συντελεστές διεύθυνσης: α//β ⟺ λ₁ = λ₂, όπου λ = y/x. Δηλαδή, παράλληλα διανύσματα έχουν ίδια "κλίση".
Συνθήκη καθετότητας: α ⊥ β ⟺ λ₁λ₂ = -1. Οι κλίσεις κάθετων διανυσμάτων όταν τις πολλαπλασιάσετε δίνουν -1.
Προσοχή: Οι συντελεστές διεύθυνσης δε ορίζονται όταν x = 0 (κατακόρυφα διανύσματα)!
7
of 13Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Εξίσωση Ευθείας
Κάθε ευθεία έχει έναν συντελεστή διεύθυνσης λ που δείχνει πόσο "απότομα" ανεβαίνει. Για δύο σημεία Α(x₁,y₁), Β(x₂,y₂): λ = /.
Η βασική εξίσωση ευθείας είναι: y - y₀ = λ όταν περνά από σημείο (x₀,y₀). Άλλες χρήσιμες μορφές: y = αx + β (γενική μορφή) και x = x₀ (κατακόρυφη ευθεία).
Παράλληλες ευθείες έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης: λ₁ = λ₂. Κάθετες ευθείες έχουν συντελεστές που πολλαπλασιαζόμενοι δίνουν -1: λ₁λ₂ = -1.
Χρήσιμο: Ο συντελεστής διεύθυνσης σας λέει αμέσως αν δύο ευθείες είναι παράλληλες ή κάθετες!
8
of 13Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Γενική Μορφή και Αποστάσεις
Κάθε ευθεία γράφεται στη γενική μορφή: Αx + Βy + Γ = 0. Το διάνυσμα (Α,Β) είναι κάθετο στην ευθεία, ενώ το είναι παράλληλο.
Η απόσταση σημείου Μ₀(x₀,y₀) από ευθεία Αx + Βy + Γ = 0 είναι: d = |Αx₀ + Βy₀ + Γ|/√. Αυτός ο τύπος είναι απαραίτητος για πολλά προβλήματα!
Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ υπολογίζεται: (ΑΒΓ) = ½|det(AB, AΓ)|. Η ορίζουσα σας δίνει το εμβαδό με το σωστό πρόσημο.
Κλειδί: Η απόσταση σημείου από ευθεία είναι από τους πιο χρησιμοποιούμενους τύπους!
9
of 13Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Κύκλος και Παραβολή
Ο κύκλος με κέντρο Κ(x₀,y₀) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: ² + ² = ρ². Για κέντρο στην αρχή: x² + y² = ρ².
Η εφαπτομένη κύκλου x² + y² = ρ² στο σημείο (x₁,y₁) είναι: xx₁ + yy₁ = ρ². Η γενική μορφή κύκλου: x² + y² + Αx + Βy + Γ = 0.
Η παραβολή είναι ο τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια εστία Ε και μια διευθετούσα δ. Οι βασικές εξισώσεις: x² = 2py (κατακόρυφος άξονας) και y² = 2px (οριζόντιος άξονας).
Σημαντικό: Η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας που περνά από την εστία!
10
of 13Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Ιδιότητες Παραβολής
Για παραβολή x² = 2py: η εστία είναι στο Ε και η διευθετούσα στο y = -p/2. Αν p > 0, ανοίγει προς τα πάνω. Αν p < 0, προς τα κάτω.
Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς τον άξονα που περνά από την εστία. Αν το Μ₁(x₁,y₁) είναι πάνω της, το Μ₂ είναι επίσης.
Εφαπτομένη παραβολής y² = 2px στο σημείο (x₁,y₁): yy₁ = p. Για x² = 2py: xx₁ = p. Αυτοί οι τύποι είναι χρήσιμοι σε προβλήματα βελτιστοποίησης.
Ενδιαφέρον: Οι παραβολές χρησιμοποιούνται στις κεραίες και στους προβολείς λόγω των ιδιοτήτων τους!
11
of 13Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
12
of 13Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
13
of 13Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Παρόμοιο Περιεχόμενο
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Vector
1Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
9ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,90275
ΜαθηματικάΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
Β' Λυκ.1,89439
ΜαθηματικάSOS ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Σημειώσεις άλγεβρας για την Α λυκείου ότι πρέπει να ξέρεις για τις εξετάσεις
Α' Λυκ.1,37937
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β λυκείου Τύποι κ σχήματα
Η ύλη της γεωμετρίας β λυκείου με τύπος κ σχήματα για γρήγορη επανάληψη όσο πιο σύντομα γίνεται
Β' Λυκ.1,04934
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β´λυκείου
Γεωμετρία Β´λυκείου όλες οι αποδείξεις και τα θεωρήματα-πορίσματα
Β' Λυκ.95018
ΜαθηματικάΜαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου
Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)
Β' Λυκ.1,20319
ΜαθηματικάΠυθαγόρειο θεώρημα
Ο δημιουργός αυτός είναι για να μάθεις να λύνεις ασκήσεις μαθηματικών που έχουν να κάνουν με το πυθαγόρειο θεώρημα. Αν διαβάσεις την θεωρία και μπορέσεις να την κατανοήσεις είμαι σίγουρη ότι θα γράψεις τέλεια στο επόμενο σου διαγώνισμα ☺️☺️.
Β' Γυμν.1,13738
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Γ' Λυκ.3,31879
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Γ' Λυκ.5,058121
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9ΙστορίαΙστορια β λυκειου ολοι οι ορισμοι τις τραπεζας
Ορισμοί ιστόριας
Β' Λυκ.8,542300
ΙστορίαΣχεδιαγράμματα όλης της ύλης ιστορίας α λυκείου
Σας έχω σχεδιαγράμματα όλης της εξεταστέας ύλης της α λυκείου για να διευκολυνθείτε από το τεράστιο βάρος του βιβλίου
Α' Λυκ.2,86266
Ιστορίαιστορία α λυκείου κλασσική εποχή
Εξετάστε τις γνώσεις σας στην κλασική εποχή της αρχαίας Ελλάδας, όπως διδάσκεται στην Α' Λυκείου.
Α' Λυκ.2,0450
ΒιολογίαΒιολογία β Λυκείου
Κεφάλαιο 1 άνθρωπος και υγεία
Β' Λυκ.7,148226
ΙστορίαΙστορία Α λυκείου ΣΟΣ
ΣΟΣ για εξετάσεις
Α' Λυκ.2,26442
ΦυσικήΦυσική Β γυμνασίου
Είναι τα κεφάλαια 1,2,3,4
Β' Γυμν.9,449665
ΒιολογίαΒιολογια β λυκείου κεφάλαιο 2
Κεφάλαιο 2 (άνθρωπος και περιβάλλον)
Β' Λυκ.3,14675
ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,90275
ΙστορίαΙστορία Β Λυκείου Κεφάλαια 1-3 σημειώσεις
Το έγγραφο αυτό περιέχει περιληπτική, μεν περιεκτική όλη την εξεταστέα ύλη της ιστορίας Β λυκείου για τα πρώτα 3 Κεφάλαια, δηλαδή την μισή ύλη. Το έγγραφο έχει γραφτεί με προσοχή και άριστη ταυτόσημο το βιβλίο, όμως πολύ πιο απλά στη κατανόηση!
Β' Λυκ.4,630138
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά — και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σχρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άνναχρήστης iOS