Ξεκίνα

Μαθηματικά1.258Ενημερώθηκε 22 Σεπ 202613 σελίδες

Μαθηματικά Β' Λυκείου: Θεωρία και Ασκήσεις Κατεύθυνσης

Αναφέρω
N
Nefeli@nefelhhan
Προσθήκη στις πηγές Google
Τα διανύσματα είναι από τα πιο χρήσιμα εργαλεία των μαθηματικών που θα συναντήσετε παντού - από τη φυσική μέχρι την τεχνολογία. Μαζί με τις ευθείες και τους κύκλους , αποτελούν τη βάση για να κατανοήσετε πώς λειτουργεί ο χώρος γύρω σας!
Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου – σελίδα 1

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Η Έννοια του Διανύσματος

Ένα διάνυσμα είναι απλά ένα βέλος με κατεύθυνση και μέγεθος. Φανταστείτε το σαν μια οδηγία που σας λέει "πάνε 5 μέτρα προς τα δεξιά" - αυτό είναι διάνυσμα!

Κάθε διάνυσμα έχει αρχή (από πού ξεκινά) και πέρας (πού τελειώνει). Το μέτρο του διανύσματος είναι η απόσταση μεταξύ της αρχής και του πέρατος - δηλαδή το μήκος του "βέλους".

Δύο διανύσματα είναι ίσα όταν έχουν ίδιο μέτρο και ίδια κατεύθυνση. Είναι αντίθετα όταν έχουν ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη κατεύθυνση - σαν να γυρίσατε το βέλος ανάποδα!

Συμβουλή: Σκεφτείτε τα διανύσματα σαν οδηγίες GPS - σας δείχνουν πού να πάτε και πόσο μακριά!

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου – σελίδα 2

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Πράξεις με Διανύσματα

Η πρόσθεση διανυσμάτων είναι σαν να ακολουθείτε δύο οδηγίες η μία μετά την άλλη. Πρώτα πάτε όπου σας λέει το πρώτο διάνυσμα, μετά συνεχίζετε με το δεύτερο.

Ισχύουν οι ίδιοι κανόνες με τους αριθμούς: α + β = β + α (αντιμεταθετική) και α+βα + β + γ = α + β+γβ + γ (προσεταιριστική). Υπάρχει και το μηδενικό διάνυσμα που δεν αλλάζει τίποτα όταν το προσθέσετε.

Η αφαίρεση γίνεται προσθέτοντας το αντίθετο διάνυσμα: α - β = α + −β-β. Το διάνυσμα θέσης σας βοηθά να εκφράσετε οποιοδήποτε διάνυσμα ως διαφορά δύο σημείων.

Προσοχή: Το μέτρο του αθροίσματος δεν είναι πάντα το άθροισμα των μέτρων - εξαρτάται από τη γωνία!

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου – σελίδα 3

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Πολλαπλασιασμός και Γραμμικοί Συνδυασμοί

Όταν πολλαπλασιάζετε ένα διάνυσμα με αριθμό λ, το μέτρο γίνεται |λ| φορές μεγαλύτερο. Αν λ > 0, η κατεύθυνση μένει ίδια. Αν λ < 0, γυρίζει ανάποδα!

Οι γραμμικοί συνδυασμοί ν = κα + λβ σας επιτρέπουν να δημιουργήσετε νέα διανύσματα συνδυάζοντας υπάρχοντα. Είναι σαν μια "συνταγή" για διανύσματα.

Συνθήκη παραλληλίας: Δύο διανύσματα είναι παράλληλα όταν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου: α = κβ. Το μέσο τμήματος ΑΒ βρίσκεται με τον τύπο ΟΜ = (ΟΑ + ΟΒ)/2.

Χρήσιμο: Η συνθήκη παραλληλίας είναι κλειδί για να λύσετε γεωμετρικά προβλήματα!

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου – σελίδα 4

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Συντεταγμένες Διανυσμάτων

Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως α = xi + yj, όπου i, j είναι τα βασικά διανύσματα των αξόνων. Οι αριθμοί x, y είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος.

Οι πράξεις γίνονται πολύ εύκολες: (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = x1+x2,y1+y2x₁+x₂, y₁+y₂ και λ(x,y) = (λx, λy). Το μέτρο υπολογίζεται με τον τύπο |α| = √x2+y2x² + y².

Για το μέσο τμήματος ΑΒ: Μ = (x1+x2)/2,(y1+y2)/2(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2. Για διάνυσμα με γνωστά άκρα Α(x₁,y₁), Β(x₂,y₂): ΑΒ = x2−x1,y2−y1x₂-x₁, y₂-y₁.

Συμβουλή: Οι συντεταγμένες κάνουν τους υπολογισμούς παιχνιδάκι - μάθετε τους τύπους!

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου – σελίδα 5

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Εσωτερικό Γινόμενο

Το εσωτερικό γινόμενο α·β = |α||β|συνθ είναι ένας τρόπος να "πολλαπλασιάσετε" δύο διανύσματα και να πάρετε έναν αριθμό. Μετράει πόσο "ταιριάζουν" στην κατεύθυνση.

Αν τα διανύσματα είναι κάθετα, το εσωτερικό γινόμενο είναι 0. Αν είναι ομόρροπα, είναι |α||β|. Αν είναι αντίρροπα, είναι -|α||β|.

Στις συντεταγμένες: α·β = x₁x₂ + y₁y₂. Για τη γωνία δύο διανυσμάτων: συνθ = (α·β)/(|α||β|). Αυτός ο τύπος είναι χρυσός για γεωμετρικά προβλήματα!

Κλειδί: Το εσωτερικό γινόμενο σας λέει αν δύο διανύσματα είναι κάθετα (αποτέλεσμα = 0)!

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου – σελίδα 6

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Αποδείξεις Βασικών Τύπων

Για το μέσο τμήματος: Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, τότε ΟΜ = (ΟΑ + ΟΒ)/2. Αυτό δίνει Μ = (x1+x2)/2,(y1+y2)/2(x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2.

Συνθήκη παραλληλίας με συντελεστές διεύθυνσης: α//β ⟺ λ₁ = λ₂, όπου λ = y/x. Δηλαδή, παράλληλα διανύσματα έχουν ίδια "κλίση".

Συνθήκη καθετότητας: α ⊥ β ⟺ λ₁λ₂ = -1. Οι κλίσεις κάθετων διανυσμάτων όταν τις πολλαπλασιάσετε δίνουν -1.

Προσοχή: Οι συντελεστές διεύθυνσης δε ορίζονται όταν x = 0 (κατακόρυφα διανύσματα)!

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου – σελίδα 7

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Εξίσωση Ευθείας

Κάθε ευθεία έχει έναν συντελεστή διεύθυνσης λ που δείχνει πόσο "απότομα" ανεβαίνει. Για δύο σημεία Α(x₁,y₁), Β(x₂,y₂): λ = y2−y1y₂-y₁/x2−x1x₂-x₁.

Η βασική εξίσωση ευθείας είναι: y - y₀ = λx−x0x - x₀ όταν περνά από σημείο (x₀,y₀). Άλλες χρήσιμες μορφές: y = αx + β (γενική μορφή) και x = x₀ (κατακόρυφη ευθεία).

Παράλληλες ευθείες έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης: λ₁ = λ₂. Κάθετες ευθείες έχουν συντελεστές που πολλαπλασιαζόμενοι δίνουν -1: λ₁λ₂ = -1.

Χρήσιμο: Ο συντελεστής διεύθυνσης σας λέει αμέσως αν δύο ευθείες είναι παράλληλες ή κάθετες!

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου – σελίδα 8

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Γενική Μορφή και Αποστάσεις

Κάθε ευθεία γράφεται στη γενική μορφή: Αx + Βy + Γ = 0. Το διάνυσμα (Α,Β) είναι κάθετο στην ευθεία, ενώ το B,−AΒ,-Α είναι παράλληλο.

Η απόσταση σημείου Μ₀(x₀,y₀) από ευθεία Αx + Βy + Γ = 0 είναι: d = |Αx₀ + Βy₀ + Γ|/√A2+B2Α² + Β². Αυτός ο τύπος είναι απαραίτητος για πολλά προβλήματα!

Το εμβαδόν τριγώνου ΑΒΓ υπολογίζεται: (ΑΒΓ) = ½|det(AB, AΓ)|. Η ορίζουσα σας δίνει το εμβαδό με το σωστό πρόσημο.

Κλειδί: Η απόσταση σημείου από ευθεία είναι από τους πιο χρησιμοποιούμενους τύπους!

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου – σελίδα 9

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Κύκλος και Παραβολή

Ο κύκλος με κέντρο Κ(x₀,y₀) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: x−x0x-x₀² + y−y0y-y₀² = ρ². Για κέντρο στην αρχή: x² + y² = ρ².

Η εφαπτομένη κύκλου x² + y² = ρ² στο σημείο (x₁,y₁) είναι: xx₁ + yy₁ = ρ². Η γενική μορφή κύκλου: x² + y² + Αx + Βy + Γ = 0.

Η παραβολή είναι ο τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια εστία Ε και μια διευθετούσα δ. Οι βασικές εξισώσεις: x² = 2py (κατακόρυφος άξονας) και y² = 2px (οριζόντιος άξονας).

Σημαντικό: Η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας που περνά από την εστία!

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου – σελίδα 10

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Ιδιότητες Παραβολής

Για παραβολή x² = 2py: η εστία είναι στο Ε0,p/20, p/2 και η διευθετούσα στο y = -p/2. Αν p > 0, ανοίγει προς τα πάνω. Αν p < 0, προς τα κάτω.

Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς τον άξονα που περνά από την εστία. Αν το Μ₁(x₁,y₁) είναι πάνω της, το Μ₂−x1,y1-x₁,y₁ είναι επίσης.

Εφαπτομένη παραβολής y² = 2px στο σημείο (x₁,y₁): yy₁ = px+x1x + x₁. Για x² = 2py: xx₁ = py+y1y + y₁. Αυτοί οι τύποι είναι χρήσιμοι σε προβλήματα βελτιστοποίησης.

Ενδιαφέρον: Οι παραβολές χρησιμοποιούνται στις κεραίες και στους προβολείς λόγω των ιδιοτήτων τους!

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου – σελίδα 11

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου – σελίδα 12

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Μαθηματικά κατεύθυνσης β λυκείου – σελίδα 13

Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ.
Είναι δωρεάν!

  • Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
  • Βελτίωσε τους βαθμούς σου
  • Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές

Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου

Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...

Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.

Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.

Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.

Παρόμοιο Περιεχόμενο

Μαθηματικά (Θετ.)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Μαυρομάτικα Προσανατολισμού Β λυκείου : κεφ 1ο Διανύσματα

Β' Λυκ.58338
Μαθηματικά

Όλη η ύλη για γεωμετρία α λυκείου

Ολόκληρη η ύλη μαζεμένη σε λιγότερες από 10 σελίδες . Ελπίζω να βοήθησα !!!

Α' Λυκ.2.07560
Μαθηματικά

Μαθηματικα αλγεβρα β λυκειου

Μονοτονια,Ακροτατα,Συμμετριες Συναρτησης,Μετατοπιση Καμπυλης

Β' Λυκ.3406
Μαθηματικά

Μαθηματικά Γ λυκείου

Κεφάλαια 1.1, 1.2, 1.3

Γ' Λυκ.4454
Μαθηματικά

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

Γ' Λυκ.5.137124
Μαθηματικά

Τυπολογικό ( Γεωμετρία Β λυκείου )

Οι πιο σημαντικοί τυποι για τη γεωμετρία

Β' Λυκ.67213
Δες περισσότερα

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Vector

Μαθηματικά (Θετ.)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Μαυρομάτικα Προσανατολισμού Β λυκείου : κεφ 1ο Διανύσματα

Β' Λυκ.58338

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα: Μαθηματικά

Μαθηματικά

Μαθηματικά Γ Λυκείου

Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

Γ' Λυκ.5.137124
Μαθηματικά

Μαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]

Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.

Γ' Λυκ.3.42082
Μαθηματικά

Θεωρία Διανύσματα Β Λυκείου

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα

Β' Λυκ.81215
Μαθηματικά

Μαθηματικά Γ λυκείου

Κεφάλαια 1.1, 1.2, 1.3

Γ' Λυκ.4454
Μαθηματικά

ΑΛΓΕΒΡΑ Β λυκείου όλη η ύλη

Περιλαμβάνει όλη την ύλη για τις εξετάσεις της Β λυκείου

Β' Λυκ.80819
Μαθηματικά

Ολη η θεωρια Αλγεβρας

Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.

Α' Λυκ.2.95975
Μαθηματικά

ΆΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΊΟΥ ΓΕΝΙΚΉΣ ΠΑΙΔΕΊΑΣ

Βοήθηματα Α ΛΥΚΕΊΟΥ ΑΛΓΕΥΡΑΣ

Α' Λυκ.1.38331
Μαθηματικά

Γ λυκείου Μαθηματικά 1ο Κεφάλαιο

Θεωρία πρώτου κεφαλαίου στα μαθηματικά οικονομικής κατεύθυνσης Γ λευκού μαζί με παραδείγματα

Γ' Λυκ.4919
Μαθηματικά

Μαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου

Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)

Β' Λυκ.1.25220

Πιο δημοφιλή περιεχόμενα

ΑΟΘ (Οικονομία)

ΑΟΘ Κεφάλαιο 2

σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ

Γ' Λυκ.10.137333
Αρχαία Ελληνικά (Ανθρ.)

ΠΛΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΧΑΙΑ ΚΑΤ.

Αρχαία ανθρωπιστικών σπουδών φάκελος υλικού

Γ' Λυκ.2.19873
Αρχαία Ελληνικά

Φάκελος Υλικού

Ενότητες 1-8, φάκελος υλικού, Γ’ Λυκείου

Γ' Λυκ.1.92749
Αρχαία Ελληνικά

Γραμματική Αρχαίων (Όλα τα γραμματικά φαινόμενα)

Ιδανικό για όσους ακολουθούν την θεωρητική κατεύθυνση. Πλήρης ανάλυση όλων των γραμματικών φαινομένων της αρχαίας Ελληνικής.

Α' Λυκ.2.35077
Φυσική

Κρούσεις

Φυσική Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γ' Λυκ.1.83732
Χημεία

Διαμοριακές δυνάμεις Χημεία Γ' λυκείου

Σημειωσεις στο κεφάλαιο των διαμοριακών δυνάμεων της χημειας γ λυκειου

Γ' Λυκ.1.59126
Αρχαία Ελληνικά

Εισαγωγή Θουκυδιδης

Βιβλίο σελ.18-28

Α' Λυκ.1.03816
Βιολογία

Πρωτεΐνες 💜

1ο Κεφάλαιο (Ά ΤΕΥΧΟΣ)

Γ' Λυκ.56521
Άλλα

Εισαγωγή λατινικά

Σημειώσεις για την εισαγωγή στα λατινικά

Γ' Λυκ.6125

Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά, και το ίδιο θα είχες κι εσύ.

4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Στέφαν Σχρήστης iOS

Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.

Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android

Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.

Άνναχρήστης iOS

Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.