Η γεωμετρία της Β' Λυκείου περιλαμβάνει βασικές έννοιες που θα...
Μαθηματικά1.051 προβολές·Ενημερώθηκε 26 Αυγ 2026·4 σελίδεςΓεωμετρία Β' Λυκείου: Σημαντικοί Τύποι και Κατατοπιστικά Σχήματα
A
anonymous_@_kyk6p
1 / 4
1
of 4
Όμοια Τρίγωνα και Βασικά Θεωρήματα
Τα όμοια τρίγωνα είναι η βάση για πολλά προβλήματα που θα αντιμετωπίσεις. Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν ίσες γωνίες ή αναλογικές πλευρές.
Για να αποδείξεις ομοιότητα, χρειάζεσαι μία από τις τρεις περιπτώσεις: ίσες γωνίες, αναλογικές πλευρές, ή δύο αναλογικές πλευρές με ίση περιεχόμενη γωνία. Το θεώρημα του Θαλή σου δίνει παράλληλες ευθείες με αναλογικά τμήματα.
Στα ορθογώνια τρίγωνα ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα και οι σχέσεις προβολών. Θυμήσου: ΑΒ² = ΒΔ·ΒΓ και ΑΔ² = ΒΔ·ΔΓ.
Tip: Για να καταλάβεις τι είδους τρίγωνο έχεις, σύγκρινε το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο!
2
of 4
Προβολές σε Τρίγωνα
Οι προβολές εξαρτώνται από το είδος του τριγώνου που μελετάς. Στα οξυγώνια τρίγωνα, όλες οι προβολές βρίσκονται πάνω στις πλευρές του τριγώνου.
Στα αμβλυγώνια τρίγωνα, η κατάσταση αλλάζει. Οι προβολές των πλευρών που σχηματίζουν την αμβεία γωνία βγαίνουν έξω από το τρίγωνο.
Ο νόμος των συνημιτόνων δουλεύει πάντα: α² = β² + γ² - 2βγ·συνΑ. Αυτός ο τύπος σου λύνει κάθε τρίγωνο όταν ξέρεις δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία.
Προσοχή: Στα αμβλυγώνια, η προβολή γίνεται αρνητική στους υπολογισμούς!
3
of 4
Εμβαδά Βασικών Σχημάτων
Τα εμβαδά είναι απλά αν θυμάσαι τους βασικούς τύπους. Τετράγωνο: α², παραλληλόγραμμο: α·ε, τρίγωνο: (β·υ)/2, τραπέζιο: ·υ/2.
Για τα τρίγωνα έχεις και τον τύπο του Ήρωνα: Ε = √ όπου s = /2. Χρήσιμος όταν ξέρεις μόνο τις πλευρές.
Όταν δύο τρίγωνα είναι όμοια με λόγο k, τα εμβαδά τους έχουν λόγο k². Αυτό σημαίνει ότι αν οι πλευρές διπλασιαστούν, το εμβαδό τετραπλασιάζεται.
Χρήσιμο: Το εμβαδό τριγώνου είναι επίσης (α·β·ημΓ)/2 όταν ξέρεις δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία!
4
of 4
Κανονικά Πολύγωνα και Κύκλος
Τα κανονικά πολύγωνα έχουν όλες τις πλευρές και γωνίες ίσες. Η κεντρική γωνία κάθε πλευράς είναι 360°/ν, όπου ν ο αριθμός των πλευρών.
Το εμβαδό κανονικού πολυγώνου είναι Ε = ·περίμετρος·απόστημα. Το απόστημα είναι η απόσταση από το κέντρο στη μέση μιας πλευράς.
Στον κύκλο, το εμβαδό τομέα είναι (φ·π·R²)/360° όπου φ η γωνία σε μοίρες. Το εμβαδό κυκλικού τμήματος βρίσκεται αφαιρώντας από τον τομέα το εμβαδό του τριγώνου.
Μυστικό: Για γρήγορους υπολογισμούς, θυμήσου ότι το εμβαδό κύκλου είναι πR² και η περίμετρος 2πR!
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Παρόμοιο Περιεχόμενο
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
9ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Γ' Λυκ.5,100124
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Γ' Λυκ.3,37079
ΜαθηματικάΆΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΊΟΥ ΓΕΝΙΚΉΣ ΠΑΙΔΕΊΑΣ
Βοήθηματα Α ΛΥΚΕΊΟΥ ΑΛΓΕΥΡΑΣ
Α' Λυκ.1,37431
ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,93375
ΜαθηματικάΤαυτότητες μαθηματικά γ γυμνασίου
Ταυτότητες
Γ' Γυμν.73823
ΜαθηματικάΜαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου
Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)
Β' Λυκ.1,22419
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β´λυκείου
Γεωμετρία Β´λυκείου όλες οι αποδείξεις και τα θεωρήματα-πορίσματα
Β' Λυκ.96018
ΜαθηματικάΘεωρία Διανύσματα Β Λυκείου
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα
Β' Λυκ.75514
ΜαθηματικάΘεωρια Μαθηματικων Γ λυκειου/Οριο-συνεχεια συναρτησης
Ορισμοι και σχολια απο το κεφαλαιο πρωτο
Γ' Λυκ.5899
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9
Αρχαία ΕλληνικάΦάκελος Υλικού
Ενότητες 1-8, φάκελος υλικού, Γ’ Λυκείου
Γ' Λυκ.1,82248
ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ Κεφάλαιο 2
σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ
Γ' Λυκ.10,009325
ΒιολογίαΘεωρία βιολογιας
1ο κεφάλαιο βιολογίας Γ Λυκείου (Β τεύχος)
Γ' Λυκ.53522
Αρχαία Ελληνικά (Ανθρ.)ΠΛΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΧΑΙΑ ΚΑΤ.
Αρχαία ανθρωπιστικών σπουδών φάκελος υλικού
Γ' Λυκ.2,12671
Αρχαία ΕλληνικάΓραμματική Αρχαίων (Όλα τα γραμματικά φαινόμενα)
Ιδανικό για όσους ακολουθούν την θεωρητική κατεύθυνση. Πλήρης ανάλυση όλων των γραμματικών φαινομένων της αρχαίας Ελληνικής.
Α' Λυκ.2,28874
Αρχαία Ελληνικά (Ανθρ.)Εισαγωγή γ λυκείου σωκρατης
σχεδιάγραμμα για την εισαγωγή του Σωκράτη
Γ' Λυκ.1,29329
ΧημείαΔιαμοριακές δυνάμεις Χημεία Γ' λυκείου
Σημειωσεις στο κεφάλαιο των διαμοριακών δυνάμεων της χημειας γ λυκειου
Γ' Λυκ.1,52226
Αρχαία Ελληνικά (Ανθρ.)Εισαγωγή Σωκράτη κ Πλάτωνα γνωστό γ λυκείου
Μέθοδοι του Σωκράτη,δική κ θάνατος Σωκράτη, βίος του Πλάτωνα
Γ' Λυκ.78810
ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ: Κεφάλαιο 1
βοηθημα πατακη
Γ' Λυκ.2,09844
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά, και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σχρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άνναχρήστης iOS
Μαθηματικά1.051 προβολές·Ενημερώθηκε 26 Αυγ 2026·4 σελίδεςΓεωμετρία Β' Λυκείου: Σημαντικοί Τύποι και Κατατοπιστικά Σχήματα
A
anonymous_@_kyk6p
Η γεωμετρία της Β' Λυκείου περιλαμβάνει βασικές έννοιες που θα συναντάς συνέχεια στις εξετάσεις. Από όμοια τρίγωνα και προβολές μέχρι εμβαδά και κανονικά πολύγωνα, όλα αυτά συνδέονται μεταξύ τους.
1
of 4
Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Όμοια Τρίγωνα και Βασικά Θεωρήματα
Τα όμοια τρίγωνα είναι η βάση για πολλά προβλήματα που θα αντιμετωπίσεις. Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν ίσες γωνίες ή αναλογικές πλευρές.
Για να αποδείξεις ομοιότητα, χρειάζεσαι μία από τις τρεις περιπτώσεις: ίσες γωνίες, αναλογικές πλευρές, ή δύο αναλογικές πλευρές με ίση περιεχόμενη γωνία. Το θεώρημα του Θαλή σου δίνει παράλληλες ευθείες με αναλογικά τμήματα.
Στα ορθογώνια τρίγωνα ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα και οι σχέσεις προβολών. Θυμήσου: ΑΒ² = ΒΔ·ΒΓ και ΑΔ² = ΒΔ·ΔΓ.
Tip: Για να καταλάβεις τι είδους τρίγωνο έχεις, σύγκρινε το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο!
2
of 4Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Προβολές σε Τρίγωνα
Οι προβολές εξαρτώνται από το είδος του τριγώνου που μελετάς. Στα οξυγώνια τρίγωνα, όλες οι προβολές βρίσκονται πάνω στις πλευρές του τριγώνου.
Στα αμβλυγώνια τρίγωνα, η κατάσταση αλλάζει. Οι προβολές των πλευρών που σχηματίζουν την αμβεία γωνία βγαίνουν έξω από το τρίγωνο.
Ο νόμος των συνημιτόνων δουλεύει πάντα: α² = β² + γ² - 2βγ·συνΑ. Αυτός ο τύπος σου λύνει κάθε τρίγωνο όταν ξέρεις δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία.
Προσοχή: Στα αμβλυγώνια, η προβολή γίνεται αρνητική στους υπολογισμούς!
3
of 4Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Εμβαδά Βασικών Σχημάτων
Τα εμβαδά είναι απλά αν θυμάσαι τους βασικούς τύπους. Τετράγωνο: α², παραλληλόγραμμο: α·ε, τρίγωνο: (β·υ)/2, τραπέζιο: ·υ/2.
Για τα τρίγωνα έχεις και τον τύπο του Ήρωνα: Ε = √ όπου s = /2. Χρήσιμος όταν ξέρεις μόνο τις πλευρές.
Όταν δύο τρίγωνα είναι όμοια με λόγο k, τα εμβαδά τους έχουν λόγο k². Αυτό σημαίνει ότι αν οι πλευρές διπλασιαστούν, το εμβαδό τετραπλασιάζεται.
Χρήσιμο: Το εμβαδό τριγώνου είναι επίσης (α·β·ημΓ)/2 όταν ξέρεις δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία!
4
of 4Κάνε εγγραφή για να δεις το ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ. Είναι δωρεάν!
- Πρόσβαση σε όλα τα έγγραφα
- Βελτίωσε τους βαθμούς σου
- Γίνε μέλος με εκατομμύρια μαθητές
Κάνοντας εγγραφή αποδέχεσαι τους Όρους Χρήσης και την Πολιτική Απορρήτου
Κανονικά Πολύγωνα και Κύκλος
Τα κανονικά πολύγωνα έχουν όλες τις πλευρές και γωνίες ίσες. Η κεντρική γωνία κάθε πλευράς είναι 360°/ν, όπου ν ο αριθμός των πλευρών.
Το εμβαδό κανονικού πολυγώνου είναι Ε = ·περίμετρος·απόστημα. Το απόστημα είναι η απόσταση από το κέντρο στη μέση μιας πλευράς.
Στον κύκλο, το εμβαδό τομέα είναι (φ·π·R²)/360° όπου φ η γωνία σε μοίρες. Το εμβαδό κυκλικού τμήματος βρίσκεται αφαιρώντας από τον τομέα το εμβαδό του τριγώνου.
Μυστικό: Για γρήγορους υπολογισμούς, θυμήσου ότι το εμβαδό κύκλου είναι πR² και η περίμετρος 2πR!
Νομίζαμε ότι δε θα ρωτούσες ποτέ...
Ο AI σύντροφός μας είναι ειδικά σχεδιασμένος για τις ανάγκες των μαθητών. Βασισμένοι στα εκατομμύρια κομμάτια Περιεχομένων που έχουμε στην πλατφόρμα, μπορούμε να παρέχουμε πραγματικά ουσιαστικές και σχετικές απαντήσεις στους μαθητές. Αλλά δεν αφορά μόνο τις απαντήσεις, ο σύντροφος είναι ακόμη περισσότερο για την καθοδήγηση των μαθητών στις καθημερινές τους μαθησιακές προκλήσεις, με εξατομικευμένα προγράμματα μελέτης, κουίζ ή Περιεχόμενα στη Συνομιλία και 100% εξατομίκευση βασισμένη στις δεξιότητες και την ανάπτυξη των μαθητών.
Μπορείτε να κατεβάσετε την εφαρμογή από το Google Play Store και το Apple App Store.
Ναι, έχετε δωρεάν πρόσβαση στο περιεχόμενο της εφαρμογής και στον AI companion μας. Για να ξεκλειδώσετε ορισμένες λειτουργίες της εφαρμογής, μπορείτε να αγοράσετε το Knowunity Pro.
Παρόμοιο Περιεχόμενο
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα στο Μαθηματικά
9ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ Λυκείου
Ορισμοί-Αποδείξεις-Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους
Γ' Λυκ.5,100124
ΜαθηματικάΜαθηματικά Γ’ Λυκείου [Ορια/Κριτηριο παρεμβολης]
Σημειώσεις πάνω στα όρια των συναρτήσεων.
Γ' Λυκ.3,37079
ΜαθηματικάΆΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΊΟΥ ΓΕΝΙΚΉΣ ΠΑΙΔΕΊΑΣ
Βοήθηματα Α ΛΥΚΕΊΟΥ ΑΛΓΕΥΡΑΣ
Α' Λυκ.1,37431
ΜαθηματικάΟλη η θεωρια Αλγεβρας
Ολη η θεωρια Αλγεβρα Α λυκειου, ορισμοι, τυπολογιο, αποδειξεις. Οτι χρειαζεται να διαβασεις για το θεωρητικο κομματι της αλγεβρας.
Α' Λυκ.2,93375
ΜαθηματικάΤαυτότητες μαθηματικά γ γυμνασίου
Ταυτότητες
Γ' Γυμν.73823
ΜαθηματικάΜαθηματικά Άλγεβρα Β Λυκείου
Πολύ χρήσιμη ύλη εξετάσεων Β Λυκείου(χωρίς αποδείξεις)
Β' Λυκ.1,22419
ΜαθηματικάΓεωμετρία Β´λυκείου
Γεωμετρία Β´λυκείου όλες οι αποδείξεις και τα θεωρήματα-πορίσματα
Β' Λυκ.96018
ΜαθηματικάΘεωρία Διανύσματα Β Λυκείου
Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Κεφάλαιο 1ο: Διανύσματα
Β' Λυκ.75514
ΜαθηματικάΘεωρια Μαθηματικων Γ λυκειου/Οριο-συνεχεια συναρτησης
Ορισμοι και σχολια απο το κεφαλαιο πρωτο
Γ' Λυκ.5899
Πιο δημοφιλή περιεχόμενα
9Αρχαία ΕλληνικάΦάκελος Υλικού
Ενότητες 1-8, φάκελος υλικού, Γ’ Λυκείου
Γ' Λυκ.1,82248
ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ Κεφάλαιο 2
σημειωσεις κεφαλαιου 2 ΑΟΘ
Γ' Λυκ.10,009325
ΒιολογίαΘεωρία βιολογιας
1ο κεφάλαιο βιολογίας Γ Λυκείου (Β τεύχος)
Γ' Λυκ.53522
Αρχαία Ελληνικά (Ανθρ.)ΠΛΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΡΧΑΙΑ ΚΑΤ.
Αρχαία ανθρωπιστικών σπουδών φάκελος υλικού
Γ' Λυκ.2,12671
Αρχαία ΕλληνικάΓραμματική Αρχαίων (Όλα τα γραμματικά φαινόμενα)
Ιδανικό για όσους ακολουθούν την θεωρητική κατεύθυνση. Πλήρης ανάλυση όλων των γραμματικών φαινομένων της αρχαίας Ελληνικής.
Α' Λυκ.2,28874
Αρχαία Ελληνικά (Ανθρ.)Εισαγωγή γ λυκείου σωκρατης
σχεδιάγραμμα για την εισαγωγή του Σωκράτη
Γ' Λυκ.1,29329
ΧημείαΔιαμοριακές δυνάμεις Χημεία Γ' λυκείου
Σημειωσεις στο κεφάλαιο των διαμοριακών δυνάμεων της χημειας γ λυκειου
Γ' Λυκ.1,52226
Αρχαία Ελληνικά (Ανθρ.)Εισαγωγή Σωκράτη κ Πλάτωνα γνωστό γ λυκείου
Μέθοδοι του Σωκράτη,δική κ θάνατος Σωκράτη, βίος του Πλάτωνα
Γ' Λυκ.78810
ΑΟΘ (Οικονομία)ΑΟΘ: Κεφάλαιο 1
βοηθημα πατακη
Γ' Λυκ.2,09844
Κριτικές από τους χρήστες μας. Έχουν όλα τα καλά, και το ίδιο θα είχες κι εσύ.
4.6/5App Store
4.7/5Google Play
Η εφαρμογή είναι πολύ εύκολη στη χρήση και καλά σχεδιασμένη. Έχω βρει ό,τι έψαχνα μέχρι τώρα και έχω μάθει πολλά από τις παρουσιάσεις! Σίγουρα θα χρησιμοποιήσω την εφαρμογή για μια εργασία του μαθήματος! Και φυσικά βοηθάει πολύ και ως έμπνευση.
Στέφαν Σχρήστης iOS
Αυτή η εφαρμογή είναι πραγματικά τέλεια. Υπάρχουν τόσες πολλές σημειώσεις μελέτης και βοήθεια [...]. Το μάθημα που με δυσκολεύει είναι τα Γαλλικά, για παράδειγμα, και η εφαρμογή έχει τόσες επιλογές για βοήθεια. Χάρη σε αυτή την εφαρμογή, έχω βελτιώσει τα Γαλλικά μου. Θα την πρότεινα σε οποιονδήποτε.
Σαμάνθα Κλιχχρήστης Android
Ουάου, είμαι πραγματικά εντυπωσιασμένος. Δοκίμασα την εφαρμογή επειδή την είδα διαφημισμένη πολλές φορές και έμεινα άφωνος. Αυτή η εφαρμογή είναι Η ΒΟΗΘΕΙΑ που χρειάζεσαι για το σχολείο και πάνω απ' όλα, προσφέρει τόσα πράγματα, όπως ασκήσεις και φύλλα γεγονότων, που ήταν ΠΟΛΥ χρήσιμα για μένα προσωπικά.
Άνναχρήστης iOS