Βασικές Ιδιότητες της Απόλυτης Τιμής

Η απόλυτη τιμή |a| είναι πάντα θετική ή μηδέν - δεν μπορεί να είναι αρνητική! Αυτό σημαίνει ότι |5| = 5 και |-5| = 5.

Δύο σημαντικές ιδιότητες που πρέπει να θυμάσαι: |a| = |-a| (το πρόσημο δεν επηρεάζει την απόλυτη τιμή) και |a|² = a² (όταν υψώνεις στο τετράγωνο, η απόλυτη τιμή "χάνεται").

💡 Tip: Για να λύσεις |x| = g, θυμήσου ότι x = g ή x = -g!

Απόσταση δύο αριθμών υπολογίζεται με τον τύπο d(a,b) = |a-b|. Για παράδειγμα, η απόσταση μεταξύ 3 και -2 είναι |3-$-2$| = 5.

Το κέντρο ενός διαστήματος [a,b] βρίσκεται στο σημείο x₀ = $a+b$/2, ενώ η ακτίνα του είναι ρ = $b-a$/2.

Ανισώσεις με Απόλυτη Τιμή

Οι ανισώσεις με απόλυτη τιμή μπορούν να σε μπερδέψουν, αλλά με τους σωστούς τύπους γίνονται παιχνιδάκι!

Για |x| ≤ a: η λύση είναι -a ≤ x ≤ a, δηλαδή x ∈ $-a, a$. Φαντάσου ότι το x "κλείνεται" μεταξύ -a και a.

Για |x| ≥ a: η λύση είναι x ≤ -a ή x ≥ a, δηλαδή x ∈ $-∞, -a] ∪ [a, +∞$. Εδώ το x είναι "έξω" από το διάστημα.

💡 Προσοχή: Όταν έχεις |x - x₀| < ρ, σκέψου την απόσταση από το σημείο x₀!

Για πολύπλοκες ασκήσεις, χρησιμοποιείς πίνακα προσημάτων. Βρίσκεις πότε η παράσταση μέσα στην απόλυτη τιμή γίνεται μηδέν, και μετά εξετάζεις κάθε περιοχή ξεχωριστά. Έτσι μπορείς να "σπάσεις" μια δύσκολη άσκηση σε απλά κομμάτια!