Αλγεβρικές Ταυτότητες και Ανισότητες

Οι αλγεβρικές αποδείξεις είναι η βάση για να λύνεις σύνθετα προβλήματα. Οι δύο πρώτοι τύποι για τα διανύσματα θα σε βοηθήσουν σε γεωμετρία, ενώ ο τρίτος για τις ρίζες είναι κλασικός στις εξετάσεις.

Για τις ανισότητες, θυμήσου τον χρυσό κανόνα: όταν πολλαπλασιάζεις ή διαιρείς με αρνητικό αριθμό, η φορά αλλάζει! Αυτό είναι το πιο συχνό λάθος που κάνουν οι μαθητές.

Μπορείς να προσθέσεις ή να πολλαπλασιάσεις κατά μέλη δύο ανισώσεις (αν οι αριθμοί είναι θετικοί), αλλά ποτέ δεν διαιρείς ή αφαιρείς κατά μέλη.

Προσοχή! Στις αρνητικές δυνάμεις η φορά της ανίσωσης αλλάζει - μην το ξεχνάς!

Απόλυτη Τιμή και Ρίζες

Η απόλυτη τιμή είναι η απόσταση ενός αριθμού από το μηδέν. Αν ο αριθμός είναι θετικός, μένει ίδιος - αν είναι αρνητικός, γίνεται θετικός.

Για τις εξισώσεις με απόλυτη τιμή: αν |x| = α και α > 0, τότε x = α ή x = -α. Για τις ανισώσεις: |x| < α σημαίνει -α < x < α, ενώ |x| > α σημαίνει x < -α ή x > α.

Οι ρίζες έχουν μια πανεύκολη ιδιότητα: √(α²) = |α|. Αυτό σημαίνει ότι √$(-2)²$ = 2 και όχι -2!

Σημαντικό! Η απόσταση δύο αριθμών α, β είναι d(α,β) = |α-β| - αυτό θα το δεις παντού!

Εξισώσεις και Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Η διακρίνουσα Δ = β² - 4αγ σου λέει τα πάντα για μια εξίσωση 2ου βαθμού. Αν Δ > 0, έχεις δύο λύσεις. Αν Δ = 0, μία λύση. Αν Δ < 0, καμία λύση.

Οι τύποι του Vieta είναι χρυσάφι: S = x₁ + x₂ και P = x₁ · x₂. Με αυτούς μπορείς να βρεις τη σχέση των ριζών χωρίς να τις υπολογίσεις!

Για τις ανισώσεις 2ου βαθμού, φτιάχνεις πίνακα προσήμων. Μεταξύ των ριζών το πρόσημο είναι αντίθετο του α, εκτός των ριζών είναι ίδιο με το α.

Κλειδί επιτυχίας! Μάθε καλά τον πίνακα προσήμων - θα σε σώσει σε κάθε άσκηση!

Συναρτήσεις και Ευθείες

Στις συναρτήσεις πρόσεχε πάντα: κάτω από ρίζα θέλουμε θετικό ή μηδέν, στον παρονομαστή δεν θέλουμε μηδέν.

Η ευθεία έχει τύπο y = αx + β. Η παράμετρος α είναι η κλίση (εφω) και δείχνει πόσο "απότομη" είναι η ευθεία.

Για τις σχετικές θέσεις δύο ευθειών: αν έχουν ίδια κλίση $α₁ = α₂$, είναι παράλληλες. Αν α₁ · α₂ = -1, είναι κάθετες.

Η απόσταση δύο σημείων A(x₁,y₁) και B(x₂,y₂) είναι d = √$(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²$ - θυμήσου το θεώρημα του Πυθαγόρα!

Χρήσιμο! Αν α = 0, η ευθεία είναι οριζόντια $y = β$ και παράλληλη στον άξονα x'x!

Αριθμητικές και Γεωμετρικές Πρόοδοι

Οι πρόοδοι είναι ακολουθίες αριθμών με συγκεκριμένο μοτίβο. Στην αριθμητική προσθέτεις πάντα την ίδια διαφορά ω, στη γεωμετρική πολλαπλασιάζεις με τον ίδιο λόγο λ.

Για την αριθμητική πρόοδο: ο γενικός όρος είναι αν = α₁ + $ν-1$·ω και το άθροισμα Sv = $α₁ + αν$·ν/2.

Για τη γεωμετρική πρόοδο: ο γενικός όρος είναι αν = α₁·λ^$ν-1$ και το άθροισμα Sv = α₁·$λ^ν - 1$/$λ-1$.

Στον μέσο όρο: για αριθμητική α + γ = 2β, για γεωμετρική α · γ = β².

Προσοχή! Στη γεωμετρική πρόοδο ο λόγος λ δεν πρέπει να είναι 1, αλλιώς δεν ισχύει ο τύπος του αθροίσματος!